2009年高考数学试题分类——推理与证明

第一篇：2009年高考数学试题分类——推理与证明

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2009年高考数学试题分类汇编

推理与证明

1、(湖北卷理)10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A.289B.1024C.1225D.1378

10.【答案】C

【解析】【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项ann(n1)，同理可得正方形数构

2n成的数列通项bnn2，则由bnn2(nN)可排除A、D，又由a

数，故选C.n(n1)知an必为奇

22、（江苏卷）8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为.【解析】 考查类比的方法。体积比为1：83、（北京卷理）14．已知数列{an}满足：a4n31,a4n10,a2n

a2009________； 则an,nN,版权所有@高考资源网

a2014=_________.【答案】1，0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得a2009a450331，a2014a21007a1007a425210.∴应填1，0.4、(湖南卷)

15、将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= 10，…，f(n)=

31(n+1)(n+2)6

15.【答案】：101,(n1)(n2)36

【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知abc1,x1x2ab,y1y2bc,z1z2ca

x1x2y1y2z1z22(abc)2,2gx1y2x2z1y1z

26gx1x2y1y2z1z22(abc)2 即g11110而f(3)abcx1x2y1y2z1z2g1 3233

进一步可求得f(4)5。由上知f(1)中有三个数，f(2)中 有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加….，若f(n1)中有an1(n1)个数相加，可得f(n)中有(an1n1)个数相加，且由

363331045f(1)1,f(2)f(1),f(3)f(2),f(4)5f(3),...3333333

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n1,所以 3

n1n1nn1nn13f(n)f(n1)f(n2)...f(1)3333333

n1nn13211(n1)(n2)=3333336可得f(n)f(n1)

5、(浙江卷)15．观察下列等式：

1C5C55232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，159C1C13C7C17C171717152172，………

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n1对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1． *

答案：24n1122n1

nn【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有1，二项指

数分别为24nn1,，2

n因此对于nN*，1594n124n1122n1 C4n1C4n1C4n1C4n1

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第二篇：高考文科数学试题分类—推理与证明

高中数学

高考文科试题解析分类汇编：推理和证明

1.【高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，1AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反3

射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3

115123，233

11151222 2343……

照此规律，第五个不等式为.．．．

高中数学

【答案】1

1111111.22324252626

1，【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=111

2232n1

右边=

11111112n11，所以第五个不等式为122222．

234566n1



5.【高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知1a020,a01,b11；212100,1b21； 一次类推3121120,b30；4120,5122021120,b50；221060，b71,b81，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k5k1

n(n1)，写出其若2

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an

干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k

5k(5k1)

（k为正整数），2

(5k1)(5k11)5k(5k1)

b2k1a5k1，22

故b2012a21006a51006a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想

需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.质，并且，因此，不妨设112，由的定义，(A从)c而k(1A)r(1A),k(A)k3k1(A)r1(A2)c(A )c(A)a(b(abcdef)(abf)abf3

因此k(A)1，由（2）知，存在满足性质P的数表A，使k(A)1，故k(A)的最大值为知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

第三篇：2011年高考数学试题分类 推理与证明、创新题

十三、推理与证明、创新题

b1,a,a

ab

.设函数b,ab11．（天津理4）对实数a和b，定义运算“”：

f(x)x22xx2,xR.yf(x)cx

若函数

则实数c的取值范围是

A．的图像与轴恰有两个公共点，,21,

3



2

B．

,21,



3



4

【答案】B

111,,44C．31

1,,

44 D．



1A3A1A22．（山东理12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A,则称A3，A4调和分割A1，A2,已知平

面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 【答案】D

（μ∈R），且



AA14A12（λ∈R），A







23.（湖北理9）若实数a,b满足a0,b0,且ab0，则称a与b

互补，记

(a,b)ab,，那么a,b0是a与b互补的A．必要而不充分的条件

C．充要条件【答案】C

B．充分而不必要的条件

D．即不充分也不必要的条件

4.（福建理15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:VR满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有

则称映射f具有性质P。现给出如下映射：

f(a(1)b)f(a)(1)f(b),①f1:VR,f2(m)x,y,m(x,y)V;

