优秀教案14-双曲线的简单几何性质(精)

第一篇：优秀教案14-双曲线的简单几何性质(精)

2.2.2 双曲线的简单几何性质(1 教材分析

本节内容是数学选修 2-1第二章第三节《双曲线的简单几何性质》,是在学习完了椭圆基本知识和双曲 线的标准方程之后要研究的课题.它是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础;有 助于学生理解、体会利用代数方法研究几何问题的解析几何观念, 提高学生的数学素质.本节课的重点是双曲 线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程;难点是渐近线的理解,离心率与双曲线形状的关 系, 以及双曲线的另一种定义的得出过程.通过探究双曲线的简单几何性质, 可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力,要求学生有意识地运用数形结合思想、分类讨论思想,在解决新问题的过程中,又要自觉 的运用化归与转化思想,体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配

本节内容计划用 2课时的时间完成,本节课为第一课时,主要讲解双曲线的简单几何性质及双曲线的另 一种定义.教学目标

重点 : 双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程.难点:渐近线的理解,离心率与双曲线形状的关系,以及双曲线的另一种定义的得出过程.知识点:双曲线简单的几何性质.能力点:如何运用双曲线的几何性质解决双曲线的综合问题,数形结合、分类讨论的数学思想的运用.教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情.自主探究点:双曲线的另一种定义方式.考试点:用双曲线的简单几何性质解决简单的数学问题.易错易混点:在运用几何性质时学生容易与椭圆的几何性质混淆出现错误.拓展点:双曲线渐近线的深入理解及几类特殊的双曲线.教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学

一、复习引入

我们已经学习过椭圆的简单几何性质,并且研究了直线与椭圆的位置关系,那么双曲线有哪些几何性质 呢?本节课我们就一起来研究一下双曲线的几何性质.【设计意图】 通过回顾椭圆与双曲线的定义及标准方程,使学生学会类比,通过类比椭圆的简单几何性质 进而引入本节课所要研究的双曲线的几何性质,通过类比熟悉的内容去学习新的内容消除了学生心理上的 恐惧,更有利于新知识的接受与理解.二、探究新知 1.范围、对称性 由标准方程 12222=-b y a x 可得 2 2a x ≥,当 a x ≥时, y 才有实数值;对于 y 的任何值, x 都有实数

这说明从横的方向来看,直线 , x a x a =-=之间没有图像,从纵的方向来看,随着 x 的增大, y 的绝

对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,双曲线的图像关于 x 轴、y 轴及坐标原点都对称,但

不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心.2.顶点

顶点:(0, , 0,(21a A a A-特殊点:(b B b B-, 0, , 0(21 实轴:21A A 长为 2a , a 叫做半实轴长.虚轴:21B B 长为 2b , b 叫做虚半轴长.结合图形,讲解顶点和轴的概念,在双曲线方程 122 22=-b y a x 中,令 0y =得 a x ±=,故它与 x 轴有两个 交点(0, , 0,(21a A a A-,且 x 轴为双曲线 122 22=-b

y a x 的对称轴,所以(0, , 0,(21a A a A-与其对称轴的交

点,称为双曲线的顶点(一般而言,曲线的顶点均指与其对称轴的交点 ,而对称轴上位于两顶点间的线段

21A A 叫做双曲线 12222=-b y a x 的实轴长,它的长是 2a.在方程 122 22=-b y a x 中令 0x =得 22b y-=,这个

方程没有实数根,说明双曲线和 y 轴没有交点.但 y 轴上的两个特殊点(b B b B-, 0, , 0(21,这两个点在双 曲线中也有非常重要的作用.把线段 21B B 叫做双曲线的虚轴,它的长是 2b.要特别注意不要把虚轴与椭圆 的短轴混淆.双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异.3.渐近线

过双曲线 122 22=-b y a x 的两顶点 21, A A , 作 y 轴的平行线 a x ±=, 经过 21, B B 作 x 轴的平行线 b y ±=, 四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线方程是 x a b y ±=(0=± y x , 这两条直线就是双曲 线的渐近线.分析:要证明直线 x a b y ±=(0=±b y a x 是双曲线 1 2222=-b y a x 的渐近线,即要证明随着 x 的增大,直线和曲线越来越靠拢.也即 如图所示要证曲线上的点到直线的距离 MQ 越来越短, 因此把问

