2012高考试题分类：推理和证明

第一篇：2012高考试题分类：推理和证明

推理和证明

1.【2011江西高考理】观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为

()

A．3125B．5625C．0625D．8125 2.【2012高考上海文】若Snsin

个数是（）

A、16B、72C、86D、100【答案】C 3.【2011陕西高考理】观察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此规律，第n个等式为__________．

4.【2010陕西高考理】观察下列等式：1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝10，…，根据上述规

律，第五个等式为__________． ．．．．．5.【2012高考陕西文】观察下列不等式

1



sin

27

...sin

n7

（nN），则在S1,S2,...,S100中，正数的332,3332,33332



1





53，1





1413



5314

……

15

照此规律，第五个不等式为【答案】1．．．

222





116

.6.【2102高考福建文20】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

|x||y|2的不同7.【2012高考江西文】观察下列事实|x||y|1的不同整数解(x,y)的个数为4，整数解(x,y)的个数为8，|x||y|3的不同整数解(x,y)的个数为12 ….则|x||y|20的不同整数解(x,y)的个数为

A.76B.80C.86D.92【答案】B

8.【2012高考湖北】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研

究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：

(1)b2 012是数列{an}中的第______项；(2)b2k－1＝______.(用k表示)

9.【2012高考湖北文】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他

们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（1）b2012是数列{an}中的第______项；

（2）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（1）5030；（2）

xx2

5k5k1

10.【2011年高考山东卷理科】设函数f(x)

xx2, x3x4

x7x8

x15x16, , ,(x0),观察:

f1(x)f(x)

f2(x)f(f1(x))f3(x)f(f2(x))f4(x)f(f3(x))



根据以上事实，由归纳推理可得：



当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x))11.【2011年高考安徽卷理科】在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列

命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点 ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

12.【2011年高考湖北卷理科】给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着

色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

．．．．

由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形．．．．相邻的着色方案共有__________种．(结果用数值表示)．．

13.观察下列数字

照此规律，2013在第______行第________列 14.观察下列数字

照此规律，2013在第______行第________列 15.观察下列数字

照此规律，第2013个数字是______

第5题第6题

16.【2012高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF

13。

动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3 【答案】B

17.【2012高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik

时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.18.【2011高考湖南理】对于n∈N，将n表示为na02ka12k1a22k2ak121ak20，当i＝0时，ai＝1，当1ik时，ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数(例如：1＝1×20，4＝1×22＋0×2＋0×2，故I(1)＝0，I(4)＝2)，则

127

*

(1)I(12)＝______；(2)

2

n1

I(n)

______.19.【2102高考北京文】设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；

记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

对如下数表A，求k（A）的值

设数表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值。

第二篇：2013年全国高考试题分类：推理与证明

第十三章推理与证明

考点一 合情推理与演绎推理

1.(2013湖南,15,5分)对于E={a1,a2,„,a100}的子集X={，„,},定义X的“特征数列”为x1,x2,„,x100,其中==„==1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,„,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于;

(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,„,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,„,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为

.答案(1)2(2)17

2.(2013陕西,13,5分)观察下列等式

(1+1)=2×

12(2+1)(2+2)=2×1×

3(3+1)(3+2)(3+3)=2×1×3×

5„„

照此规律,第n个等式可为

.答案(n+1)(n+2)„(n+n)=2×1×3ׄ×(2n-1)

3.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.n3

(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).答案(1)3,1,6(2)79

4.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f;

(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;

(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值

.解析(1)当a=时, f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=

当0≤x≤a时,由x=x解得x=0, 因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;

当a

=≠, 222

2故x=为f(x)的二阶周期点;

当a

当a-a+1≤x≤1时,由(1-x)=x解得x=∈(a-a+1,1),因f

=·

=≠,故x=为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.(3)由(2)得

A,B,则S(a)=·,S'(a)=·,因为a∈,a+a<1,所以S'(a)=· =·>0.或令g(a)=a-2a-2a+2,g'(a)=3a-4a-2 =3,因a∈(0,1),g'(a)<0,则g(a)在区间上的最小值为g=>0,故对于任意a∈,g(a)=a-2a-2a+2>0, S'(a)=·>0

