导数在研究函数问题中的应用

第一篇：导数在研究函数问题中的应用

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导数在研究函数问题中的应用

作者：朱季生

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第04期

函数是高中数学的重要内容和主干知识，而导数知识在研究函数图象、函数零点、不等式证明以及不等式恒成立等诸多问题中亦有着广泛的应用.本文以2012年福建省高考中的函数试题举例阐述.一、函数的凹凸性与拐点的有关性质

第二篇：浅谈导数在求解与函数单调性有关问题中的应用

浅谈导数在求解与函数单调性有关问题中的应用

函数单调性是高中阶段函数的一个最基本的性质，导数为我们提供了一套新的理论和方法，只通过简单的求导和解相关的不等式就可以判断出函数的单调性，进而更深入地解决问题，比如最值问题等。那么，怎样用导数解决有关单调性的问题呢？

一、导数与函数单调性的关系

1.定义

设函数y=f（x）在某个区间（a，b）内可导，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f'（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。

2.说明

（1）如果函数y=f（x）在区间I内恒有f'（x）=0，则y=（x）在区间I内为常函数。

（2）f'（x）>0是f（x）递增的充分不必要条件，如y=x3在（-∞，+∞）上并不是都有f'（x）>0，有一个点例外，即x=0时f'（x）=0，同样f'（x）<0是f（x）递减的充分不必要条件。

（3）设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果 f（x）在该区间上单调递增（或单调递减），则先列不等式f'（x）≥0（或≤0），再去验证f'（x）=0时是否恒成立。

（4）利用导数证明不等式时，往往要先构造函数，再利用导数判断其单调性求解。

（5）利用导数求函数单调区间的三个步骤：

①确定函数的定义域。

②求函数f（x）的导数f'（x）。

③令f'（x）>0解不等式，得x的范围就是递增区间；令f'（x）<0解不等式，得x的范围就是递减区间。

二、典型例题

1.判断单调性

例：讨论函数的单调性。

题型分析：求出y'，在函数定义域内讨论y'的符号，从而确定函数的单调性。

解题归纳：在判断函数单调性时，在某个区间内若出现个别的点使f'（x）=0，则不影响包含该点的这个区间上函数的单调性，只有在某个区间内恒有f'（x）=0，才能判定f（x）在该区间内为常函数。

2.证明单调性

例：求证函数f（x）=在区间（0，2）上是单调递增函数。

题型分析：利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质就是判断或证明不等式f'（x）>0（f'（x）<0）在给定区间上恒成立，一般步骤为：求导数f'（x），判断f'（x）的符号，给出单调性结论。

解题归纳：判断导数符号时应注意利用不等式的关系。

3.已知单调性求参数的范围

例：设函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围。

题型分析：函数解析式中含有参数，已知单调性，求参数的取值范围，解答本题可先求函数的导数，以导数符号确定参数的取值范围。

解：因为函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，所以当x∈（-，-）时，f'（x）≤0恒成立，结合二次函数图象可以知道f'（-）≥0且f'（-）≤0，解得a≥2。

经验证，当a=2时也成立，所以a≥2。

解题归纳：本题一定要注意最后的验证，了解导数符号和单调性的非充要关系，做到知识掌握的准确性和做题逻辑的严密性。

变式：若函数f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在区间（1，4）上是减函数，在区间（6，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围。