题转化为计算 MQ.但因 MQ 不好直接求得, 渐近线 是 双 曲 线 具 有 的 性 质.||||(b b MQ MN x x a a <=

=-=(||MQ 0−−→−∞ →x

.两类特殊双曲线: A.等轴双曲线

如果 a b =则双曲线的实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线.结合图形说明:a b =时,双曲线方程变成 2 2 2

a y x =-(或 2 b ,它的实轴和都等于 2(2 a b ,这时直线围 成正方形,渐近线方程为 x y ±=.它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.B.共轭双曲线(共渐近线的双曲线系 如 果 已 知 曲 线 的 渐近线 方 程 为 x a b y ±

= 0(>±=k x ka kb , 那 么 此 双 曲 线 方 程 就 一 定 是 : 0(1((2222>±=-k kb y ka x 或写成 λ=-22 22b y a x.这样的一组双曲线叫做互为共轭双曲线.【设计意图】 通过这两类特殊的双曲线的介绍, 使学生对双曲线的渐近线这一特别的概念有个深入的理解, 为解决有关渐近线的综合题目做铺垫,在已知渐近线方程求双曲线标准方程式时要考虑共轭的情况.4.离心率

双曲线的焦距与实轴长的比 a c e = ,叫做双曲线的离心率.0, 1c a e >>∴>.b a ===.因此 e 越大, b a 也越大,即渐近线 b y x a

=±的斜率的绝对值越大, 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔.【设计意图】 通过介绍双曲线的离心率的定义,类比椭圆的离心率,明确两类圆锥曲线离心率的范围.【设计说明】 本环节为和学生一起探究新知的过程, 通过类比椭圆的简单几何性质得出双曲线的几何性质, 为接下来应用双曲线几何性质解题做了铺垫.三、理解新知

渐近线是双曲线所特有的,注意理解无限接近,但永远也达不到的意义.渐近线是双曲线的难点,结合两 类特殊的双曲线去理解会比较简单,互为共轭双曲线的两条双曲线是有相同的渐近线的.双曲线 12222=-b y a x 的渐近线方程为:x a b y ±=;双曲线 22221y x a b-=的渐近线方程为:a y x b =±.四、运用新知 例 1 求双曲线 2 2 916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解:把方程化为标准方程.13 422 22=-x y 由此可知实半轴长 4a =, 虚半轴长 3b =

.5c ===,焦点的坐标是(0,5,(0,5-;离心率为:5 4 c e a =

=;渐近线方程为 34x y =± , 43 y x =±即.【设计意图】 本例主要是考查学生对双曲线基本概念的掌握情况, 进而可以由这些条件画出双曲线的草图.练习:61KP 练习1 例 2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为 12m ,上 口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高 55m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到 1m.解 :如 图 , 建 立 直 角 坐 标 系 xOy , 在 使小圆的直径 A A '轴上, 在 x 圆 心 与 原 点 重

合.轴,平行于、上、下口的直径 x B B C C ''且 m(213' ⨯=CC.m(225' ⨯=BB 设双曲线的方程为.0, 0(122 22>>=-b a b y a x

令点 C 的坐标为(13, y ,则点 B 的坐标为(25, y− 55.∵点 B、C 在双曲线上,则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--13, 2(2112(11 55(12252 2 22 2 22b y b y ⇒(12 5舍负值 b y = 代入① , 消 y 得 0***=-+b b ③ 解方程③,得 b ≈ 25(m.∴所求方程为.1625 1442 2=-y x y x

o A' B' C' A B C 131225 练习:61KP 练习2, 3 【设计意图】 本例为实际问题,主要考查学生求解双曲线的标准方程的能力,将实际问题抽象出数学模型 来再去通过建立适当的坐标系求出双曲线的标准方程.例 3点(, M x y 与定点 F(5,0距离和它到定直线 16:5l x = 的距离之比是常数 5 4 , 求点 M 的轨迹方程.分析:利用求轨迹方程的方法 求解.解 :设 d 是点 M 到直线 l 的距离 , 根据题意 , 所求轨迹就是集合 || MF P M d

⎧=⎨⎩ 即

= 22 1169x y-=化简得

所以,点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线.由本例可知 :定点 F(5,0为该双曲线的焦点 , 定直线 16 :5 l x =为 2a x c =, 常数为离心率 a c e = >1.[提出问题 ]:(从特殊到一般 将上题改为:点 M(x,y与定点 F(c,0距离和它到定直线 2 :a l x c =的距离之比

