双曲线的简单几何性质 典型例题解析

第一篇：双曲线的简单几何性质 典型例题解析

典例剖析

x2y2［例1］已知双曲线22=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.x2y2【证明】 双曲线22=1的两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相应的准线方程分别是x=－和x=.cc∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0ac2e,PF2x0ac2e.化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【点评】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜称作焦半径公式.［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=程.1,求双曲线的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴双曲线的方程是=1.460【点评】 双曲线的准线总与实轴垂直.x2y2［例3］在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两169倍.【解】 设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x=±

16.5∴PF116x5PF216x5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.16165xx5548x2y2把x=代入方程=1得： 1695y=±3119.5483，±119)

55【点评】 此题也可用焦半径解答.所以，P点的坐标为(

第二篇：双曲线的简单几何性质 典型例题解析

典例剖析

［例1］已知双曲线的方程by－ax=ab(a＞0,b＞0)，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程.【解】 把方程化为标准方程

ya2222222

2xb22=1，由此可知，实半轴长为a,虚半轴长为b，c=a2b2.焦点坐标是(0,－a2b2),(0, 渐近线方程为x=±【点评】 双曲线近线为x=±baxaa2b2).ba22y,即y=±

yb22abx.ba=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±x,双曲线

ya22xb22=1的渐y,即y=±

abx，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.［例2］求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是(4，0)的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率.【解】 双曲线的渐近线方程可写成（λ≠0）

∵焦点在x轴上，∴λ＞0 把双曲线的方程写成x2x4y3=0,因此双曲线的方程可写成x216y29＝λ

16y29＝1

1625y2∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝故所求双曲线的标准方程为

x2 ＝1

2562514425∵a2=25625,即a=165，ca416554∴双曲线的离心率e=.【点评】 渐近线为对角线证明.xayb＝0的双曲线方程总是

xa22yb22＝λ（λ≠0），可利用矩形［例3］等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点.求证：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.【证明】（1）不妨设等轴双曲线的方程为设直线MN的方程为x=b(b>a)

xa22yb22＝1 如图8—7易求得

N(b,a2b2)

图8—7 b2∴tanNA1x＝a2ab2=

baba

tanNA2x＝ba2ba=

baba

∴tanNA1x＝21tanNA2x＝cotNA2x

＝tan（－∠NA2x）

又∠NA1x，∠NA2x均为锐角

∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90° 根据对称性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°（2）仿(1)可求得M(b，－b2a2)baba22∴kMAkA12Nbaba22＝－1 ∴MA1⊥A2N同理可证MA2⊥A1N.【点评】 利用对称性把要证等式转化为证明∠NA2x＋∠NA1x＝90°为本题证明的突破口，体现转化意识.

第三篇：8.4双曲线的简单几何性质例题(一)

高二圆锥曲线方程同步练习4（双曲线的简单几何性质）

例1 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3:7，求两曲线方程.例2 直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.x2y22例3 在双曲线221(a>0,b>0)的两条渐近线上分别取A、B两点，使OAOBc，其中cab是半焦距，O是中心，求AB中点P的轨迹方程.—1— 例4 已知双曲线c的实半轴长与虚半轴长的乘积等于3，c的两个焦点为F1、F2，直线l过F2点，且与直线F1F2的夹角为φ,tanφ=

21,l与F1F2线段的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线的交点2为Q，且PQ:QF22，求此双曲线的方程.说明：此题意在增强学生建立坐标系的意识，并进一步熟悉双曲线的几何性质及待定系数法.—2—

第四篇：§8.4双曲线的简单几何性质例题(四)

［例1］过点P(8，1)的直线与双曲线x24y24相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程.选题意图：考查直线与曲线位置关系等基础知识.解：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）

则x124y12=4 ①

x24y24 ② 22①-②得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0 ∵P是线段AB的中点，∴x1x216,y1y22 ∴y1y2x1x2x1x24(y1y2)2

∴直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.说明：此题也可设直线的斜率为k，然后待定k的值.［例2］过双曲线xa22yb221的焦点F(c,0)作渐近线

ybax的垂线，求证：垂足H在与此焦点相对应的准线x证明：过F与ybaa2c上.ab(xc)x垂直的直线的方程是y2axc得yabc.ay(xc)b由方程组ybxa

即H点的坐标是(∴H在直线上xa2c2,abc)，ac.y20［例3］已知双曲线的一条准线方程为x是(-2，与这条准线相对应的焦点的坐标,2),且双曲线的离心率为

2，求双曲线的方程.选题意图：灵活运用双曲线的定义解决数学问题.解：设P(x,y)是双曲线上的任一点，P到直线xxy22y20的距离为

.P到焦点的距离为

(x2)(y22)2，∴(x2)2(y22)22

xy2∴(x2)2(y2)2xy2.两边平方，得：

x222x2y222y2x2y222xy22x22y

∴xy=-1.即所求双曲线的方程为xy=-1.［例4］如图，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当2334时，求双曲线离心率e的取值范围.选题意图：考查坐标法、定比分点坐标公式，双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.分析：关键找e与λ的关系.解：建立如图所示的直角坐标系，设双曲线方程为

xa22yb221.∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记Ａ（－ｃ，０），ｃ（,h），Ｅ（ｘ０，ｙ０）

2c其中c12AB,h是梯形的高.(2)c2(1),y0由定比分点坐标公式得x0h1

ca∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e= e2代入双曲线方程得：

4e2hb(221 ①

21hb4)222(e12)2hb221 ②

由①得： 又ee2241代入②并整理得：

12

34,，得：

23ee22231234

解得7≤ｅ≤10

∴双曲线离心率的取值范围为［7，10］.说明：e2ee2212也可整理成

3121212231

观察之7≤ｅ≤10

第五篇：§8.4双曲线的简单几何性质例题(三)

［例1］已知双曲线

xa22yb22b＞0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）1(a＞0，是双曲线上的任一点，求证：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是双曲线的离心率.选题意图：巩固双曲线的第二定义，给出双曲线焦半径的推导方法.证明：双曲线xa2xa22yb221的两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)相应的准线方程分别是

c和xa2c.∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0a2e,PF2x0a2e.cc化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.说明：｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜称作焦半径公式.

［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x程.选题意图：研究离心率、准线与a、b、c的关系，考查准线的几何意义.解：∵ca4,a212,求双曲线的方c12

∴a=2,c=8,∴b2822260.∴双曲线的方程是x24y2601.说明：双曲线的准线总与实轴垂直.［例3］在双曲线倍.选题意图：考查双曲线准线方程、第二定义等基本内容.

解：设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x∴PF1x165PF2x165x216y291上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两

165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，∴2PF2x165485PF2x165,x4852

把x代入方程x216y91得：y35119.所以，P点的坐标为(485,35119)

此题也可用焦半径解答.