8.4双曲线的简单几何性质例题(一)

第一篇：8.4双曲线的简单几何性质例题(一)

高二圆锥曲线方程同步练习4（双曲线的简单几何性质）

例1 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3:7，求两曲线方程.例2 直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.x2y22例3 在双曲线221(a>0,b>0)的两条渐近线上分别取A、B两点，使OAOBc，其中cab是半焦距，O是中心，求AB中点P的轨迹方程.—1— 例4 已知双曲线c的实半轴长与虚半轴长的乘积等于3，c的两个焦点为F1、F2，直线l过F2点，且与直线F1F2的夹角为φ,tanφ=

21,l与F1F2线段的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线的交点2为Q，且PQ:QF22，求此双曲线的方程.说明：此题意在增强学生建立坐标系的意识，并进一步熟悉双曲线的几何性质及待定系数法.—2—

第二篇：§8.4双曲线的简单几何性质例题(四)

［例1］过点P(8，1)的直线与双曲线x24y24相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程.选题意图：考查直线与曲线位置关系等基础知识.解：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）

则x124y12=4 ①

x24y24 ② 22①-②得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0 ∵P是线段AB的中点，∴x1x216,y1y22 ∴y1y2x1x2x1x24(y1y2)2

∴直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.说明：此题也可设直线的斜率为k，然后待定k的值.［例2］过双曲线xa22yb221的焦点F(c,0)作渐近线

ybax的垂线，求证：垂足H在与此焦点相对应的准线x证明：过F与ybaa2c上.ab(xc)x垂直的直线的方程是y2axc得yabc.ay(xc)b由方程组ybxa

即H点的坐标是(∴H在直线上xa2c2,abc)，ac.y20［例3］已知双曲线的一条准线方程为x是(-2，与这条准线相对应的焦点的坐标,2),且双曲线的离心率为

2，求双曲线的方程.选题意图：灵活运用双曲线的定义解决数学问题.解：设P(x,y)是双曲线上的任一点，P到直线xxy22y20的距离为

.P到焦点的距离为

(x2)(y22)2，∴(x2)2(y22)22

xy2∴(x2)2(y2)2xy2.两边平方，得：

x222x2y222y2x2y222xy22x22y

∴xy=-1.即所求双曲线的方程为xy=-1.［例4］如图，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当2334时，求双曲线离心率e的取值范围.选题意图：考查坐标法、定比分点坐标公式，双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.分析：关键找e与λ的关系.解：建立如图所示的直角坐标系，设双曲线方程为

xa22yb221.∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记Ａ（－ｃ，０），ｃ（,h），Ｅ（ｘ０，ｙ０）

2c其中c12AB,h是梯形的高.(2)c2(1),y0由定比分点坐标公式得x0h1

ca∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e= e2代入双曲线方程得：

4e2hb(221 ①

21hb4)222(e12)2hb221 ②

由①得： 又ee2241代入②并整理得：

12

34,，得：

23ee22231234

解得7≤ｅ≤10

∴双曲线离心率的取值范围为［7，10］.说明：e2ee2212也可整理成

3121212231

观察之7≤ｅ≤10

第三篇：§8.4双曲线的简单几何性质例题(三)

［例1］已知双曲线

xa22yb22b＞0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）1(a＞0，是双曲线上的任一点，求证：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是双曲线的离心率.选题意图：巩固双曲线的第二定义，给出双曲线焦半径的推导方法.证明：双曲线xa2xa22yb221的两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)相应的准线方程分别是

c和xa2c.∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0a2e,PF2x0a2e.cc化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.说明：｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜称作焦半径公式.

［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x程.选题意图：研究离心率、准线与a、b、c的关系，考查准线的几何意义.解：∵ca4,a212,求双曲线的方c12

∴a=2,c=8,∴b2822260.∴双曲线的方程是x24y2601.说明：双曲线的准线总与实轴垂直.［例3］在双曲线倍.选题意图：考查双曲线准线方程、第二定义等基本内容.

解：设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x∴PF1x165PF2x165x216y291上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两

165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，∴2PF2x165485PF2x165,x4852

把x代入方程x216y91得：y35119.所以，P点的坐标为(485,35119)

此题也可用焦半径解答.