是常数 1c e a = >, 求点 M 的轨迹方程.解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离, 根据题意 , 所求轨迹就是集合 P={M|||5 MF d =}, 即 c a = 化简得 2 2 2 2 2 2 2 2((c a x a y a c a--=-两边同时除以 2 2(a c a-得 22 221x y a b-=(0, 0 a b >>其中

【设计意图】 通过本例引出双曲线的第二定义,为更好的理解双曲线的几何性质打下基础.[变式练习]已知(3,1A ,(2,0F ,在双曲线 2 2 13

y x-=上求一 点 P ,使 12 PA PF + 得值最小,并求出最小值.分析:解本题的关键是利用第二定义将 12

PA PF + 中的 12PF 进 行转化.解 :由 题 意 可 得 2e =, 设 点 P 到 右 准 线 的 距 离 为 d , 则 2PF e d ==,即 12 PF d =,所以要求 12 PA PF + 的最小值, c 即为 的最小值，由图可得最小距离为：，此时 P(3 c 2

五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：

1、知识：双曲线的简单几何性质

2、思想：分类讨论的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想． 教师总结: 本节课我们学习了另一类特殊的圆锥曲线，双曲线的简单几何性质，主要是通过类比椭圆的几 何性质得出的，当然也有双曲线自己所独有的渐近线的相关性质，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前 面学过的内容,“温故而知新” ．在应用中增强对知识(如本节的渐近线的相关性质的理解，及时查缺补漏,从而 更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知

识、思想方法的认识与自觉运用． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔” ．

六、布置作业 1．阅读教材 P56—60； 2.书面作业 必做题：课本习题 2.3A 组 1、2、3、4 本节《自主学习丛书》 选做题：课本习题 2.3B 组 4 3．课外思考 如何类比直线与椭圆的位置关系来研究直线与双曲线的位置关系呢？ 【设计意图】设计作业 1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是 为了让学生能够运用双曲线的简单几何性质，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生加深对双曲线 几何性质的理解，通过类比、探究得出新的内容.七、教后反思 1.本教案的亮点是变式训练.在例 3 的教学后，提出问题，由特殊到一般，得出双曲线的第二定义，变式 训练又在不知不觉中提高了难度，是对第二定义的很好的应用，提高了学生的解题能力． 2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在双曲线渐近线的探寻上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊 断与分析.八、板书设计 2．3．2 双曲线的简答几何性质（1）

一、复习引入 运用新知 例1 例2

二、探究新知

1、范围、对称性

2、顶点

3、渐近线

4、离心率 例3 变式训练： 课堂小结 作业

第二篇：双曲线及其简单几何性质作业

家长签字：

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生:

授课时间：________年级：

教师：求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点是（-4,0），（4,0），过点（2,0）

（2）离心率为54，半虚轴长为2（3）两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为

6的弦为AB，求：（（2）F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）

1）

AB 3 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0），一条渐近线的方程为（1）求双曲线C的标准方程

5x2y0、（2）若以k（k不为0）的斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标围成的三角形的面积为

812，求K的范围

第三篇：双曲线几何性质2

授课时间 周星期 授课班级 授课教师 方法、技巧、规律 课双曲线几何性质 题 学1．了解双曲线的简单几何性质——渐近线习2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。目.标 重双曲线的几何性质及初步运用。点 难双曲线的渐近线 点 问题 1：由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线 标准方程 观察图形，把握对 称性`开放性和特 殊点 渐近线方程 问题2实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线 学方程可表示为___________，渐近线方程为________,习问题3：不同的双曲线渐近线会相同吗？ 过x2y222程 1.双曲线491渐近线方程为_____，双曲线y36x161渐近线方程为_____ 2.（2009天津卷文）设双曲线x22a2yb21(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，x224ky9k1渐近线方程为____ 例2.已知双曲线方程x29y2161，求与它共渐近线且满 1）过点(3,23)22）焦点为椭圆x210y51的顶点 3）焦距为10 渐近线应用 21）（2009宁夏海南卷理）双曲线x24-y12=1的焦点到渐近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)设双曲线x2a2y291a0的渐近线3）（2010浙江理数）（8）设Fx21、F2分别为双曲线a2曲线右支上存在点P，满足PF2F1F2，且F2到直线双曲线的渐近线方程为（A）3x4y0（B）3x5y0（C）4x3yx24）.（2009全国卷）双曲线y21的渐近线与圆(b