2f:VR,f(m)xy,m(x,y)V;2②2

③f3:VR,f3(m)xy1,m(x,y)V.其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）【答案】①③

*

5.（湖南理16）对于nN,将n 表示na02a12

kk

1a22k2...ak121ak20,当i0时，ai1,当1ik时, a1为0或1．记I(n)为上述表示中ai为0的个数（例如：I12,4120202）,故I(1)0, I(4)2）,则（1）I(12)________________;（2）

0m

2

n1

I(n)

________________;

【答案】2109

36.（北京理8）设A0,0,B4,0，Ct4,4,Dt,4tR.记Nt为平行四边形ABCD

内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数Nt的值域为

A．9,10,11B．9,10,12

D．10,11,12

72011 C．9,11,12【答案】C 567.（江西理7）观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，则5的末四位数字

为

A．3125B．5625C．0625D．8125

【答案】D

8.（广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS，则称S关于数的乘法

是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUZ,且a,b,cT,有

abcT;x,y,zV,有xyzV，则下列结论恒成立的是 A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A

9.（江西理10）如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方

向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小

圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

【答案】①，③，⑤

=f（x2）11.（四川理16）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）时总有

x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x（xR）是单函数； 2

f（x2）； ②若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）

③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是（写出所有真命题的编号）

答案：②③④

解析 ：①错，x1x2，②③④正确

12.（山东理15）设函数f(x)x(x0)x2,观察:

f1(x)f(x)x,x2

f2(x)f(f1(x))

f3(x)f(f2(x))x,3x4 x,7x8

f4(x)f(f3(x))x,15x16



根据以上事实，由归纳推理可得：

当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)).x

nn(21)x2【答案】

13.（陕西理13）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，第n个等式为。

【答案】n(n1)(n2)(3n2)(2n1)

第四篇：2011年高考数学试题分类十三 推理与证明、创新题

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十三、推理与证明、创新题,b1,aaab.设函数b,ab11．（天津理4）对实数a和b，定义运算“”：

f(x)x22xx2,xR.yf(x)cx若函数

则实数c的取值范围是

A．的图像与轴恰有两个公共点，,21,32B．,21,34

【答案】B 111,,44C．311,,44 D．

1A3A1A22．（山东理12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A,则称A3，A4调和分割A1，A2,已知

平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C，D可能同时在线段AB上

D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】D（μ∈R），且AA14A12（λ∈R），A1

23.（湖北理9）若实数a,b满足a0,b0,且ab0，则称a与b

互补，记

(a,b)ab,，那么a,b0是a与b互补的A．必要而不充分的条件

C．充要条件

【答案】C B．充分而不必要的条件 D．即不充分也不必要的条件

4.（福建理15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:VR满足：对任意向量a=

（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有

则称映射f具有性质P。现给出如下映射： f(a(1)b)f(a)(1)f(b), ①f1:VR,f2(m)x,y,m(x,y)V;2f:VR,f(m)xy,m(x,y)V;2②2

③f3:VR,f3(m)xy1,m(x,y)V.其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）

【答案】①③

5.（湖南理16）对于nN,将n 表示*

na02ka12k1a22k2...ak121ak20,当i0时，ai1,当1ik时, a1为0或1．记I(n)为上述表示中ai为0的个数（例如：

I120,4122021020）,故I(1)0, I(4)2）,则

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（1）I(12)________________;（2）

【答案】21093 2n1mI(n)________________;

Ct4,4,Dt,4tR.记Nt为平行四边形ABCD6.（北京理8）设A0,0,B4,0，内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数Nt的值域为

A．9,10,11B．9,10,12

D．10,11,12

72011 C．9,11,12【答案】C 567.（江西理7）观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，则5的末四位数

字为

A．3125B．5625C．0625D．8125

【答案】D

8.（广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS，则称S关于数的乘

法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUZ,且a,b,cT,有

abcT;x,y,zV,有xyzV，则下列结论恒成立的是 A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A