则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.考点二 直接证明与间接证明

5.(2013四川,10,5分)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是()

A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e]

D.[0,1]

答案 A 22 22232232

x6.(2013陕西,21,14分)已知函数f(x)=e,x∈R.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;

(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x+x+1有唯一公共点;

(3)设a

.解析(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为k,∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1,于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1.(2)解法一:曲线y=e与y=x+x+1公共点的个数等于函数φ(x)=e-x-x-1零点的个数.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0.xxx又φ'(x)=e-x-1,令h(x)=φ'(x)=e-x-1,则h'(x)=e-1,当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减.当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,x2x22

即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与y=x+x+1有唯一的公共点.解法二:∵e>0,x+x+1>0,∴曲线y=e与y=x+x+1公共点的个数等于曲线y=与y=1公共点的个数,设φ(x)=,则φ(0)=1,即x=0时,两曲线有公共点.又φ'(x)==≤0(仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在R上单调递减,∴φ(x)与y=1有唯一的公共点,故曲线y=f(x)与y= x+x+1有唯一的公共点.(3)-f

=-==[--(b-a)].设函数u(x)=e--2x(x≥0),则u'(x)=e+-2≥2-2=0,∴u'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),∴u(x)单调递增.当x>0时,u(x)>u(0)=0.令x=,则得--(b-a)>0,∴>f.7.(2013湖北,20,13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

(2)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.2x2x22xx

解析(1)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

由A1A2⊥平面ABC,MN⊂平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线,可得MN=

BC=a,即为梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG

=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].由d10,d3-d1>0,故V估

(2)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2

<0.解析(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞).f '(x)='e+e=e

=e.当x<0时, f '(x)>0;

当x>0时, f '(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).(2)当x<1时,由于>0,e>0,故f(x)>0;

同理,当x>1时, f(x)<0.当f(x1)=f(x2)(x1 ≠x2)时,不妨设x1

第三篇：高考文科数学试题分类—推理与证明

高中数学

高考文科试题解析分类汇编：推理和证明

1.【高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，1AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反3

射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3

115123，233

11151222 2343……

照此规律，第五个不等式为.．．．

高中数学

【答案】1

1111111.22324252626

1，【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=111

2232n1

右边=

11111112n11，所以第五个不等式为122222．

234566n1



5.【高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知1a020,a01,b11；212100,1b21； 一次类推3121120,b30；4120,5122021120,b50；221060，b71,b81，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k5k1

n(n1)，写出其若2

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an

干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k

5k(5k1)

（k为正整数），2

(5k1)(5k11)5k(5k1)

b2k1a5k1，22

故b2012a21006a51006a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想

需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.质，并且，因此，不妨设112，由的定义，(A从)c而k(1A)r(1A),k(A)k3k1(A)r1(A2)c(A )c(A)a(b(abcdef)(abf)abf3

因此k(A)1，由（2）知，存在满足性质P的数表A，使k(A)1，故k(A)的最大值为知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

第四篇：2009年高考数学试题分类——推理与证明

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2009年高考数学试题分类汇编

推理与证明

1、(湖北卷理)10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A.289B.1024C.1225D.1378

10.【答案】C

【解析】【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项ann(n1)，同理可得正方形数构

2n成的数列通项bnn2，则由bnn2(nN)可排除A、D，又由a

数，故选C.n(n1)知an必为奇

22、（江苏卷）8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为.【解析】 考查类比的方法。体积比为1：83、（北京卷理）14．已知数列{an}满足：a4n31,a4n10,a2n

a2009________； 则an,nN,版权所有@高考资源网

a2014=_________.【答案】1，0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得a2009a450331，a2014a21007a1007a425210.∴应填1，0.4、(湖南卷)

15、将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= 10，…，f(n)=

31(n+1)(n+2)6

15.【答案】：101,(n1)(n2)36

【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知abc1,x1x2ab,y1y2bc,z1z2ca

x1x2y1y2z1z22(abc)2,2gx1y2x2z1y1z

26gx1x2y1y2z1z22(abc)2 即g11110而f(3)abcx1x2y1y2z1z2g1 3233

进一步可求得f(4)5。由上知f(1)中有三个数，f(2)中 有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加….，若f(n1)中有an1(n1)个数相加，可得f(n)中有(an1n1)个数相加，且由

