2018年高考前必做题 椭圆的简单几何性质典型例题

第一篇：2018年高考前必做题 椭圆的简单几何性质典型例题

椭圆的简单几何性质典型例题

例

1椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A2，0为长轴端点时，a2，b1，x2y21； 椭圆的标准方程为：41（2）当A2，0为短轴端点时，b2，a4，x2y21； 椭圆的标准方程为：

416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

a212

∴3c2a2，解：2cc3∴e13． 33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x22解：由题意，设椭圆方程为2y1，axy10222由x2，得1ax2ax0，22y1a1x1x21a22，yM1xM∴xM，1a22a kOMyM112，∴a24，xMa4x2y21为所求． ∴4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

x2y9例4椭圆1上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，0的2595距离成等差数列．

（1）求证x1x28；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

证明：（1）由椭圆方程知a5，b3，c4． 由圆锥曲线的统一定义知：2AFa2x1cc，a∴

AFaex15同理

CF54x1． 54x2． 59，5∵

AFCF2BF，且BF∴

54418x15x2，555即

x1x28．

（2）因为线段AC的中点为4，1yy2，所以它的垂直平分线方程为 2

yy1y2x1x2x4． 2y1y2又∵点T在x轴上，设其坐标为x0，0，代入上式，得

2y12y

2x04

2x1x2又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，925x12 2592225x2

y2 25922x1x2x1x2． ∴ y1y225∴ y12将此式代入①，并利用x1x28的结论得

x0436 2∴ kBT 9055．

4x04x2y例5 已知椭圆1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到43左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M存在，设Mx1，y1，由已知条件得

2a2，b3，∴c1，e∵左准线l的方程是x4，∴MN4x1． 又由焦半径公式知：

1． 21x1，21MF2aex12x1．

2MF1aex12∵MN2MF1MF2，2∴x142211x12x1． 22整理得5x132x1480． 解之得x14或x112．

① 5另一方面2x12．

②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

x211例6 已知椭圆y21，求过点P，且被P平分的弦所在的直线方程．

222分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y整理得

11kx．代入椭圆方程，并2212kx2k222132kxk2k0．

222k22k由韦达定理得x1x2． 212k∵P是弦中点，∴x1x21．故得k所以所求直线方程为2x4y30．

分析二：设弦两端坐标为x1，y1、x2，y2，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：

1． 2y1y2．

x1x21122解法二：设过P，的直线与椭圆交于Ax1，y1、Bx2，y2，则由题意得

x122y，1122x22y21，2x1x21，y1y21.①② ③④2x12x22y12y20．

⑤ ①－②得2将③、④代入⑤得

1y1y21，即直线的斜率为．

2x1x22 所求直线方程为2x4y30．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点2，6；

（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

x2y22分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由221求出a148，abx2y2y2x21． 1后，不能依此写出另一方程b37，在得方程

14837148372x2y2y2x2解：（1）设椭圆的标准方程为221或221．

abab由已知a2b．

① 又过点2，6，因此有

22662221或221．

② a2bab22由①、②，得a148，b37或a52，b13．故所求的方程为 2222x2y2y2x21． 1或521314837x2y22（2）设方程为221．由已知，c3，bc3，所以a18．故所求方程abx2y21． 为189说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置

x2y2y2x2是否确定，若不能确定，应设方程221或221．

abab

x2y21的右焦点为F，例8 椭圆过点A1点M在椭圆上，当AM2MF，3，1612为最小值时，求点M的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率e最小值．一般地，求AM1，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得21MF均可用此法． e1解：由已知：a4，c2．所以e，右准线

2l：x8．

过A作AQl，垂足为Q，交椭圆于M，故显然AM2MF的最小值为AQ，即MMQ2MF．为所求点，因此yM3，且M在椭圆上．故xM23．所以M23，3．

说明：本题关键在于未知式AM2MF中的“2”的处理．事实上，如图，e1，2即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．

x2y21上的点到直线xy60的距离的最小值． 例9 求椭圆3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

x3cos，解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为

ysin.直线的距离为

3cos，sin，则点到d2sin63cossin63． 221时，d最小值22． 3当sin说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e33，已知点P0，到22这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

