§8.2.4双曲线几何性质

第一篇：§8.2.4双曲线几何性质

双曲线的几何性质（2）

一．课题：双曲线的几何性质（2）

二．教学目标：1.巩固双曲线的几何性质；

2.能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程。

三．教学重、难点：几何性质的运用。四．教学过程：

（一）复习：

1．双曲线的几何性质：

①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。2．练习：

①双曲线25x216y2400的实轴长等于

，虚轴长等于

，顶点坐标为

，焦点坐标为

，渐近线方程为

，离心率等于

．（若方程改为16y225x2400呢？）

（二）新课讲解： 例1．求证：双曲线

【练习】与双曲线y2xa22yb22（0）与双曲线

xa22yb221有共同的渐近线。

4x231有共同的渐近线且经过点M(3,2的)双曲线方程是 ．

例2．求中心在原点，一条渐近线方程为2x3y0，且一焦点为(4,0)的双曲线标准方程。

例3．已知双曲线的渐近线方程为y23x，实轴长为12，求它的标准方程。

五．小结： 用双曲线的性质求双曲线方程。六．作业： 课本P114第6题

补充：1．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)，（1）求双曲线方程；

（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：MF1MF2；（3）求F1MF2的面积。

第二篇：双曲线及其简单几何性质作业

家长签字：

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生:

授课时间：________年级：

教师：求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点是（-4,0），（4,0），过点（2,0）

（2）离心率为54，半虚轴长为2（3）两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为

6的弦为AB，求：（（2）F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）

1）

AB 3 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0），一条渐近线的方程为（1）求双曲线C的标准方程

5x2y0、（2）若以k（k不为0）的斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标围成的三角形的面积为

812，求K的范围

第三篇：双曲线几何性质2

授课时间 周星期 授课班级 授课教师 方法、技巧、规律 课双曲线几何性质 题 学1．了解双曲线的简单几何性质——渐近线习2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。目.标 重双曲线的几何性质及初步运用。点 难双曲线的渐近线 点 问题 1：由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线 标准方程 观察图形，把握对 称性`开放性和特 殊点 渐近线方程 问题2实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线 学方程可表示为___________，渐近线方程为________,习问题3：不同的双曲线渐近线会相同吗？ 过x2y222程 1.双曲线491渐近线方程为_____，双曲线y36x161渐近线方程为_____ 2.（2009天津卷文）设双曲线x22a2yb21(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，x224ky9k1渐近线方程为____ 例2.已知双曲线方程x29y2161，求与它共渐近线且满 1）过点(3,23)22）焦点为椭圆x210y51的顶点 3）焦距为10 渐近线应用 21）（2009宁夏海南卷理）双曲线x24-y12=1的焦点到渐近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)设双曲线x2a2y291a0的渐近线3）（2010浙江理数）（8）设Fx21、F2分别为双曲线a2曲线右支上存在点P，满足PF2F1F2，且F2到直线双曲线的渐近线方程为（A）3x4y0（B）3x5y0（C）4x3yx24）.（2009全国卷）双曲线y21的渐近线与圆(b

第四篇：双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质

【学习障碍】 1．理解障碍

(1)关于双曲线对称性的理解

把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．

同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点．(2)关于对双曲线渐近线的理解

xyxyx2y2除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，当双曲线上点P(x，y)在第一、三象限且远离原点时，|在二、四象限远离原点时，|

xyxy＋|→＋∞，此时－→0，当点P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此时＋→0；这些表明双曲线(H)上位于一、三象限的点远ababxyxy离原点时，双曲线越来越靠近直线－＝0，位于二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直线＋＝0与－＝0叫做双曲线(H)的渐近线．

abab(3)关于对离心率e的理解

cbba2b2b由于e＝＝=1，e越大，渐近线y＝x的斜率就越大，这时渐近线y＝－x到yaaaaa＝

2bx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄． a2．解题障碍

(1)双曲线焦点位置的判定

双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定．(2)双曲线方程的几种变形

x2y2x2y2以双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即2－2＝0就是其渐近线方ababx2y2程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即2－2＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为

abλ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线

ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线的几个重要性质

渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．

【学习策略】 1．待定系数法

根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义． 2．定义法

与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果． 3．利用双曲线系 利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系． 【例题分析】