9.（江西理10）如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小

圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

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【答案】①，③，⑤

=f（x2）11.（四川理16）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）时总有

x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数．下列命题：

①函数f（x）=x（xR）是单函数； 2

f（x2）； ②若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）

③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是（写出所有真命题的编号）答案：②③④

解析 ：①错，x1x2，②③④正确

f(x)x(x0)x2,观察: 12.（山东理15）设函数

f1(x)f(x)x,x2

x,3x4

x,7x8

x,15x16 f2(x)f(f1(x))f3(x)f(f2(x))f4(x)f(f3(x))

根据以上事实，由归纳推理可得：

当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)) x

nn【答案】(21)x2

13.（陕西理13）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

第五篇：2013年全国高考试题分类：推理与证明

第十三章推理与证明

考点一 合情推理与演绎推理

1.(2013湖南,15,5分)对于E={a1,a2,„,a100}的子集X={，„,},定义X的“特征数列”为x1,x2,„,x100,其中==„==1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,„,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于;

(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,„,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,„,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为

.答案(1)2(2)17

2.(2013陕西,13,5分)观察下列等式

(1+1)=2×

12(2+1)(2+2)=2×1×

3(3+1)(3+2)(3+3)=2×1×3×

5„„

照此规律,第n个等式可为

.答案(n+1)(n+2)„(n+n)=2×1×3ׄ×(2n-1)

3.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.n3

(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).答案(1)3,1,6(2)79

4.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f;

(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;

(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值

.解析(1)当a=时, f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=

当0≤x≤a时,由x=x解得x=0, 因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;

当a

=≠, 222

2故x=为f(x)的二阶周期点;

当a

当a-a+1≤x≤1时,由(1-x)=x解得x=∈(a-a+1,1),因f

=·

=≠,故x=为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.(3)由(2)得

A,B,则S(a)=·,S'(a)=·,因为a∈,a+a<1,所以S'(a)=· =·>0.或令g(a)=a-2a-2a+2,g'(a)=3a-4a-2 =3,因a∈(0,1),g'(a)<0,则g(a)在区间上的最小值为g=>0,故对于任意a∈,g(a)=a-2a-2a+2>0, S'(a)=·>0

则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.考点二 直接证明与间接证明

5.(2013四川,10,5分)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是()

A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e]

D.[0,1]

答案 A 22 22232232

x6.(2013陕西,21,14分)已知函数f(x)=e,x∈R.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;

(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x+x+1有唯一公共点;

(3)设a

.解析(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为k,∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1,于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1.(2)解法一:曲线y=e与y=x+x+1公共点的个数等于函数φ(x)=e-x-x-1零点的个数.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0.xxx又φ'(x)=e-x-1,令h(x)=φ'(x)=e-x-1,则h'(x)=e-1,当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减.当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,x2x22

即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与y=x+x+1有唯一的公共点.解法二:∵e>0,x+x+1>0,∴曲线y=e与y=x+x+1公共点的个数等于曲线y=与y=1公共点的个数,设φ(x)=,则φ(0)=1,即x=0时,两曲线有公共点.又φ'(x)==≤0(仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在R上单调递减,∴φ(x)与y=1有唯一的公共点,故曲线y=f(x)与y= x+x+1有唯一的公共点.(3)-f

=-==[--(b-a)].设函数u(x)=e--2x(x≥0),则u'(x)=e+-2≥2-2=0,∴u'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),∴u(x)单调递增.当x>0时,u(x)>u(0)=0.令x=,则得--(b-a)>0,∴>f.7.(2013湖北,20,13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

(2)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.2x2x22xx

解析(1)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

由A1A2⊥平面ABC,MN⊂平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线,可得MN=

BC=a,即为梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG

=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].由d10,d3-d1>0,故V估

(2)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2

<0.解析(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞).f '(x)='e+e=e

=e.当x<0时, f '(x)>0;

当x>0时, f '(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).(2)当x<1时,由于>0,e>0,故f(x)>0;

同理,当x>1时, f(x)<0.当f(x1)=f(x2)(x1 ≠x2)时,不妨设x1