x2y2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是221，其中ab0待定．

abc2a2b2b212可得 由e2aa2a2b311e21，即a2b． a42设椭圆上的点x，y到点P的距离是d，则

3y2922dxya1y3y 224b22291

4b3y3y3y4b23

42222其中byb． 如果b12，则当yb时，d（从而d）有最大值． 2由题设得731137b，由此得b7，与b矛盾．

222222因此必有b由题设得112成立，于是当y时，d（从而d）有最大值． 2224b23，可得b1，a2．

x2y21． ∴所求椭圆方程是41由y111及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点3，，点3，到点222 3P0，的距离是7． 2解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是xacos，其中ab0，待定，ybsin02，为参数．

c2a2b2b2由e21可得 2aaab311e21，即a2b． a42设椭圆上的点x，y到点P0，的距离为d，则

2223233d2x2ya2cos2bsin

22

4b3bsin3bsin22229 41

3b2sin4b23

2b如果111，即b，则当sin1时，d2（从而d）有最大值． 2b2由题设得成立． 311137b，由此得b7，与b矛盾，因此必有12222b222于是当sin由题设知12时d（从而d）有最大值． 2b724b23，∴b1，a2．

∴所求椭圆的参数方程是x2cos．

ysin由sin 1311，cos，可得椭圆上的是3，，3，． 2222例11 设x，yR，2x3y6x，求xy2x的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x3y6x与椭圆方程的结构一

222222致．设x2y22xm，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由2x23y26x，得

3xy221

9324可见它表示一个椭圆，其中心在，0点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．

设x2y22xm，则

x1y2m1 2232它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m1m1．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m11，此时m0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m14，∴m15．

∴xy2x的最小值为0，最大值为15． 22

x2y2例12 已知椭圆C：221ab0，A、B是其长轴的两个端点．

abb如何变化，APB120．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP，求证：不论a、（2）如果椭圆上存在一个点Q，使AQB120，求C的离心率e的取值范围．

 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足

的不等式，只能是椭圆的固有性质：xa，yb，根据AQB得到120a222ay22b、3，将xa2y代入，消去x，用a、以便利用ybc表示y，bx2y2a2列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设Fc，0，Aa，0，Ba，0．

xcb2Pc，

222222 abxayab于是kAPb2b2，kBP． acaaca∵APB是AP到BP的角．

b2b22a2acaaca∴tanAPB2

b4c122aca2∵ac ∴tanAPB2

故tanAPB

3∴APB120．（2）设Qx，y，则kQA22yy，kQB． xaxa由于对称性，不妨设y0，于是AQB是QA到QB的角．

yy2aya∴tanAQBxax 2222yxya12xa2∵AQB120，∴2ay3

x2y2a2整理得3x2y2a22ay0 a22∵xa2y

b22 a22∴31b2y2ay0

2ab2∵y0，∴y 23c2ab2∵yb，∴b 23c2ab3c2，4a2a2c23c2

∴4c4ac4a0，3e4e40 ∴e2422442362或e2（舍），∴e1． 231x2y21的离心率e，求k的值． 例13 已知椭圆

2k89分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x轴上时，ak8，b9，得ck1．由e当椭圆的焦点在y轴上时，a9，bk8，得c1k．

2222221，得k4． 211k15，即k．，得29445∴满足条件的k4或k．

4由e说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．

x2y2例14 已知椭圆221上一点P到右焦点F2的距离为b(b1)，求P到左准线4bb的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

x2y23解法一：由221，得a2b，c3b，e．

24bb由椭圆定义，PF1PF22a4b，得

PF14bPF24bb3b．

由椭圆第二定义，PF1d1e，d1为P到左准线的距离，∴d1PF1e23b，即P到左准线的距离为23b．

解法二：∵PF2d2PF2ee，d2为P到右准线的距离，e23b． 3c3，a2∴d2a283又椭圆两准线的距离为2b．

c3∴P到左准线的距离为

8323bb23b． 33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

x4cos,例15 设椭圆(为参数)上一点P与x轴正向所成角POx，求

3y23sin.P点坐标．

分析：利用参数与POx之间的关系求解．

解：设P(4cos,23sin)，由P与x轴正向所成角为

，3∴tan323sin，即tan2．

4cos525，sin，55而sin0，cos0，由此得到cos∴P点坐标为(45415,)． 55x2y2例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆221(ab0)上的一点，P到左焦

ab点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2，求证：r1aex0，r2aex0．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．

a2a2解：P点到椭圆的左准线l：x的距离，PQx0，cc由椭圆第二定义，PF1PQe，∴r1aex0． 1ePQaex0，由椭圆第一定义，r22ar说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．

x2y21内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点例17 已知椭圆95P是椭圆上一点．

P坐标；(1)求PAPF1的最大值、最小值及对应的点(2)求PA3PF2的最小值及对应的点P的坐标． 2分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