第四篇：双曲线的简单几何性质 典型例题解析

典例剖析

x2y2［例1］已知双曲线22=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.x2y2【证明】 双曲线22=1的两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相应的准线方程分别是x=－和x=.cc∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0ac2e,PF2x0ac2e.化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【点评】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜称作焦半径公式.［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=程.1,求双曲线的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴双曲线的方程是=1.460【点评】 双曲线的准线总与实轴垂直.x2y2［例3］在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两169倍.【解】 设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x=±

16.5∴PF116x5PF216x5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.16165xx5548x2y2把x=代入方程=1得： 1695y=±3119.5483，±119)

55【点评】 此题也可用焦半径解答.所以，P点的坐标为(

第五篇：双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质

【学习障碍】 1．理解障碍

(1)关于双曲线对称性的理解

把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．

同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点．(2)关于对双曲线渐近线的理解

xyxyx2y2除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，当双曲线上点P(x，y)在第一、三象限且远离原点时，|在二、四象限远离原点时，|

xyxy＋|→＋∞，此时－→0，当点P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此时＋→0；这些表明双曲线(H)上位于一、三象限的点远ababxyxy离原点时，双曲线越来越靠近直线－＝0，位于二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直线＋＝0与－＝0叫做双曲线(H)的渐近线．

abab(3)关于对离心率e的理解

cbba2b2b由于e＝＝=1，e越大，渐近线y＝x的斜率就越大，这时渐近线y＝－x到yaaaaa＝

2bx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄． a2．解题障碍

(1)双曲线焦点位置的判定

双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定．(2)双曲线方程的几种变形

x2y2x2y2以双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即2－2＝0就是其渐近线方ababx2y2程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即2－2＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为

abλ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线

ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线的几个重要性质

渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．

【学习策略】 1．待定系数法

根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义． 2．定义法

与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果． 3．利用双曲线系 利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系． 【例题分析】

［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．

策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．

1x，2a1当x＝4时，y＝2＜yP＝3 ∴焦点在y轴上，即＝，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝x2y2∴双曲线方程为－22＝1 4kk∵P(4，3)在双曲线上，∴－169

2＝1，∴k＝5 224kkx2y2∴a＝5，b＝20 ∴所求双曲线方程为－＝1 20522

xx2解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0 ∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0．

24x2∴可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)

∵双曲线经过点P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

∴所求的双曲线方程为－y＝－5，即－＝1．

4205评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对

22xy双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0，λ为参数)ab中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

x2y25［例2］已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程． 1332策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．

解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝133＝10，焦点F(±10，0)在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2∴所求双曲线方程为＝1． 82x2y2解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为＝1(3＜k＜13)13k3kx2y2即＝1，13kk3∴a＝13k，c＝10

∴离心率e＝c10＝，a13k即510＝解得k＝5．

213kx2y2∴所求双曲线方程为＝1． 8222xy评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆2+2＝1共焦点的圆锥曲线ab22xy系方程为2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程akbk表示双曲线．

［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．

策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．

解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±∵焦点F(±5，0)在x轴上，∴

3x． 4b3＝，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为－＝1． 169169解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x29y216＝1

∴a2＝，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9³16

x2y2y2x2＝1． ∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为169169评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．

策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．

解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时，根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1为左焦点)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2为右焦点)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|²|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4³(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|²|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2³32＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．

［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)

2x2y2 ＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF|²|PF|＝32，求证PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是双曲线1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第一、第二类点的分界．

解：设M是分界线上的任意一点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|²|PB|²cos60°＝1002＋1502－2³100³150²1＝17500

2∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤

x2y2＝1(x≥25)6253750所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．

评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域． ［例6］(2000年²全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

32≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之． 解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2chc(2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．设双曲线方程为2－2＝1，则离心率e＝，21aab2(1)由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝e2h221①4b 2222he21②411b22he由①式得21 ③ b4c代入双曲线的方程得： a3e2将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e2433322依题设≤λ≤得：≤1－2≤，4e2433解得7≤ e ≤10

所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］． 评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－