［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．

策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．

1x，2a1当x＝4时，y＝2＜yP＝3 ∴焦点在y轴上，即＝，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝x2y2∴双曲线方程为－22＝1 4kk∵P(4，3)在双曲线上，∴－169

2＝1，∴k＝5 224kkx2y2∴a＝5，b＝20 ∴所求双曲线方程为－＝1 20522

xx2解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0 ∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0．

24x2∴可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)

∵双曲线经过点P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

∴所求的双曲线方程为－y＝－5，即－＝1．

4205评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对

22xy双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0，λ为参数)ab中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

x2y25［例2］已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程． 1332策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．

解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝133＝10，焦点F(±10，0)在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2∴所求双曲线方程为＝1． 82x2y2解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为＝1(3＜k＜13)13k3kx2y2即＝1，13kk3∴a＝13k，c＝10

∴离心率e＝c10＝，a13k即510＝解得k＝5．

213kx2y2∴所求双曲线方程为＝1． 8222xy评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆2+2＝1共焦点的圆锥曲线ab22xy系方程为2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程akbk表示双曲线．

［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．

策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．

解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±∵焦点F(±5，0)在x轴上，∴

3x． 4b3＝，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为－＝1． 169169解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x29y216＝1

∴a2＝，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9³16

x2y2y2x2＝1． ∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为169169评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．

策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．

解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时，根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1为左焦点)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2为右焦点)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|²|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4³(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|²|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2³32＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．

［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)

2x2y2 ＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF|²|PF|＝32，求证PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是双曲线1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第一、第二类点的分界．

解：设M是分界线上的任意一点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|²|PB|²cos60°＝1002＋1502－2³100³150²1＝17500

2∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤

x2y2＝1(x≥25)6253750所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．

评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域． ［例6］(2000年²全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

32≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之． 解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2chc(2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．设双曲线方程为2－2＝1，则离心率e＝，21aab2(1)由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝e2h221①4b 2222he21②411b22he由①式得21 ③ b4c代入双曲线的方程得： a3e2将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e2433322依题设≤λ≤得：≤1－2≤，4e2433解得7≤ e ≤10

所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］． 评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－

312

32，也可整理为e＝＝－2，再用2e211观察法求得7≤ e ≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．

x2y2［例7］设双曲线2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距ab离为3c，求双曲线的离心率。4解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：

xy＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由点到直线的距离公式得：aba2b23c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2b2b221又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步达纲练习】

1．下列各对双曲线中，离心率与渐近线都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．双曲线－＝1的两条渐近线所夹锐角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．点P为双曲线－y2＝1右支上一点(非顶点)，F1、F2是该双曲线的焦点，则△F1PF2的内心在（）

A．直线x＝2上 B．直线x＝1上 C．直线y＝2x上 D．直线y＝x上

5．设连接双曲线－＝1与－＝1的四个顶点的四边形的面积是S1，连结其四个焦点的面积为S2，则的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点且∠PF1Q＝___________．，则双曲线的离心率是7．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为___________．

8．双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且过点P(3，－)，则它的标准方程是___________．

9．若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为___________． 10．已知中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上的等轴双曲线经过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．

11．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2＋y2＝17相交于点A(4，－1)，若圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求这双曲线方程．

12．在一次模拟军事演习中，A、B、C是我军三个炮兵阵地．在指挥作战图的坐标平面上，由数据给出：A在指挥中心O的正东3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P为敌军阵地(如图8—4—3)．某时刻，A处发现了敌军阵地P的某种信号，设该信号传播速度为1 km/s，由于B、C两地比A地距P地远，因此4秒钟后，B、C才同时发现信号，于是A处准备炮击P处，求A处炮击的方向角θ(即东偏北多少度)．

参考答案

【同步达纲练习】

1．解析：(用排除法)选项A和B中的两个方程所表示的双曲线渐近线不同，故排除A和B，而C中的两个方程所表示的双曲线渐近线相同而离心率不同，所以也排除C，因此选D．