(1)如上图，2a6，F2(2,0)，AF22，设P是椭圆上任一点，由，∴PF1PF22a6，PAPF2AF2PAPF1PF1PF2AF22aAF262，等号仅当PAPF2AF2时成立，此时P、A、F2共线．

由PAPF∴PAPF1PF1PF2AF22aAF262，等2AF2，P、A、F2共线． 号仅当PAPF2AF2时成立，此时建立A、F2的直线方程xy20，解方程组xy20,5x9y4522得两交点

9***P(2,2)P(2,2)．、127***P点与P2重合时，综上所述，P点与P1重合时，PAPF1取最小值62，PAPF2取最大值62．

(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a3，c2，∴ePF2232．由椭圆第二定义知，∴PQPF2e32PQ3，∴3PF2PAPQ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右29准线方程为x．

2PA∴A到右准线距离为

7．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条2

件的点P坐标(65,1)． 51PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧e说明：求PA用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．

x2y21的参数方程； 例18(1)写出椭圆94(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

x3cos解：(1)(R)．

y2sin(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设

(3cos,2sin)为矩形在第一象限的顶点，(0)，2则S43cos2sin12sin212

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF260．(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

x2y221（ab0），P(x1,y1)（y10）． 2ab思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60KPF2KPF11KPF2KPF13，设P(x1,y1)，F1(c,0)，F2(c,0)，化简可得3x13y12cy13c20．又x1y1222，两方程联立消去得1x3cy12b2cy13b40，由y1(0,b]，可以122ab确定离心率的取值范围；解出y1可以求出PF1F2的面积，但这一过程很繁．

思路二：利用焦半径公式PF在PF1F2中运用余弦定理，1aex1，PF2aex1，求x1，再利用x1[a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出PF1F2的面积．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1PF22a求解． 2222

x2y2解：(法1)设椭圆方程为221（ab0），P(x1,y1)，F1(c,0)，F2(c,0)，abc0，则PF1aex1，PF2aex1． 在PF1F2中，由余弦定理得

1(aex1)2(aex1)24c2，cos6022(aex1)(aex1)4c2a2解得x1． 23e2(1)∵x1(0,a2]，24c2a2a2，即4c2a20． ∴023e∴ec1． a212故椭圆离心率的取范围是e[,1)．

4c2a2x2y2(2)将x1代入221得 2ab3e2b4b2y12，即y1．

3c3c2∴SPF1F211b232F1F2y2cb． 2233c即PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设PF2F1，PF1F2，1m，PF2n，PF则120．

(1)在PF1F2中，由正弦定理得

mn2c． sinsinsin60 ∴mn2c sinsinsin60∵mn2a，∴2a2c，sinsinsin60∴ecsin60sin60 asinsin2sincos2211． 22cos2当且仅当时等号成立．

故椭圆离心率的取值范围是e[,1)．(2)在PF1F2中，由余弦定理得：

12(2c)2m2n22mncos60

m2n2mn (mn)23mn

∵mn2a，22∴4c4a3mn，即mn424(ac2)b2． 33∴SPF1F2132mnsin60b． 23即PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF1PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路．

x2y2例20 椭圆221(ab0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，ab使OPAP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OPAP，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是xacos(ab0)，ybsin则椭圆上的点P(acos,bsin)，A(a,0)，∵OPAP，∴bsinbsin1，acosacosa22b2即(ab)cosacosb0，解得cos1或cos2，2ab222b21，又b2a2c2 ∵1cos1 ∴cos1（舍去），122aba2∴022，c∴e22，又0e1，∴e1． 222,1)，求证在椭圆上总存在点P使OPAP．如何2说明：若已知椭圆离心率范围(证明？