第四篇：§8.2.4双曲线几何性质

双曲线的几何性质（2）

一．课题：双曲线的几何性质（2）

二．教学目标：1.巩固双曲线的几何性质；

2.能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程。

三．教学重、难点：几何性质的运用。四．教学过程：

（一）复习：

1．双曲线的几何性质：

①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。2．练习：

①双曲线25x216y2400的实轴长等于

，虚轴长等于

，顶点坐标为

，焦点坐标为

，渐近线方程为

，离心率等于

．（若方程改为16y225x2400呢？）

（二）新课讲解： 例1．求证：双曲线

【练习】与双曲线y2xa22yb22（0）与双曲线

xa22yb221有共同的渐近线。

4x231有共同的渐近线且经过点M(3,2的)双曲线方程是 ．

例2．求中心在原点，一条渐近线方程为2x3y0，且一焦点为(4,0)的双曲线标准方程。

例3．已知双曲线的渐近线方程为y23x，实轴长为12，求它的标准方程。

五．小结： 用双曲线的性质求双曲线方程。六．作业： 课本P114第6题

补充：1．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)，（1）求双曲线方程；

（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：MF1MF2；（3）求F1MF2的面积。

第五篇：双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质

【学习障碍】 1．理解障碍

(1)关于双曲线对称性的理解

把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．

同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点．(2)关于对双曲线渐近线的理解

xyxyx2y2除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，当双曲线上点P(x，y)在第一、三象限且远离原点时，|在二、四象限远离原点时，|

xyxy＋|→＋∞，此时－→0，当点P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此时＋→0；这些表明双曲线(H)上位于一、三象限的点远ababxyxy离原点时，双曲线越来越靠近直线－＝0，位于二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直线＋＝0与－＝0叫做双曲线(H)的渐近线．

abab(3)关于对离心率e的理解

cbba2b2b由于e＝＝=1，e越大，渐近线y＝x的斜率就越大，这时渐近线y＝－x到yaaaaa＝

2bx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄． a2．解题障碍

(1)双曲线焦点位置的判定

双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定．(2)双曲线方程的几种变形

x2y2x2y2以双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即2－2＝0就是其渐近线方ababx2y2程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即2－2＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为

abλ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线

ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线的几个重要性质

渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．

【学习策略】 1．待定系数法

根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义． 2．定义法

与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果． 3．利用双曲线系 利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系． 【例题分析】

［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．

策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．

1x，2a1当x＝4时，y＝2＜yP＝3 ∴焦点在y轴上，即＝，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝x2y2∴双曲线方程为－22＝1 4kk∵P(4，3)在双曲线上，∴－169

2＝1，∴k＝5 224kkx2y2∴a＝5，b＝20 ∴所求双曲线方程为－＝1 20522

xx2解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0 ∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0．

24x2∴可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)

∵双曲线经过点P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

∴所求的双曲线方程为－y＝－5，即－＝1．

4205评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对

22xy双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0，λ为参数)ab中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

x2y25［例2］已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程． 1332策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．

解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝133＝10，焦点F(±10，0)在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2∴所求双曲线方程为＝1． 82x2y2解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为＝1(3＜k＜13)13k3kx2y2即＝1，13kk3∴a＝13k，c＝10

∴离心率e＝c10＝，a13k即510＝解得k＝5．

213kx2y2∴所求双曲线方程为＝1． 8222xy评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆2+2＝1共焦点的圆锥曲线ab22xy系方程为2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程akbk表示双曲线．

［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．

策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．

解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±∵焦点F(±5，0)在x轴上，∴

3x． 4b3＝，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为－＝1． 169169解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x29y216＝1

∴a2＝，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9³16

x2y2y2x2＝1． ∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为169169评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．

策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．

解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时，根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1为左焦点)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2为右焦点)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|²|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4³(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|²|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2³32＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．

［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)

2x2y2 ＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF|²|PF|＝32，求证PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是双曲线1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第一、第二类点的分界．

解：设M是分界线上的任意一点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|²|PB|²cos60°＝1002＋1502－2³100³150²1＝17500

2∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤

x2y2＝1(x≥25)6253750所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．

评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域． ［例6］(2000年²全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

32≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之． 解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2chc(2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．设双曲线方程为2－2＝1，则离心率e＝，21aab2(1)由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝e2h221①4b 2222he21②411b22he由①式得21 ③ b4c代入双曲线的方程得： a3e2将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e2433322依题设≤λ≤得：≤1－2≤，4e2433解得7≤ e ≤10

所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］． 评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－

312

32，也可整理为e＝＝－2，再用2e211观察法求得7≤ e ≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．

x2y2［例7］设双曲线2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距ab离为3c，求双曲线的离心率。4解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：

xy＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由点到直线的距离公式得：aba2b23c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2b2b221又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步达纲练习】

1．下列各对双曲线中，离心率与渐近线都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．双曲线－＝1的两条渐近线所夹锐角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．点P为双曲线－y2＝1右支上一点(非顶点)，F1、F2是该双曲线的焦点，则△F1PF2的内心在（）

A．直线x＝2上 B．直线x＝1上 C．直线y＝2x上 D．直线y＝x上

5．设连接双曲线－＝1与－＝1的四个顶点的四边形的面积是S1，连结其四个焦点的面积为S2，则的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点且∠PF1Q＝___________．，则双曲线的离心率是7．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为___________．

8．双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且过点P(3，－)，则它的标准方程是___________．

9．若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为___________． 10．已知中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上的等轴双曲线经过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．

11．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2＋y2＝17相交于点A(4，－1)，若圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求这双曲线方程．

12．在一次模拟军事演习中，A、B、C是我军三个炮兵阵地．在指挥作战图的坐标平面上，由数据给出：A在指挥中心O的正东3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P为敌军阵地(如图8—4—3)．某时刻，A处发现了敌军阵地P的某种信号，设该信号传播速度为1 km/s，由于B、C两地比A地距P地远，因此4秒钟后，B、C才同时发现信号，于是A处准备炮击P处，求A处炮击的方向角θ(即东偏北多少度)．

参考答案

【同步达纲练习】

1．解析：(用排除法)选项A和B中的两个方程所表示的双曲线渐近线不同，故排除A和B，而C中的两个方程所表示的双曲线渐近线相同而离心率不同，所以也排除C，因此选D．

答案：D 2．解析：双曲线＝1的两条渐近线方程为y＝±x，设两渐近线的夹角为θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：双曲线∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1两渐近线方程为y＝±x，又由题设知：－²＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：设双曲线的右顶点为N，△F1PF2的内切圆切双曲线的实轴于T，由双曲线的定义知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面几何知识得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右顶点N(2，0)，∴T与N重合，由圆的切线的性质定理知，△F1PF2的内切圆的圆心必在直线x＝2上． 答案：A 5．解析：由题设知双曲线＝1的焦点坐标为：(±，0)，顶点坐标为

(±a，0)，双曲线＝1的焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(0，±b)． 则S1＝²|2a|²|2b|＝2|ab|，S2＝

³（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，则2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦点坐标为(±3，0)，顶点为(±，0)，设所求椭圆方

程为＝1(a>b>0)，则：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：设所求双曲线方程为

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程为＝1．

答案：＝1 9．解析：离心率e＝，由于渐近线方程为y＝±x，当双曲线焦点在x轴时，当双曲线焦点在y轴时，故e为或．

答案：或 10．解：(1)设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)则有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求双曲线方程为＝1．

(2)将点M(3，m)代入双曲线方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2

＝1，又由双曲线方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|²|MF2|＝|F1F2|2－24＝4³12－24＝24 ∴＝|MF1|²|MF2|＝6．

11．解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，方程为＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，由已知条件知：双曲线过点A(4，－1)，则有＝1 ①

又∵圆x2＋y2＝17在A(4，－1)的切线方程为4x－y＝17，由题意知

＝4 ②

解由①②组成的方程组得：a2＝，b2＝255．

∴当焦点在x轴上时，双曲线方程为： ＝1．

当焦点在y轴上时，双曲线方程为1 ③

＝1(a>0，b>0)．由题设知过点A(4，－1)，则有＝而双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦点不可能在y轴上．

因此所求双曲线方程为＝1．)12．解：由题意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P点在以B、A为焦点的以4为实轴长的双曲线的右支上，设其方程为＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P点在双曲线＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P点在线段BC的垂直平分线l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中点(－4，)∴l的方程为y－＝(x＋4)，即点P在直线y＝(x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P点坐标(8，5)设所求方向角为θ，即θ＝∠xAP，由tanθ＝∴A处炮击的方向角为60°．，得θ＝60°