双曲线的简单几何性质习题及详解

第一篇：双曲线的简单几何性质习题及详解

双曲线的简单几何性质

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.下列曲线中离心率为错误！未找到引用源。的是()A.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1

B.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 C.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1

D.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 【解析】选B.选项B中,a2=4,b2=2,所以c2=a2+b2=6,所以a=2,c=错误！未找到引用源。,故e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.【变式训练】已知双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于

()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。

【解析】选C.由a2+5=32,得a=2,所以e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.2.(2014·兰州高二检测)已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为()A.5或错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。

D.5或错

误！未找到引用源。

【解析】选B.因为双曲线的一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,所以错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。,所以e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。.【变式训练】(2014·白山高二检测)设双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则该双曲线的离心率为

.【解析】因为双曲线的焦点在x轴上,且渐近线方程为3x〒2y=0,所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,所以该双曲线的离心率e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.答案:错误！未找到引用源。

3.(2014·温州高二检测)双曲线x2-y2=1的渐近线方程是()A.x=±1

B.y=±错误！未找到引用源。x C.y=±x

D.y=±错误！未找到引用源。x 【解析】选C.由双曲线x2-y2=1,得a2=1,b2=1, 即a=1,b=1,所以渐近线方程为y=〒错误！未找到引用源。x=〒x.4.(2014·太原高二检测)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1

B.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 C.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1

D.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 【解析】选A.设双曲线的标准方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0),由错误！未找到引用源。所以a=2,又b2=c2-a2=12, 所以双曲线的标准方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1.5.(2013·湖北高考)已知0<θ<错误！未找到引用源。,则双曲线C1:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1与C2:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1的()A.实轴长相等

B.虚轴长相等 C.离心率相等

D.焦距相等 【解题指南】分别求两双曲线的半焦距c的值.【解析】选D.c1=c2=1.【举一反三】若双曲线C1与C2的方程分别改为: C1:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1,C2:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1则结论如何? 【解析】选C.对于双曲线C1,有a=cosθ,b=sinθ, 所以c2=cos2θ+sin2θ=1,e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.对于双曲线C2,有a=sinθ,b=sinθtanθ, 所以c2=sin2θ(1+tan2θ)=sin2θ错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.即e1=e2=错误！未找到引用源。,故两双曲线离心率相等.6.(2014·孝感高二检测)设F1,F2是双曲线x2-错误！未找到引用源。=1的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使PF1⊥PF2,且|PF1|=λ|PF2|,则λ的值

为()A.2

B.错误！未找到引用源。

C.3

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.因为PF1⊥PF2, 所以|PF1|2+|PF2|2=20, 又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=4,|PF2|=2, 所以|PF1|=2|PF2|,故选A.二、填空题(每小题4分,共12分)

7.(2014·广州高二检测)若双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(b>0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则双曲线的渐近线方程为 ________________________.【解析】由双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(b>0)的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),所以9+b2=52,得b=4, 又a=3,所以双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1, 故渐近线方程为4x〒3y=0.答案:4x〒3y=0 8.(2014·南昌高二检测)设圆过双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是

.【解析】不妨设圆心在右支上且在第一象限,若圆过右焦点和左顶点,则这样的圆不存在,故圆只能过右顶点A2(2,0),右焦点F2(4,0),则圆心P为A2F2的垂直平分线与双曲线的交点,将x=代入双曲线方程,得P(3,错误！未找到引用源。).故|OP|=错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。.答案:2错误！未找到引用源。

9.(2014·重庆高二检测)设F1,F2分别为双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点P满足:①△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形;②直线PF1与圆x2+y2=错误！未找到引用源。a2相切,则此双曲线的离心率为

.【解析】因为|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=|F1F2|=2c, 所以|PF1|=2a+2c, 作F2M⊥PF1于M,则|MP|=错误！未找到引用源。|PF1|=a+c, 所以|MF2|=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 又设圆x2+y2=错误！未找到引用源。a2与直线PF1切于T, 则|OT|=错误！未找到引用源。a, 由|OT|=错误！未找到引用源。|F2M|得:错误！未找到引用源。a=错误！未找到引用源。, 即3c2-2a2-2ac=0,同除以a2得3e2-2e-2=0(e>1),解得e=错误！未找到引用源。.答案:错误！未找到引用源。

三、解答题(每小题10分,共20分)

10.(2014·大庆高二检测)已知双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)和椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,求双曲线的方程.【解析】由椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1,得a′2=16,b′

2=9,c′2=a′2-b′2=7, 所以a′=4,c′=错误！未找到引用源。,故椭圆离心率为e1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.因为双曲线与椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1有相同焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,所以双曲线的两焦点为F1(-错误！未找到引用源。,0),F2(错误！未找到引用源。,0),离心率e2=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 所以,a=2,b2=c2-a2=7-4=3.所以双曲线的方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1.11.焦点在x轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为错误！未找到引用源。,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.【解析】由已知可设双曲线的方程为