第二篇：双曲线的简单几何性质 典型例题解析

典例剖析

x2y2［例1］已知双曲线22=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.x2y2【证明】 双曲线22=1的两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相应的准线方程分别是x=－和x=.cc∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0ac2e,PF2x0ac2e.化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【点评】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜称作焦半径公式.［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=程.1,求双曲线的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴双曲线的方程是=1.460【点评】 双曲线的准线总与实轴垂直.x2y2［例3］在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两169倍.【解】 设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x=±

16.5∴PF116x5PF216x5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.16165xx5548x2y2把x=代入方程=1得： 1695y=±3119.5483，±119)

55【点评】 此题也可用焦半径解答.所以，P点的坐标为(

第三篇：双曲线的简单几何性质 典型例题解析

典例剖析

［例1］已知双曲线的方程by－ax=ab(a＞0,b＞0)，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程.【解】 把方程化为标准方程

ya2222222

2xb22=1，由此可知，实半轴长为a,虚半轴长为b，c=a2b2.焦点坐标是(0,－a2b2),(0, 渐近线方程为x=±【点评】 双曲线近线为x=±baxaa2b2).ba22y,即y=±

yb22abx.ba=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±x,双曲线

ya22xb22=1的渐y,即y=±

abx，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.［例2］求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是(4，0)的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率.【解】 双曲线的渐近线方程可写成（λ≠0）

∵焦点在x轴上，∴λ＞0 把双曲线的方程写成x2x4y3=0,因此双曲线的方程可写成x216y29＝λ

16y29＝1

1625y2∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝故所求双曲线的标准方程为

x2 ＝1

2562514425∵a2=25625,即a=165，ca416554∴双曲线的离心率e=.【点评】 渐近线为对角线证明.xayb＝0的双曲线方程总是

xa22yb22＝λ（λ≠0），可利用矩形［例3］等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点.求证：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.【证明】（1）不妨设等轴双曲线的方程为设直线MN的方程为x=b(b>a)

xa22yb22＝1 如图8—7易求得

N(b,a2b2)

图8—7 b2∴tanNA1x＝a2ab2=

baba

tanNA2x＝ba2ba=

baba

∴tanNA1x＝21tanNA2x＝cotNA2x

＝tan（－∠NA2x）

又∠NA1x，∠NA2x均为锐角

∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90° 根据对称性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°（2）仿(1)可求得M(b，－b2a2)baba22∴kMAkA12Nbaba22＝－1 ∴MA1⊥A2N同理可证MA2⊥A1N.【点评】 利用对称性把要证等式转化为证明∠NA2x＋∠NA1x＝90°为本题证明的突破口，体现转化意识.

第四篇：椭圆几何性质教学设计流程图

篇一：教学设计-椭圆的简单几何性质

《椭圆的简单几何性质》说教学设计

一.教材分析 1.地位和作用

本节课是普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）第二章第2节，椭圆的简单几何性质。在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了数学的对称美，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。2.教材的内容安排和处理

考虑到椭圆的性质有较多拓展，我将本节内容分为两课时来完成，本课为第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。3.重点、难点：

教学重点：知识上，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；学生的体验上，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。

教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

二.学生的学情心理分析

我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强, 但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学 设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。

三.教学目标

本着新课程标准的贯彻原则,结合我的学生的实际情况，我制定本节课的教学目标如下：

知识与技能：

掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题。

过程与方法：

通过学生亲身的实践体验，利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质，经历由形到数,由数到形的

思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的数学真谛，进一步体会“数形结合”思想在数学中的重要地位。

情感、态度与价值观：

在自然和谐的教学氛围中，通过师生间的、生生间的平等交流，塑造学生团结协作，钻研探究的品质和态度，培养学生研究问题的能力；通过对椭圆几何性质的发现，学生得到美的感受，体验到探究之后的成功与喜悦。四.教学方法与手段

课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，使学生扎实地学会学习，真正的学以置用，为此我制定了本节课的教学方法和手段如下：

教学方法：

我采用的教学方法主要是情境激趣法、引导发现法、合作探究法等等。

（一）情境激趣法：注重数学知识与实际的联系，同时也发展学生的应用意识，开阔他们的视野。

（二）引导发现法：符合教学原则，充分调动学生的主动性与积极性。

（三）合作探究法：1.体验数学发现和创造的过程，发展他们的创新意识 2.使学生体验到团结协作的力量以及探索发现的成就，符合学生的认知规律

教学手段：

新课标要求,立体几何的教学要直观感知,操作确认。对于本节内容,我也采用了这样的思路。

本节借助多媒体辅助手段及实物投影，创设问题情境，并通过图形引导学生形象直观地体验由数到形的过渡，便于学生观察、认知、探求、发现、归纳。

五.学法指导

根据本节课的教学难点，教师应注意指导学生进行研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神六”号这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材中原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态数学为动态数学。