答案：D 2．解析：双曲线＝1的两条渐近线方程为y＝±x，设两渐近线的夹角为θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：双曲线∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1两渐近线方程为y＝±x，又由题设知：－²＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：设双曲线的右顶点为N，△F1PF2的内切圆切双曲线的实轴于T，由双曲线的定义知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面几何知识得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右顶点N(2，0)，∴T与N重合，由圆的切线的性质定理知，△F1PF2的内切圆的圆心必在直线x＝2上． 答案：A 5．解析：由题设知双曲线＝1的焦点坐标为：(±，0)，顶点坐标为

(±a，0)，双曲线＝1的焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(0，±b)． 则S1＝²|2a|²|2b|＝2|ab|，S2＝

³（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，则2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦点坐标为(±3，0)，顶点为(±，0)，设所求椭圆方

程为＝1(a>b>0)，则：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：设所求双曲线方程为

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程为＝1．

答案：＝1 9．解析：离心率e＝，由于渐近线方程为y＝±x，当双曲线焦点在x轴时，当双曲线焦点在y轴时，故e为或．

答案：或 10．解：(1)设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)则有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求双曲线方程为＝1．

(2)将点M(3，m)代入双曲线方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2

＝1，又由双曲线方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|²|MF2|＝|F1F2|2－24＝4³12－24＝24 ∴＝|MF1|²|MF2|＝6．

11．解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，方程为＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，由已知条件知：双曲线过点A(4，－1)，则有＝1 ①

又∵圆x2＋y2＝17在A(4，－1)的切线方程为4x－y＝17，由题意知

＝4 ②

解由①②组成的方程组得：a2＝，b2＝255．

∴当焦点在x轴上时，双曲线方程为： ＝1．

当焦点在y轴上时，双曲线方程为1 ③

＝1(a>0，b>0)．由题设知过点A(4，－1)，则有＝而双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦点不可能在y轴上．

因此所求双曲线方程为＝1．)12．解：由题意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P点在以B、A为焦点的以4为实轴长的双曲线的右支上，设其方程为＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P点在双曲线＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P点在线段BC的垂直平分线l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中点(－4，)∴l的方程为y－＝(x＋4)，即点P在直线y＝(x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P点坐标(8，5)设所求方向角为θ，即θ＝∠xAP，由tanθ＝∴A处炮击的方向角为60°．，得θ＝60°

第五篇：第四节：双曲线的几何性质

第四节：双曲线的几何性质

习题精选

一、选择题

1．经过点 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程是（）．

A． ；

B． ；

C． ；

D．

2．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的（）．

A．焦距为10

B．实轴和虚轴长分别是8和6

C．离心率是 或

D．离心率不确定

3．若方程 表示的曲线是一组双曲线，则这组双曲线（）．

A．有相同的实轴和虚轴

B．有共同的焦点

C．有共同的准线

D．有相同的离心率

二、填空题

4．双曲线 上一点 到左焦点距离为8，则它到右准线距离为_________．

5．对称轴为坐标轴的双曲线的准线与渐近线的一个交点是 _____________．，则双曲线方程是6．设双曲线 的半焦距为，直线 过，两点，已知原点到直线的 的距离为，则双曲线的离心率为__________．

三、解答题

7．已知双曲线的两条渐近线方程为，一条准线方程为，求双曲线方程．

8．过双曲线 点，以 的左焦点，斜率为 的直线 与两准线交于，两为直径的圆过原点，且点（3，2）在双曲线上，求双曲线方程．，9．过点（2，2）的双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且它的右准线方程是 求（1）双曲线的离心率；（2）双曲线右焦点的轨迹方程．

