2011年高考数学试题分类十三 推理与证明、创新题[最终定稿]

第一篇：2011年高考数学试题分类十三 推理与证明、创新题

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十三、推理与证明、创新题,b1,aaab.设函数b,ab11．（天津理4）对实数a和b，定义运算“”：

f(x)x22xx2,xR.yf(x)cx若函数

则实数c的取值范围是

A．的图像与轴恰有两个公共点，,21,32B．,21,34

【答案】B 111,,44C．311,,44 D．

1A3A1A22．（山东理12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A,则称A3，A4调和分割A1，A2,已知

平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C，D可能同时在线段AB上

D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】D（μ∈R），且AA14A12（λ∈R），A1

23.（湖北理9）若实数a,b满足a0,b0,且ab0，则称a与b

互补，记

(a,b)ab,，那么a,b0是a与b互补的A．必要而不充分的条件

C．充要条件

【答案】C B．充分而不必要的条件 D．即不充分也不必要的条件

4.（福建理15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:VR满足：对任意向量a=

（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有

则称映射f具有性质P。现给出如下映射： f(a(1)b)f(a)(1)f(b), ①f1:VR,f2(m)x,y,m(x,y)V;2f:VR,f(m)xy,m(x,y)V;2②2

③f3:VR,f3(m)xy1,m(x,y)V.其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）

【答案】①③

5.（湖南理16）对于nN,将n 表示*

na02ka12k1a22k2...ak121ak20,当i0时，ai1,当1ik时, a1为0或1．记I(n)为上述表示中ai为0的个数（例如：

I120,4122021020）,故I(1)0, I(4)2）,则

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（1）I(12)________________;（2）

【答案】21093 2n1mI(n)________________;

Ct4,4,Dt,4tR.记Nt为平行四边形ABCD6.（北京理8）设A0,0,B4,0，内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数Nt的值域为

A．9,10,11B．9,10,12

D．10,11,12

72011 C．9,11,12【答案】C 567.（江西理7）观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，则5的末四位数

字为

A．3125B．5625C．0625D．8125

【答案】D

8.（广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS，则称S关于数的乘

法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUZ,且a,b,cT,有

abcT;x,y,zV,有xyzV，则下列结论恒成立的是 A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A

9.（江西理10）如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小

圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

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【答案】①，③，⑤

=f（x2）11.（四川理16）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）时总有

x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数．下列命题：

①函数f（x）=x（xR）是单函数； 2

f（x2）； ②若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）

③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是（写出所有真命题的编号）答案：②③④

解析 ：①错，x1x2，②③④正确

f(x)x(x0)x2,观察: 12.（山东理15）设函数

f1(x)f(x)x,x2

x,3x4

x,7x8

x,15x16 f2(x)f(f1(x))f3(x)f(f2(x))f4(x)f(f3(x))

根据以上事实，由归纳推理可得：

当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)) x

nn【答案】(21)x2

13.（陕西理13）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

第二篇：2011年高考数学试题分类 推理与证明、创新题

十三、推理与证明、创新题

b1,a,a

ab

.设函数b,ab11．（天津理4）对实数a和b，定义运算“”：

f(x)x22xx2,xR.yf(x)cx

若函数

则实数c的取值范围是

A．的图像与轴恰有两个公共点，,21,

3



2

B．

,21,



3



4

【答案】B

111,,44C．31

1,,

44 D．



1A3A1A22．（山东理12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A,则称A3，A4调和分割A1，A2,已知平

面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 【答案】D

（μ∈R），且



AA14A12（λ∈R），A







23.（湖北理9）若实数a,b满足a0,b0,且ab0，则称a与b

互补，记

(a,b)ab,，那么a,b0是a与b互补的A．必要而不充分的条件

C．充要条件【答案】C

B．充分而不必要的条件

D．即不充分也不必要的条件

4.（福建理15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:VR满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有

则称映射f具有性质P。现给出如下映射：

f(a(1)b)f(a)(1)f(b),①f1:VR,f2(m)x,y,m(x,y)V;

2f:VR,f(m)xy,m(x,y)V;2②2

③f3:VR,f3(m)xy1,m(x,y)V.其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）【答案】①③

*

5.（湖南理16）对于nN,将n 表示na02a12

kk

1a22k2...ak121ak20,当i0时，ai1,当1ik时, a1为0或1．记I(n)为上述表示中ai为0的个数（例如：I12,4120202）,故I(1)0, I(4)2）,则（1）I(12)________________;（2）

0m

2

n1

I(n)

________________;

【答案】2109

36.（北京理8）设A0,0,B4,0，Ct4,4,Dt,4tR.记Nt为平行四边形ABCD

内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数Nt的值域为

A．9,10,11B．9,10,12

D．10,11,12

72011 C．9,11,12【答案】C 567.（江西理7）观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，则5的末四位数字

为

A．3125B．5625C．0625D．8125

【答案】D

8.（广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS，则称S关于数的乘法

是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUZ,且a,b,cT,有

abcT;x,y,zV,有xyzV，则下列结论恒成立的是 A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A

9.（江西理10）如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方

向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小

圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

【答案】①，③，⑤

=f（x2）11.（四川理16）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）时总有

x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x（xR）是单函数； 2

f（x2）； ②若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）

③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是（写出所有真命题的编号）

答案：②③④

解析 ：①错，x1x2，②③④正确

12.（山东理15）设函数f(x)x(x0)x2,观察:

f1(x)f(x)x,x2

f2(x)f(f1(x))

f3(x)f(f2(x))x,3x4 x,7x8

f4(x)f(f3(x))x,15x16



根据以上事实，由归纳推理可得：

当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)).x

nn(21)x2【答案】

13.（陕西理13）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，第n个等式为。

【答案】n(n1)(n2)(3n2)(2n1)