教学中也突出多媒体辅助知识产生、发展和突破重、难点的优势，从而强化学生对知识的过程与方法的掌握，有利于学生对知识的理解和应用。

六.教学过程

这是本节课教学过程的流程图,我将本节课的教学过程设计为五大环节,特点是以知识与技能为载体，过程与方法为主线，情感、态度与价值观为目标的设计原则，突出多媒体这一教学手段在本节课辅助知识产生，发展和突破重难点的优势。

篇二：椭圆的简单几何性质教学设计

《椭圆的简单几何性质》教学设计

哈工大附中 闫晓丽

教材： 人民教育出版社a版选修1—1 【教学目标】 1.知识目标：

(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中 a、b、c的几何意义及相互关系；

(2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2.能力目标：

培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决 实际问题的能力。

3.德育目标：(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵 的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。(2)通过“神舟7号”飞天圆梦，激发学生爱国之情。

(3)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。

【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。

【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。

【教学方法】发现探究式

【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。

【教学工具】多媒体课件、实物投影仪。

【教学过程】

一．创设情境

教师：请同学们看大屏幕（课件展示“神舟 七号”飞船在变轨前绕地球运 行的模拟图）： 2008.9.25，是我国航天史上一个非常重要的日子，“神舟 七号”载人飞船成功发射，实现了几代中国人遨游太空的梦想,这是我们中华民族的骄傲。我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中 心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距 离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方 程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起 探求椭圆的性质。（引出课题）

教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回答）。

二．探索研究 1.范围

教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过a1、a2作y轴的平行线，过b1、b2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？

学生能答出：椭圆围在一个矩形内。

教师补充完整：椭圆位于四条直线x=±a, y=±b所围成的矩形里，说明椭圆 是有范围的。x2y2 教师：下面我们想办法再用方程2+2=1(a>b>0)来证明这一结论的正确ab 性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。

从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。x2y2 由2+2=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，ab x2≤a2且y2≤b2,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．对称性的发现与证明

教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦 点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）

学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。

教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？

稍作提示容易发现中心对称性。

教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？ 师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在xx2y2 轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是2+2=1。ab 教师：这节课就以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y轴对称。

为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？

学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。

教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明-----学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。

在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。

教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。

请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。

教师对学生的证明进行评价。

教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。课件展示x2y2 对称性并总结：方程2+2=1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称ab 中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。

投影显示下图及问题

问题：图中的椭圆有对称轴和中心吗？

指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。（此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔）。3.顶点的发现与确定

教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标 轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。

教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。

教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b，因此b1(0,-b), b2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此a1(-a,0), a2(a,0)。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。

由学生探究得出椭圆的一个焦点f2到长轴两端点a1 , a2的距离分别为a+c 和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。4．离心率

教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样 吗？

同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。

请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？

课件动画演示

此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。

教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形 里，矩形的变化对椭圆形状的影响。

矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。

即当比值bb越小，椭圆越扁；比值越大，椭圆越接近于圆。aa bcbc2a2?c2a2?c2 由于 ===，所以当越大时，越小，椭圆?()aaaaaa2 cbc越小时，越大，椭圆越接近于圆。把比值e=叫椭圆的离心率，aaa 分析出离心率的范围：0＜e＜1。

结论：椭圆在-a＜x＜a，-b＜x＜b内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。

bc由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映椭圆的圆扁程度，为什aa c么定义是椭圆的离心率呢？因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的，是决定a c椭圆形状最关键的要素，随着今后的学习可以看到还有更重要的几何意义。a 三．巩固与创新应用 越扁；当

例1求椭圆 16x2?25y2?400 的长轴长、短轴长、离心率和顶点，并画出它的草图。

本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师 介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。

解：由于a=5, b=4，c=25?16=3 椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8 c3 离心率e== a5 因为焦点在x轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教师：根据椭圆的性质，可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图，方法如下：（课件展示）