错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0), 所以两条渐近线为y=〒错误！未找到引用源。x.因为两条渐近线的夹角为错误！未找到引用源。,故分两种情况, 即y=错误！未找到引用源。x的倾斜角为错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。.当y=错误！未找到引用源。x的倾斜角为错误！未找到引用源。时, 所以错误！未找到引用源。=tan错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,即a2=3b2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得b2=9,a2=27.所以双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1,e=错误！

未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.当y=错误！未找到引用源。x的倾斜角为错误！未找到引用源。时, 所以错误！未找到引用源。=tan错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,所以b2=3a2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得a2=9,b2=27.所以双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1,e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2.(30分钟 50分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.(2013·福建高考)双曲线错误！未找到引用源。-y2=1的顶点到渐近线的距离等于()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选C.双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x-2y=0,则顶点到渐近线的距离为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.【变式训练】(2013·福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于

()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.1

D.错误！未找到引用源。

【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式.【解析】选B.顶点错误！未找到引用源。到渐近线y=x的距离为错误！未找到引用源。.2.(2013·北京高考)双曲线x2-错误！未找到引用源。=1的离心率大于错误！未找到引用源。的充分必要条件是()A.m>错误！未找到引用源。

B.m≥1

C.m>1 D.m>2 【解题指南】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.【解析】选C.a2=1,b2=m,c2=1+m,e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。,所以m>1.3.(2014·唐山高二检测)设F1,F2分别是双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=错误！未找到引用源。,则双曲线的渐近线方程为()A.3x±4y=0

B.4x±3y=0 C.3x±5y=0

D.5x±4y=0 【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由cos∠PF1F2=错误！未找到引用源。,找出错误！未找到引用源。的值.【解析】选B.作F2Q⊥PF1于Q，因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点, 由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c, 因为cos∠PF1F2=错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。=cos∠PF1F2, 即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,得3c=5a, 所以3错误！未找到引用源。=5a,得错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 故双曲线的渐近线方程为y=〒错误！未找到引用源。x,即4x〒3y=0.4.(2014·青岛高二检测)已知F1,F2分别是双曲线C:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。,且|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|,则双曲线的离心率为()A.错误！未找到引用源。

B.1+错误！未找到引用源。

C.2错误！未找到引用源。

D.1+错误！未找到引用源。

【解题指南】由于|PF1|=错误！未找到引用源。|PF2|又点P是靠近F2的那一支上的一点,则可根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,再结合|PF1|=错误！未找到引用源。|PF2|求出|PF1|,|PF2|的值,然后再根据F1F2⊥PF2推出|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2即可得出关于a,c的关系式从而可求出离心率e.【解析】选B.因为|PF1|=错误！未找到引用源。|PF2|, |PF1|-|PF2|=2a, 所以|PF1|=2a(2+错误！未找到引用源。),|PF2|=2a(1+错误！未找到引用源。), 因为F1F2⊥PF2,|F1F2|=2c, 所以|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2, 所以c2=(3+2错误！未找到引用源。)a2，所以e=错误！未找到引用源。=1+错误！未找到引用源。.【变式训练】(2013·陕西高考)双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1的离心率为

.【解题指南】利用双曲线的标准方程中c2=a2+b2及离心率的求解公式e=错误！未找到引用源。得解.【解析】由错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。得e2=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,所以e=错误！未找到引用源。.答案:错误！未找到引用源。

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.(2014·哈尔滨高二检测)双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线所成的锐角是

.【解析】由e=错误！未找到引用源。=2,所以错误！未找到引用源。=2, 即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,所以tanθ=错误！未找到引用源。(其中θ为一条渐近线的倾斜角).所以θ=60°,因此两条渐近线所成的锐角为60°.答案:60°

6.(2014·重庆高考改编)设F1,F2分别为双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得错误！未找到引用源。=b2-3ab,则该双曲线的离心率为

.【解析】由双曲线的定义知, 错误！未找到引用源。=4a2, 又错误！未找到引用源。=b2-3ab，所以4a2=b2-3ab, 等号两边同除a2, 化简得错误！未找到引用源。-3·错误！未找到引用源。-4=0, 解得错误！未找到引用源。=4或错误！未找到引用源。=-1(舍去), 故离心率e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.答案:错误！未找到引用源。

三、解答题(每小题12分,共24分)

7.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10, 因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3x〒y=0.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0), 则其渐近线方程为y=〒错误！未找到引用源。x,即错误！未找到引用源。=3, 则双曲线方程可化为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1, 因为双曲线过点P(3,-1), 所以错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1,所以a2=错误！未找到引用源。,b2=80, 所以所求双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用

