文科数学2010-2019高考真题分类训练专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明—后附解析答案

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专题十二

推理与证明

第三十二讲

推理与证明

2019年

1.(2019全国II文5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲:我的成绩比乙高.

乙:丙的成绩比我和甲的都高.

丙:我的成绩比乙高.

成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙

B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲

D.甲、丙、乙

2010-2018年

一、选择题

1.(2018浙江)已知,,成等比数列,且.若,则

A.,B.,C.,D.,2.(2018北京)设集合则

A.对任意实数,B.对任意实数,C.当且仅当时,D.当且仅当时,3.(2017新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则

A.乙可以知道两人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

4.(2016年浙江)如图,点列分别在某锐角的两边上,且,.

(P≠Q表示点P与Q不重合),若,为的面积,则

A.是等差数列

B.是等差数列

C.是等差数列

D.是等差数列

5.(2014北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”三种.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”,如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生,那么这组学生最多有

A.人

B.人

C.人

D.人

6.(2014山东)用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是

A.方程没有实根

B.方程至多有一个实根

C.方程至多有两个实根

D.方程恰好有两个实根

7.(2011江西)观察下列各式:,,则的末四位数字为

A.3125

B.5625

C.0625

D.8125

8.(2010山东)观察,,由归纳推理可得:若定义在上的函数满足,记为的导函数,则=

A.

B.

C.

D.

二、填空题

9.(2018江苏)已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为

10.(2017北京)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:

(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;

(ⅱ)女学生人数多于教师人数;

(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为__________.

②该小组人数的最小值为__________.

11.(2016年山东)观察下列等式:;

;;

……

照此规律,_______.

12.(2016年四川)在平面直角坐标系中,当不是原点时,定义的“伴随点”为,当是原点时,定义的“伴随点”为它自身,现有下列命题:

①若点的“伴随点”是点,则点的“伴随点”是点;

②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;

③若两点关于轴对称,则它们的“伴随点”关于轴对称;

④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线;

其中的真命题是

13.(2016年全国II卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________.14.(2015陕西)观察下列等式:

1-

1-

1-

……

据此规律,第个等式可为______________________.

15.(2014安徽)如图,在等腰直角三角形中,斜边,过点作的垂线,垂足为;过点

作的垂线,垂足为;过点作的垂线,垂足为;…,依此类推,设,,…,则_____.

16.(2014福建)若集合且下列四个关系:①;②;③;④有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组的个数是____.

17.(2014北京)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:

工序

时间

原料

粗加工

精加工

原料

原料

则最短交货期为

个工作日.

18.(2014陕西)已知,若,则的表达式为________.

19.(2014陕西)观察分析下表中的数据:

多面体

面数()

顶点数()

棱数()

三棱锥

五棱锥

立方体

猜想一般凸多面体中,所满足的等式是_________.

20.(2013陕西)观察下列等式:

照此规律,第n个等式可为

21.(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10,…,第个三角形数为。记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

……

可以推测的表达式,由此计算。

22.(2012陕西)观察下列不等式,……

照此规律,第五个不等式为

23.(2012湖南)设,将个数依次放入编号为1,2,…,的个位置,得到排列.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列,将此操作称为C变换,将分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当时,将分成段,每段个数,并对每段C变换,得到,例如,当=8时,此时位于中的第4个位置.(1)当=16时,位于中的第___个位置;

(2)当()时,位于中的第___个位置.24.(2011陕西)观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律,第个等式为

25.(2010浙江)设,将的最小值记为,则,其中=_______.

26.(2010福建)观察下列等式:K^S*5U.C#O

cos2=21;

cos4=88+

1;

cos6=3248+

181;

cos8=128256+

16032+

1;

cos10=1280+

1120++1.

可以推测,=

三、解答题

27.(2018江苏)设,对1,2,···,n的一个排列,如果当时,有,则称是排列的一个逆序,排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记为1,2,···,n的所有排列中逆序数为的全部排列的个数.

(1)求的值;

(2)求的表达式(用表示).

28*.(2017江苏)对于给定的正整数,若数列满足

对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.

(1)证明:等差数列是“数列”;

(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.

29*.(2017浙江)已知数列满足:,.

证明:当时

(Ⅰ);

(Ⅱ);

(Ⅲ).

*根据亲们所在地区选作,新课标地区(文科)不要求.

专题十二

推理与证明

第三十二讲

推理与证明

答案部分

2019年

1.解析:由题意,可把三人的预测简写如下:

甲:甲乙.

乙:丙乙且丙甲.

丙:丙乙.

因为只有一个人预测正确,如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意.

如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确,则有丙乙,乙甲,因为乙预测不正确,而丙乙正确,所以只有丙甲不正确,所以甲丙,这与丙乙,乙甲矛盾.不符合题意.

所以只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,甲乙,乙丙.

故选A.

2010-2018年

1.B【解析】解法一

因为(),所以,所以,又,所以等比数列的公比.

若,则,而,所以,与矛盾,所以,所以,所以,故选B.

解法二

因为,所以,则,又,所以等比数列的公比.

若,则,而,所以

与矛盾,所以,所以,所以,故选B.

2.D【解析】解法一

点在直线上,表示过定点,斜率为的直线,当时,表示过定点,斜率为的直线,不等式表示的区域包含原点,不等式表示的区域不包含原点.直线与直线互相垂直,显然当直线的斜率时,不等式表示的区域不包含点,故排除A;点与点连线的斜率为,当,即时,表示的区域包含点,此时表示的区域也包含点,故排除B;当直线的斜率,即时,表示的区域不包含点,故排除C,故选D.