首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形。

教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。

学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。

教师说明，如果需要比较准确地画出椭圆，可以按教材例1那样，用描点法 画出椭圆在第一象限的部分，再根据对称性画出整个椭圆（要求学生课下阅读教材中的描点法作图）。x2y2 练习：如果把例1中的椭圆方程改为+=1，则长轴长、短轴长、离心1625 率和顶点有什么变化。

此处是一个创新点，培养学生用类比的思想解决问题的能力，也通过与上题

做比较，使学生体会到椭圆的性质是其本身固有的，是客观存在的，与坐标系的选取无关。

学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错，教师要予以纠正。（此题用实物投影展示或由学生到黑板板书）

例2 我国发射的“神舟七号”飞船在变轨前是沿以地球的中心f2为一个焦 点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点a（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点b（离地面最远的点）距地面约为350km，地球半径为6371km并且f2、a、b在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。（结果精确到0.01km）

设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识解决实际问题的能力；第二，为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。

师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。（求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程）。

教师：求椭圆的方程又需要先做什么呢？（建立坐标系）。怎样建系？（以过a、b的直线为x轴，f2为椭圆的右焦点，记f1为左焦点x2y2 建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为2+2=1 ab(a>b>0)。

下面确定a、b的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？

学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。

｜f2 a｜=6371+200，｜f2 b｜=6371+350 又∵｜f2 a｜=｜o a｜-｜of2｜=a-c 因此,有 a-c=｜o a｜-｜of2｜=｜f2 a｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o b｜+｜of2｜=｜f2b｜=6371+350=6721 解得 a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 x2y2 因此，飞船的轨道方程为+=1 664626645.582 学生可能出现的另一种解法：

由2a =｜ab｜=｜bn｜+｜nm｜+｜ma｜ =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c =｜of2｜=｜o a｜-｜f2 a｜ =6646-6371-200=75 以下做法同上。

计算过程由学生用计算器求得。

教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的轨迹。

四．总结提炼

教师：通过这节课学习，你学到了什么？（教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结，培养学生反思自己学习过程的意识）

篇三：椭圆的简单几何性质教案

课题：椭圆的简单几何性质

设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。

教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义． 培养学生的数形结合的思想方法。

教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。

教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。

二过程与方法目标

（1）复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过p48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．

〖板书〗椭圆的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．

（ii）椭圆的简单几何性质 y2x2 ①范围：由椭圆的标准方程可得，2?1?2?0，进一步得：?a?x?a，同理可ba 得：?b?y?b，即椭圆位于直线x??a和y??b所围成的矩形框图里；

②对称性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e?c叫做椭圆的离心率（0?e?1），a，b?当e?1时，c?a，?圆图形越扁?椭?0?当e?0时，c?0，b?a；? ． ?椭圆越接近于 圆

（iii）例题讲解与引申、扩展

例1 求椭圆16x?25y?400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生

用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．

扩展：已知椭圆mx?5y?5m?m? 0?的离心率为e?22225 求m的值．

解法剖析：依题意，m?0,m?5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x轴上，即0?m? 5时，有a?b?c?，∴?，得

m?3；②当焦点在y轴上，即m?5时，有a?b?c?，∴?25?m?． 3 例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口bac是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点f1上，片门位于另一个焦点f2上，由椭圆一个焦点f1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点f2．已知bc?f1f2，f1b?2.8cm，f1f2?4.5cm．建立适当的坐标系，求截口bac所在椭圆的方程． x2y2 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为2?2?1，算出a,b,c的ab 值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定

轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心f2为一个焦点的椭 圆，近地点a距地面200km，远地点b距地面350km，已知

地球的半径r?6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

例3如图，设m?x,y?与定点f?4,0?的距离和它到直线l：x?25的距离的比是常数4 4，求点m的轨迹方程． 5 分析：若设点m?x,y?，则

mf?，到直线l：x?25的距离4d?x?25，则容易得点m的轨迹方程． 4 引申：（用《几何画板》探究）若点m?x,y?与定点f?c,0? a2 的距离和它到定直线l：x?的距离比是常数c a2cx?则点m的轨迹方程是椭圆．其中定点f?c,0?是焦点，定直线l：e??a?c?0?，ca a2 x??．相应于f的准线；由椭圆的对称性，另一焦点f???c,0?，相应于f?的准线l?：(3)c 小结