10．过点 作直线，使它恰好与双曲线

参考答案：

有一个交点，求直线方程．

一、选择题：1．B； 2．C； 3．B；

二、填空题：4． ； 5． 或 ； 6．2；

三、解答题：7． ； 8． ；

9．（1）即 ；（2）设双曲线的右焦点为

．，由双曲线定义有，10．、典型例题（例1～例4）

例1 求与双曲线 共渐近线且过 点的双曲线方程及离心率．

解法一：双曲线 的渐近线方程为：

（1）设所求双曲线方程为

∵，∴ ①

∵ 在双曲线上

∴ ②

由①－②，得方程组无解

（2）设双曲线方程为

∵，∴ ③

∵ 在双曲线上，∴ ④

由③④得，∴所求双曲线方程为： 且离心率

解法二：设与双曲线 共渐近线的双曲线方程为：

∵点 在双曲线上，∴

∴所求双曲线方程为：，即 ．

评述：（1）很显然，解法二优于解法一．

（2）不难证明与双曲线 共渐近线的双曲线方程 ．

一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程．

求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数

（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．

例2 作方程 的图象．

分析：∵

∴方程图象如右图，∴，∴

即表示双曲线 的右支．

例3 作方程 的图象．

分析：∵

∴方程图象应该是圆 完成．）

及双曲线 在 轴上方的图象．（画图请自行

评述：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线 的方程是，那么点 在曲线 上的充要条件是 ”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．

例4 求以曲线

实轴长为12的双曲线的标准方程．

和 的交点与原点的连线为渐近线，且

分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．

解：∵，∴ 或，∴渐近线方程为

当焦点在 轴上时，由 且，得 ．

∴所求双曲线方程为

当焦点在 轴上时，由，且，得 ．

∴所求双曲线方程为

评述：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．

（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．

典型例题（例5～例10）

例5 已知双曲线的渐近线方程为 标准方程．，两条准线间的距离为，求双曲线

分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．

解：∵双曲线渐近线方程为

（1）若，则，∴设双曲线方程为

∴准线方程为：

（2）若，则，∴，∴

∴准线方程为：，∴，∴

∴所求双曲线方程为： 或

评述：（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便．

（2）通过待定系数法求出参数

例6 中心在原点，一个焦点为 标准方程．

． 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为，求双曲线

解：设双曲线的标准方程为，则，解得

∴ 为所求双曲线的标准方程．

评述：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．

例7 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点

且离心率为 的双曲线标准方程．

解：设所求双曲线方程为：，则，∴，∴，∴所求双曲线方程为

评述：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率 线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：

是双曲

设等轴双曲线

∴，则，∴，∴

反之，如果一个双曲线的离心率 ．

∴

∴，∴，∴，∴双曲线是等轴双曲线

（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．

例8 已知点 值最小．

解：∵，，在双曲线 上求一点，使 的，∴，∴

设点 到与焦点 相应准线的距离为 则

∴，∴

至此，将问题转化成在双曲线上求一点，使 到定点 的距离与到准线距离和最小．即到定点 的距离与准线距离和最小为直线 垂直于准线时，解之得，点

评述：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

例9 已知：

求：点

是双曲线、的距离．

上一点．

到双曲线两焦点

分析：利用双曲线的第二定义．

解：如图，设点 到相应焦点、的准线的距离为、．

当 点在双曲线的右支上时，且有

∴，当点 在双曲线的左支上时，且有

∴，评述：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：

在双曲线 点 的一支上有三个不同点 的值．、、与焦的距离成等差数列，求

解：直接利用焦半径公式，得：，∴，∴，即

注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．

例10 如图所示，已知梯形 过、、三点，且以、中，为焦点，当、，点 满足，双曲线

时，求双曲线离心率的取值范围．、的坐标及双曲线的方程求解． 轴，建立直角坐标系，则、关

分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过

解法一：以直线 于 轴对称．

为 轴，以、的垂直平分线为、轴，因双曲线过点，且以 为焦点，由双曲线的对称性可知

设 的高．、、，其中 为双曲线的半焦距，是梯形

由，即，得，设双曲线方程为，则离心率为 ．

由点、在双曲线上，将、的坐标和，代入双曲线方程得

由①得，将③代入②式中，整理得：

∴

∴，又∵，∴，∴双曲线的离心率取值范围为

分析二：建立直线

．

方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．

解法二：前面部分同解法一．

可求得直线 方程为，将其代入双曲线方程

中，得

又∵、为上述二次方程的两根，∴ ①

又∵ 在双曲线上，∴

②

∵

③

将②③代入①中，得：

∵，∴

以下同解法一

分析三：借助焦半径公式解题．

∵，∴

①

∴，由焦半径公式，得：

②

将①代入②，得：

∵，∴

以下同解法一

评述：（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：、、如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．、）．难点：

（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．