第三篇：高考文科数学试题分类—推理与证明

高中数学

高考文科试题解析分类汇编：推理和证明

1.【高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，1AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反3

射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3

115123，233

11151222 2343……

照此规律，第五个不等式为.．．．

高中数学

【答案】1

1111111.22324252626

1，【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=111

2232n1

右边=

11111112n11，所以第五个不等式为122222．

234566n1



5.【高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知1a020,a01,b11；212100,1b21； 一次类推3121120,b30；4120,5122021120,b50；221060，b71,b81，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k5k1

n(n1)，写出其若2

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an

干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k

5k(5k1)

（k为正整数），2

(5k1)(5k11)5k(5k1)

b2k1a5k1，22

故b2012a21006a51006a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想

需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.质，并且，因此，不妨设112，由的定义，(A从)c而k(1A)r(1A),k(A)k3k1(A)r1(A2)c(A )c(A)a(b(abcdef)(abf)abf3

因此k(A)1，由（2）知，存在满足性质P的数表A，使k(A)1，故k(A)的最大值为知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

第四篇：2009年高考数学试题分类——推理与证明

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2009年高考数学试题分类汇编

推理与证明

1、(湖北卷理)10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A.289B.1024C.1225D.1378

10.【答案】C

【解析】【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项ann(n1)，同理可得正方形数构

2n成的数列通项bnn2，则由bnn2(nN)可排除A、D，又由a

数，故选C.n(n1)知an必为奇

22、（江苏卷）8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为.【解析】 考查类比的方法。体积比为1：83、（北京卷理）14．已知数列{an}满足：a4n31,a4n10,a2n

a2009________； 则an,nN,版权所有@高考资源网

a2014=_________.【答案】1，0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得a2009a450331，a2014a21007a1007a425210.∴应填1，0.4、(湖南卷)

15、将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= 10，…，f(n)=

31(n+1)(n+2)6

15.【答案】：101,(n1)(n2)36

【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知abc1,x1x2ab,y1y2bc,z1z2ca

x1x2y1y2z1z22(abc)2,2gx1y2x2z1y1z

26gx1x2y1y2z1z22(abc)2 即g11110而f(3)abcx1x2y1y2z1z2g1 3233

进一步可求得f(4)5。由上知f(1)中有三个数，f(2)中 有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加….，若f(n1)中有an1(n1)个数相加，可得f(n)中有(an1n1)个数相加，且由

363331045f(1)1,f(2)f(1),f(3)f(2),f(4)5f(3),...3333333

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n1,所以 3

n1n1nn1nn13f(n)f(n1)f(n2)...f(1)3333333

n1nn13211(n1)(n2)=3333336可得f(n)f(n1)

5、(浙江卷)15．观察下列等式：

1C5C55232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，159C1C13C7C17C171717152172，………

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n1对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1． *

答案：24n1122n1

nn【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有1，二项指

数分别为24nn1,，2

n因此对于nN*，1594n124n1122n1 C4n1C4n1C4n1C4n1

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第五篇：14、2012文科数学试题分类--推理和证明

2012高考文科试题解析分类汇编：推理和证明

1.【2012高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF1。3动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）

32.【2012高考上海文18】若Snsin

个数是（）

A、16B、72C、86D、100

3.【2012高考江西文5】观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为

A.76B.80C.86D.9

24.【2012高考陕西文12】观察下列不等式 7sin2n...sin（nN），则在S1,S2,...,S100中，正数的77

13 222

115123，23

311151222 23431

……

照此规律，第五个不等式为.．．．

5.【2012高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.6.【2012高考湖北文17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：



将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列

{bn}，可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；

（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

7.【2102高考北京文20】（本小题共13分）

满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.记ri（A）为A的第i

行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

对如下数表A，求k（A）的值

设数表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值。

8.【2102高考福建文20】20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

答案

BCB4、15k5k11111111

5、（1）3；（2）

26、（Ⅰ）5030；（Ⅱ）2222223456627、（1）因为r1(A)=1.2，r2(A)1.2，c1(A)1.1，c2(A)0.7，c3(A)1.8，所以k(A)0.7

（2）r1(A)12d，r2(A)12d，c1(A)c2(A)1d，c3(A)22d.因为1d0，所以|r|=|r2(A)|d0，|c3(A)|d0.所以k(A)1d1.1(A)

当d0时，k(A)取得最大值1.（3任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A仍满足性质P，并且

k(A)k(A*)，因此，不妨设r1(A)0,c1(A)0,c2(A)0，由k(A)的定义知，k(A)r1(A),k(A)c1(A),k(A)c2(A)，从而

3k(A)r1(A)c1(A)c2(A)(abc)(ad)(be)

(abcdef)(abf)abf3

因此k(A)1，由（2）知，存在满足性质P的数表A，使k(A)1，故k(A)的最大值为1。

1032020008、（I）选择（2）：sin15cos

15sin15cos151sin30 2

432200（II）三角恒等式为：sincos(30)sincos(30) 4

0sin2cos2(300)sincos(30)

sin11sin)2sinsin)22

333sin2cos24442