解法二

若,则,解得,所以当且仅当时,.故选D.

3.D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果,故选D.

4.A【解析】表示点到对面直线的距离(设为)乘以长度一半,即,由题目中条件可知的长度为定值,那么我们需要知道的关系式,过作垂直得到初始距离,那么和两个垂足构成了等腰梯形,那么,其中为两条线的夹角,即为定值,那么,作差后:,都为定值,所以为定值.故选A.

5.B【解析】学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙,一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且没有相同的成绩,则存在的情况是,最多有3人,其中一个语文最好,数学最差;另一个语文最差,数学最好;第三个人成绩均为中等.故选B.

6.A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”,故选A.

7.D【解析】∵,,,,∴(,且)的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为4,记(,且)的末四位数字为,则,∴与的末位数字相同,均为8

125,选D.

8.D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在上的函数满足,即函数是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有=,故选D。

9.27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成,在数列

中,前面有16个正奇数,即,.当时,不符合题意;当时,不符合题意;当时,不符合题意;当时,不符合题意;……;当时,=

441

+62=

503<,不符合题意;当时,=484

+62=546>=540,符合题意.故使得成立的的最小值为27.

10.6

12【解析】设男生数,女生数,教师数为,则

①,所以,②当时,,,不存在,不符合题意;

当时,,,不存在,不符合题意;

当时,此时,满足题意.

所以.

11.【解析】通过归纳可得结果为.

12.②③【解析】对于①,令,则其“伴随点”为,而的“伴随点”为,而不是,故错误;对于②设是单位圆上的点,其“伴随点”为,则有,所以,所以②正确;对于③设的“伴随点”为,的“伴随点”

为,易知与关于轴对称,所以③正确;对于④,设原直线的解析式为,其中不同时为0,且为该直线上一点,的“伴随点”为,其中都不是原点,且,则,将代入原直线方程,得,则,由于的值不确定,所以“伴随点”不一定共线,所以④错误.

13.1和3【解析】为方便说明,不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A,B,C从丙出发,由于丙的卡片上的数字之和不是5,则丙只可能是卡片A或B,无论是哪一张,均含有数字1,再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知,乙所拿的卡片必然是C,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲所拿的卡片为B,此时丙所拿的卡片为A.

14..

【解析】观察等式知:第n个等式的左边有个数相加减,奇数项为正,偶数项为负,且分子为1,分母是1到的连续正整数,等式的右边是.

15.【解析】解法一

直接递推归纳;等腰直角三角形中,斜边,所以,,.

解法二

求通向:等腰直角三角形中,斜边,所以,,故=

16.6【解析】因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为,;若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为;若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为,.综上符合条件的有序数组的个数是6.

17.42【解析】先由徒弟粗加一工原料,6天后,师傅开始精加工原料,徒弟同时开始粗加工原料,再9天后(15天后),徒弟粗加工原料完成,此时师傅还在精加工原料,27天后,师傅精加工原料完成,然后接着精加工原料,再15天后,师傅精加工原料完成,整个工作完成,一共需要6

+21+15=

42个工作日.

18.【解析】由,得,可得,故可归纳得.

19.【解析】三棱柱中5

+6-9

=2;五棱锥中6+6

=2;立方体中6+8

=2,由此归纳可得.

20.12-22+32-42+…+n2=·(n∈)

【解析】观察上式等号左边的规律发现,左边的项数一次加1,故第个等式左边有

项,每项所含的底数的绝对值也增加1,一次为1,2,3,…,指数都是2,符号成正负交替出现可以用表示,等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和,故等式的右边可以表示为·,所以第个式子可为12-22+32-42+…+=·(∈).

21.1000【解析】观察和前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列,故,22.【解析】观察不等式的左边发现,第个不等式的左边=,右边=,所以第五个不等式为

23.(1)6;(2)

【解析】(1)当=16时,可设为,即为,即,位于中的第6个位置;

(2)在中位于两段中第一段的第87个位置,位于奇数位置上,此时在中位于四段中第一段的第44个位置上,再作变换得时,位于八段中第二段的第22个位置上,再作变换时,位于十六段中的第四段的第11个位置上.也就是位于中的第个位置上.

24.【解析】把已知等式与行数对应起来,则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数,加数的个数是;等式右边都是完全平方数,行数

等号左边的项数

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

……

……

所以,即

25.【解析】根据合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,可得=

26.962【解析】观察等式可知,的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列,故.取,则,代入等式⑤得,即(1)

取,则,代入等式⑤得

即(2)

联立(1)(2)得,所以=.

27.【解析】(1)记为排列的逆序数,对1,2,3的所有排列,有,所以.

对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此,.

(2)对一般的的情形,逆序数为0的排列只有一个:,所以.

逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以.

为计算,当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将添加进原排列,在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此,.

当时,因此,时,.

28.【解析】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则,从而,当时,所以,因此等差数列是“数列”.(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,当时,①

当时,.②

由①知,③,④

将③④代入②,得,其中,所以是等差数列,设其公差为.在①中,取,则,所以,在①中,取,则,所以,所以数列是等差数列.

29.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明:

当时,假设时,那么时,若,则,矛盾,故.

因此

所以

因此

(Ⅱ)由得

记函数

函数在上单调递增,所以=0,因此

(Ⅲ)因为

所以得

由得

所以

综上,.

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