363331045f(1)1,f(2)f(1),f(3)f(2),f(4)5f(3),...3333333

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n1,所以 3

n1n1nn1nn13f(n)f(n1)f(n2)...f(1)3333333

n1nn13211(n1)(n2)=3333336可得f(n)f(n1)

5、(浙江卷)15．观察下列等式：

1C5C55232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，159C1C13C7C17C171717152172，………

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n1对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1． *

答案：24n1122n1

nn【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有1，二项指

数分别为24nn1,，2

n因此对于nN*，1594n124n1122n1 C4n1C4n1C4n1C4n1

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第五篇：2.2013高考推理证明(2013)

1.(2013 湖南理)(2013 湖南理)设函数f(x)abc,其中ca0,cb0.xxx

且a=b，则（1）记集合M(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，(a,b,c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为____。

（2）若a,b,c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①x,1,fx0;

②xR,使xa,b,c不能构成一个三角形的三条边长；

③若ABC为钝角三角形，则x1,2,使fx0.xxx

答案：（1）(0，1]（2）①②③

20***21680102.推理证明填空题基础知识2013-09-03

2.(2013 重庆理)对正整数n，记In{1,2,3,„，n

}，Pn（1）求集合P7中元素的个数；

（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，．．

使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．

In，kIn}．

答案：解：（1）当k

4时，|mI7}中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7-3=46.（2）先证：当n15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然，设A,B为不相交的稀疏集，使A∪B=PnIn.不妨设I∈A，则因1+3=2，故3∉A，即3∈B.同理6∈A,10∈B，又推得15∈A，但1+15=4，这与A为稀疏集矛盾.再证P14符合要求.当k22

1时，|mI14}I14可分成两个稀疏集的并，事实上，只要取 A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1=I14.当k4时，集13513|mI14}中除整数外剩下的数组成集，,,，可分解为下面两2222稀疏集的并：A2

当k159113713，,，B2{，.***|mI14}中除正整数外剩下的数组成集{，，，，可分解3333339时，集为下面两稀疏集的并：A3

最后，集C***114，，，B3{，，.3333333333mI14,kI14,且k1,4,9}中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令AA1A2A3C,BB1B2B3.则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14.综上，所求n的最大值为14.(注：对P14的分拆方法不是唯一的)

20***97962132.推理证明解答题基础知识2013-08-15

3.(2013 陕西文)观察下列等式:

(11)21

(21)(22)2213

(31)(32)(33)23135

„„

照此规律, 第n个等式可为.答案：(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)

20***97810882.推理证明填空题基础知识2013-08-15

4.(2013 陕西文)设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）

(A)[－x]=－[x]

(C)[2x]=2[x](B)[x + 1]=[x] 212(D)[x][x][2x]

答案：D

20***92818362.推理证明选择题基础知识2013-08-15

5.(2013 湖北文)在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.（1）图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是；

（2）已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N71，L18，则S（用数值作答）.答案：（1）3,1,6；（2）79

第17题图

20***97507252.推理证明填空题基础知识2013-08-14

6.(2013 湖北理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,„,第n个三角形数为n(n+1)121=n+n，记第n个k边形数为N(n,k)(k3)，222

以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数N(n,3)=1

2n2+1

2n，正方形数N(n,4)=n2，五边形数N(n,5)=3

2n21

2n，六边形数N(n,6)=2n2-n

„„

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=_________________。

答案：1000

20***40787772.推理证明填空题基础知识2013-08-14

7.(2013 陕西理)观察下列等式:

121

12223

1222326

1222324210

„„

照此规律, 第n个等式可为.答案：122232421n1n2(1)n1nn1

20***67501202.推理证明填空题基础知识2013-08-14

8.(2013 陕西理)设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x,y,有()

(A)[－x] ＝ －[x](B)[2x] ＝ 2[x]

(C)[x＋y]≤[x]＋[y](D)[x－y]≤[x]－[y]

答案：D

20***59217992.推理证明选择题基础知识2013-08-14