1．知识总结：椭圆的几何性质 2．思想方法总结：

教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。

第五篇：椭圆的简单几何性质教学设计

<<椭圆的几何性质>>教学设计

山西省运城中学

赵彦明

一、教学分析：

（一）教学内容分析

椭圆是生活中常见的曲线，是学生学习第二章所接触到的第一个重要的圆锥曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有着重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

（二）教学对象分析

本节课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。

（三）教学环境分析

因为本节内容比较抽象，再者学校条件的有限所以利用电脑模拟动点运动,增强直观性,激励学生的学习动机,培养学生的观察能力、数学想像能力和抽象思维能力。

二、教学目标

（一）知识与技能

掌握椭圆的简单的几何性质，学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质的一般方法与步骤。

（二）过程与方法

通过实际活动培养学生发现、观察、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学能力的培养；经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。

（三）情感与态度

通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究椭圆的几何性质的积极性。

三、教学重难点及教具

（一）教学重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质

（二）教学难点：椭圆离心率几何意义的理解

（三）教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片，学生每人一个椭圆形纸板（同桌相同），直尺

四、教学方法过程及整合点

（一）教学方法：讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流

（二）教学过程： １.创设情境，欣赏倾听

这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识，在进入本节课的知识之前，我们先看一段视频短片：

（整合点：播放中央电视台新闻中关于国家大剧院外部景观介绍的视频短片）﹝设计意图:提高学生的学习兴趣﹞

提出问题：为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢？ ﹝设计意图:激发学生的求知欲，引入课题﹞

教师指出其根本原因是椭球形非常美观，这源于椭圆的美！那么椭圆到底美在何处？它又具有哪些特性？让我们一起来研究一下——椭圆的几何性质，以方程x2y21(ab0)为研究对象。a2b2（板书）12.1.2 椭圆的几何性质

2．探究问题，观察发现

从哪几方面研究研究椭圆的几何性质呢?学生纷纷讨论之后老师确定从椭圆的 2

对称性、顶点、范围、离心率来探究。探究一：椭圆的对称性

问题1：你能找到椭圆纸板的中心吗？

﹝设计意图:让学生直观感知，操作确认，更深入认识椭圆的对称性﹞

学生活动:用手中的纸板折纸——把椭圆纸板折叠，使两部分完全重合，两条折痕的交点，即为椭圆纸板的中心，两条折痕为对称轴。实物演示部分可以由学生同桌两两一组共同完成（整合点：学生通过实物投影仪展示活动成果，教师通过几何画板演示 “椭圆的对称性.gsp”）

得出结论：椭圆具有对称性。

①两条折痕为对称轴——椭圆是轴对称图形，它关于x轴和y轴对称； ②实物演示：椭圆绕中心旋转180后与原椭圆重合——椭圆也是中心对称图形，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

问题2：从方程看如何判断椭圆的对称性？

﹝设计意图:经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。﹞

学生讨论：设P（x，y），则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对称点也在曲线上，即（x，-y）满足方程。同理可以推出另外两种情况。问题3：通过上面研究同学们归纳出方程要满足什么条件曲线才具有这些对称性？

﹝设计意图: 为培养学生观察、分析、归纳问题的能力。为进一步的学习打下良好的基础。﹞

学生讨论得出：以-x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称；以-y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称；同时以-x代x、以-y代 y，方程不变，则曲线关于原点对称。

（板书）椭圆的对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点对称。探究二：椭圆的顶点

问题4：椭圆与它的对称轴有交点吗？若有，那么椭圆与它的对称轴有几个交点？你能求出交点的坐标吗?

学生易得：椭圆与对称轴有交点，有四个交点。问题5：从方程看如何求出椭圆的顶点？ ﹝设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程﹞ 令x=0则有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教师指出：其实，我们把椭圆x2y21(ab0)与坐标轴的交点

abA1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)就叫做椭圆的顶点。

其中线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长轴在x 轴上。（整合点：教师通过ppt演示 “椭圆的顶点”）