312

32，也可整理为e＝＝－2，再用2e211观察法求得7≤ e ≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．

x2y2［例7］设双曲线2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距ab离为3c，求双曲线的离心率。4解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：

xy＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由点到直线的距离公式得：aba2b23c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2b2b221又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步达纲练习】

1．下列各对双曲线中，离心率与渐近线都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．双曲线－＝1的两条渐近线所夹锐角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．点P为双曲线－y2＝1右支上一点(非顶点)，F1、F2是该双曲线的焦点，则△F1PF2的内心在（）

A．直线x＝2上 B．直线x＝1上 C．直线y＝2x上 D．直线y＝x上

5．设连接双曲线－＝1与－＝1的四个顶点的四边形的面积是S1，连结其四个焦点的面积为S2，则的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点且∠PF1Q＝___________．，则双曲线的离心率是7．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为___________．

8．双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且过点P(3，－)，则它的标准方程是___________．

9．若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为___________． 10．已知中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上的等轴双曲线经过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．

11．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2＋y2＝17相交于点A(4，－1)，若圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求这双曲线方程．

12．在一次模拟军事演习中，A、B、C是我军三个炮兵阵地．在指挥作战图的坐标平面上，由数据给出：A在指挥中心O的正东3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P为敌军阵地(如图8—4—3)．某时刻，A处发现了敌军阵地P的某种信号，设该信号传播速度为1 km/s，由于B、C两地比A地距P地远，因此4秒钟后，B、C才同时发现信号，于是A处准备炮击P处，求A处炮击的方向角θ(即东偏北多少度)．

参考答案

【同步达纲练习】

1．解析：(用排除法)选项A和B中的两个方程所表示的双曲线渐近线不同，故排除A和B，而C中的两个方程所表示的双曲线渐近线相同而离心率不同，所以也排除C，因此选D．

答案：D 2．解析：双曲线＝1的两条渐近线方程为y＝±x，设两渐近线的夹角为θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：双曲线∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1两渐近线方程为y＝±x，又由题设知：－²＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：设双曲线的右顶点为N，△F1PF2的内切圆切双曲线的实轴于T，由双曲线的定义知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面几何知识得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右顶点N(2，0)，∴T与N重合，由圆的切线的性质定理知，△F1PF2的内切圆的圆心必在直线x＝2上． 答案：A 5．解析：由题设知双曲线＝1的焦点坐标为：(±，0)，顶点坐标为

(±a，0)，双曲线＝1的焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(0，±b)． 则S1＝²|2a|²|2b|＝2|ab|，S2＝

³（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，则2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦点坐标为(±3，0)，顶点为(±，0)，设所求椭圆方

程为＝1(a>b>0)，则：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：设所求双曲线方程为

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程为＝1．

答案：＝1 9．解析：离心率e＝，由于渐近线方程为y＝±x，当双曲线焦点在x轴时，当双曲线焦点在y轴时，故e为或．

答案：或 10．解：(1)设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)则有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求双曲线方程为＝1．

(2)将点M(3，m)代入双曲线方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2

＝1，又由双曲线方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|²|MF2|＝|F1F2|2－24＝4³12－24＝24 ∴＝|MF1|²|MF2|＝6．

11．解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，方程为＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，由已知条件知：双曲线过点A(4，－1)，则有＝1 ①

又∵圆x2＋y2＝17在A(4，－1)的切线方程为4x－y＝17，由题意知

＝4 ②

解由①②组成的方程组得：a2＝，b2＝255．

∴当焦点在x轴上时，双曲线方程为： ＝1．

当焦点在y轴上时，双曲线方程为1 ③

＝1(a>0，b>0)．由题设知过点A(4，－1)，则有＝而双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦点不可能在y轴上．

因此所求双曲线方程为＝1．)12．解：由题意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P点在以B、A为焦点的以4为实轴长的双曲线的右支上，设其方程为＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P点在双曲线＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P点在线段BC的垂直平分线l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中点(－4，)∴l的方程为y－＝(x＋4)，即点P在直线y＝(x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P点坐标(8，5)设所求方向角为θ，即θ＝∠xAP，由tanθ＝∴A处炮击的方向角为60°．，得θ＝60°