源。=1(a>0,b>0), 则渐近线方程为y=〒错误！未找到引用源。x,即错误！未找到引用源。=3, 则双曲线方程可化为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1, 因为双曲线过点P(3,-1), 所以错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1,得-错误！未找到引用源。=1,无解.综上可知所求双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1.【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的两条渐近线方程为3x〒y=0, 设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0), 因为点P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.所以所求双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1.8.设F1,F2分别为双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1的左、右焦点,A1,A2分别为这个双曲线的左、右顶点,P为双曲线右支上的任意一点,求证:以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切,又与以PF1为直径的圆内切.【解题指南】设N,M分别是PF1,PF2的中点,只要证明|OM|=a+错误！未找到引用源。|PF2|,并且|ON|=错误！未找到引用源。|PF1|-a即可.注意点P在双曲线的右支上,F1,F2是双曲线的两个焦点,满足了运用定义的条件特征,故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.【证明】如图,以A1A2为直径的圆的圆心为O,半径为a,令M,N分别是PF2,PF1的中点,由三角形中位线的性质,得|OM|=错误！未找到引用源。|PF1|.又根据双曲线的定义,得|PF1|=2a+|PF2|,从而有|OM|=错误！未找到引用源。(2a+|PF2|)=a+错误！未找到引用源。|PF2|.这表明,两圆的圆心距等于两圆半径之和,故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.同理,得|ON|=错误！未找到引用源。|PF2|=错误！未找到引用源。(|PF1|-2a)=错误！未找到引用源。|PF1|-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差,故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切.

第二篇：双曲线的几何性质习题3

221.椭圆yx1的准线方程是（）

a2b22A.ya  B.yb2

a2b2a2b222 C.xa D.ya

a2b2a2b22.双曲线x2y2）

971的焦点到准线的距离是（A.74 B.254 C.74或

254 D.234或

3.中心在坐标原点，离心率为5的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（3A.y=±544x B.y=±

 C.y=±

4 D.y=±

353x4x

4.双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为（）

A.5 B.5532 C.2或

153 D.5或

534

参考答案：

1.A2.C3.D4.D）

第三篇：双曲线的几何性质习题1

1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的双曲线的标准方程为（）A.C.x22倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则4y2y24x21  B.1 D.x2y24x2x24y21 1

48842.双曲线与椭圆（）A.x2y216y2641有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为=96 B.y22x2=160 =24 C.x2y=80 D.y22x23.双曲线x5y2451的（）

A.实轴长为2B.实轴长为2C.实轴长为2D.实轴长为222，虚轴长为4，渐近线方程为y，虚轴长为8，渐近线方程为y，虚轴长为4，渐近线方程为y，虚轴长为8，渐近线方程为y25555xx

5

525x

525x

4.双曲线x-y=-3的（）A.顶点坐标是(±

3，0)，虚轴端点坐标是(0，±

33)

 B.顶点坐标是(0，±C.顶点坐标是(±

3)，虚轴端点坐标是(±

3，0)，0)，渐近线方程是y=±x

3D.虚轴端点坐标是(0，±)，渐近线方程是x=±y

参考答案：

1.B2.D3.A4.B

第四篇：双曲线及其简单几何性质作业

家长签字：

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生:

授课时间：________年级：

教师：求满足下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点是（-4,0），（4,0），过点（2,0）

（2）离心率为54，半虚轴长为2（3）两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为

6的弦为AB，求：（（2）F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）

1）

AB 3 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3,0），一条渐近线的方程为（1）求双曲线C的标准方程

5x2y0、（2）若以k（k不为0）的斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标围成的三角形的面积为

812，求K的范围

第五篇：双曲线几何性质2

授课时间 周星期 授课班级 授课教师 方法、技巧、规律 课双曲线几何性质 题 学1．了解双曲线的简单几何性质——渐近线习2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。目.标 重双曲线的几何性质及初步运用。点 难双曲线的渐近线 点 问题 1：由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线 标准方程 观察图形，把握对 称性`开放性和特 殊点 渐近线方程 问题2实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线 学方程可表示为___________，渐近线方程为________,习问题3：不同的双曲线渐近线会相同吗？ 过x2y222程 1.双曲线491渐近线方程为_____，双曲线y36x161渐近线方程为_____ 2.（2009天津卷文）设双曲线x22a2yb21(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，x224ky9k1渐近线方程为____ 例2.已知双曲线方程x29y2161，求与它共渐近线且满 1）过点(3,23)22）焦点为椭圆x210y51的顶点 3）焦距为10 渐近线应用 21）（2009宁夏海南卷理）双曲线x24-y12=1的焦点到渐近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)设双曲线x2a2y291a0的渐近线3）（2010浙江理数）（8）设Fx21、F2分别为双曲线a2曲线右支上存在点P，满足PF2F1F2，且F2到直线双曲线的渐近线方程为（A）3x4y0（B）3x5y0（C）4x3yx24）.（2009全国卷）双曲线y21的渐近线与圆(b