（板书）椭圆的顶点：A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)。探究三：椭圆的范围

问题6：请同学们拿起手中的作业纸，思考如果在一张矩形纸上作椭圆，要求所作椭圆尽可能最大，应如何做？

﹝设计意图: 让学生通过动手操作更深入认识椭圆的范围﹞

学生活动:分小组讨论，并动手解决本问题，尽量使回答准确、精练。得出结论：椭圆是有范围的。

教师引导学生动手动脑，将具体实例抽象成数学图形，数学问题，在平面直角坐标系内来研究：如下图，﹝设计意图:利用“椭圆的顶点.ppt”课件展示，使学生直观

感性认识椭圆范围所在区域﹞

学生得出：椭圆位于直线xa,yb所围成的矩形内。

问题7：如何从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论呢？

﹝设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程，体会数形结合的思想﹞

（整合点：用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。）学生可能有如下方法: 方法1：由且，则有

利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得

。那么它的范围就是直线所围成的区域。

方法2：从中解出，利用可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。

方法3：把和分别看作是一个函数，只需求范围。的定义域、值域即可，然后利用对称性可得(板书)教师指出椭圆的范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：椭圆的离心率

椭圆的简单的几何性质中，比较抽象的难于理解的就是椭圆的离心率问题。为了能将抽象的问题形象化，利于学生的理解与接受，设计如下的课堂活动，让全体学生参与到课堂中来，在自己的探究中获得学习的乐趣，学习的快乐，并且可以使不同程度的学生都有所收获。

问题8：请同学们举起手中的椭圆，大家观察它们的形状有何不同？圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？

﹝设计意图:在同学们参与到课堂活动中的时候，在自己举起自己手的椭圆的时候希望得到大家的关注想与大家交流，同时，在其他同学们举起手中的椭圆的时候，他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的形状，进而与自己手中的椭圆进行比较。在比较的过程中就会发现椭圆形状的变化，引起思考。﹞

有的同学手中的椭圆形纸板扁长，有的同学手中的椭圆形纸板稍圆，有的同学手中的椭圆更接近于圆形。

本过程中，由具体的同学们的手中的椭圆形状的变化到抽象的平面直角坐标系中椭圆形状的变化的过程中，几何画板的强大功能会发挥巨大的作用。在几何画板中展示椭圆的形状变化的同时，还可以让学生观察到椭圆中a,b,c三个参量的变化，进而对椭圆的离心率充分了解。观看课件演示，加深对离心率问题的直观认识。

(整合点：展示“椭圆的离心率.gsp”几何画板，取椭圆的长轴长不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭圆形状的变化。)

教师指出：在刚才的演示中，我们发现在椭圆长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度不一样，可以用离心率来描述

1）概念：椭圆焦距与长轴长之比。2）定义式：问题9：那么离心率与椭圆的扁圆程度有什么关系呢？

﹝设计意图:学生通过观察动画更容易找出椭圆图形随e的变化而变化的规律，他到突破难点的效果﹞

再一次演示几何画板。学生发现不变时，c变大，即离心率变大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。

从式子上看：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时

时的特例。，此时也可认为线段为椭圆也可认为圆为椭圆在椭圆变扁，直至成为极限位置线段在时的特例。

(板书)椭圆的离心率：3．反思构建，性质应用，1）求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长，离心率、交点和顶点的坐标。2）下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？

x2y2(1)4x9y36与12520x2y222(2)9x4y36与11216223）请你动手用尺子测量一下你手中的椭圆的长轴长和短轴长，写出该椭圆的标准方程。

由于每个同学手里的椭圆长轴与短轴长度不一样，因此在这个过程中学生都热情非常高的参与到这个测量的活动中来，进而写出其手中的椭圆的标准方程。

本过程两个方面考察学生对于椭圆及其几何性质的掌握,应用2)更是突出了对学生的实际动手能力和观察能力的培养。4．课堂小结，竞争合作

请你谈谈通过这节课的学习,你学习到了什么?并且请各组成员互相评价。5．首尾呼应, 解决问题

我们对于椭圆的几何性质的探索由来已久，现在椭圆的几何性质也正在被广泛的应用于各种设计中，国家大剧院是其中最典型的代表之一。当然,国家大剧 7

院之所以会选择了椭球形的设计，还有其他方面的考虑，例如很多科技方面的因素,感兴趣的同学可以自己课下查找一些资料,对这个问题全面了解。6．课后作业，巩固提高

1）求出你的椭圆的焦点、顶点的坐标，离心率，并通过测量将焦点坐标标在你的椭圆上；

2）完成焦点在y轴上的椭圆的几何性质的研究。

探究活动：课后查阅资料尝试找到椭圆的几何性质在现实生活中的其他应用。