题型分析：本变式给出了两个单调区间，应该得出两个导数不等式，再求参数范围。

解：f'（x）=x2-ax+（a-1），令f'（x）=0得x=1或x=-1，结合函数图象可知4≤a-1≤6，故a∈[5，7]。

解题归纳：本题也可转化为f'（x）≤0，x∈（1，4）恒成立且 f'（x）≥0，x∈（6，+∞）恒成立，再验证等号的方法来求解。

4.利用单调性证明不等式

例：求证当x>0时，ln（x+1）>x-x2。

题型分析：利用导数证明不等式的基本方法是通过移项或者变形后再移项来构造一个新的函数，利用新函数单调性再求最值的方法来证明。

证明：设f（x）=ln（x+1）-（x-x2）=ln（x+1）-x+x2

函数的定义域为（-1，+∞）

则f'（x）=-1+x=，当x∈（-1，+∞）时，f'（x）>0

所以，f（x）在（-1，+∞）上是增函数。

所以，当x>0时，f（x）>f（0）=0

即当x>0时，ln（x+1）>x-x2

解题归纳：通过考查函数的单调性证明不等式是不等式证明的一种常用方法，也是证明不等式的一种巧妙方法。

总之，导数在求解与单调性有关问题中有广泛应用，在以后的工作和学习中我将不断探索和积累。

（责任编辑冯璐）

第三篇：分析法在立体几何问题中应用

分析法在立体几何问题中应用

立体几何在高中是一个难点，特别是添辅助线，让很多同学无从下手.虽然证明题的思路是非常明确的，比如要证明线面平行，只要在平面中找到一条直线与已知直线平行即可；要证明两条异面直线垂直，只要构造一个包含其中一条直线的平面与另一条直线垂直即可，但是如何去寻找所需要的直线与平面呢？幸好空间向量的引入，使得立体几何也可以转化成代数问题进行计算，不需要添加辅助线，只要能建立适当的空间直角坐标系，通过计算即可解决立体几何的问题.但事与愿违，那些没有数量关系的几何问题不可能利用空间向量来解决，因此如何添加辅助线的可操作性的方法便呼之欲出.接下来，利用分析法讨论两类问题：如何添加辅助线和建立适当空间直角坐标系.一、分析法解决辅助线问题

例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：B1D平面ACD1.分析：要证明B1D平面ACD1，只要证明B1D垂直于平面ACD1内的两条相交直线.利用分析法，可以将B1D平面ACD1看成是已知条件，则根据线面垂直的定义，有B1D垂直于平面ACD1内的所有直线，所以只要选取其中的两条来证明即可.接下来问题就转化成为证明B1DAC和B1DCD1，即两条异面直线垂直，常用的方法就是构造线面垂直.先来证明B1DAC.利用分析法，B1DAC可以看成是已知条件，由于A、C、D处于下底面，只要过D有一条垂直垂直于AC的直线即可，因为底面是一个正方形，故对角线互相垂直，所以只要连接BD，就应有AC平面BB1D.这样问题就转化为证明AC平面

BB1D.由于ACBD,ACB1B，即可证明.然后同理可证B1DCD1.证明过程略.A

D1 C

1B1

A1

D

C

B

评注：其实这个题，如果用三垂线定理，应该是比较容易想到连接BD，因为BD是B1D在下表面内的射影。但由于课改后，在必修2中对三垂线定理只字不提，增大了此类题目的难度.类似地，《普通高中课程标准实验教科书》（人教版）数学必修2的73页上有这样一个探究题：如图，直四棱柱ABCDABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，ACBD?

'

'

'

'

'

'

'

'

'B

D

B

分析：连接A'C'，只要A'C'B'D'，就有A'CB'D'.C

例2 如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA//平面MDB.S

M

D C

A

B

分析：要证明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一条直线与SA平行.利用分析法，可以将SA//平面MDB看成已知条件，根据线面平行的性质定理，过SA的平面只要与平面MDB相交，则SA与交线平行.题目中包含SA有两个平面只有平面SAB和平面SAD，而这两个平面与平面MDB的交线在这个几何体的外面，不太好找.我们可以改变策略，在四棱锥中构作一个包含SA的平面.根据确定平面的公理2的推论：一条直线和直线外一点可以唯一确定一个平面，我们选取点C，连接AC交BD于O，构作平面SAC，它与平面MDB的交线是OM，故只要证明SA//OM.由于底面是平行四边形，M是SC的中点，易得

SA//OM.证明过程略.评注：由于线面平行的话，直线上所有点到平面的距离相等，而且垂直于同一个平面的两条直线平行，两条平行直线也可确定一个平面，有时也利用平行四边形构作平面.如下题.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B、AC上的点，A1MAN.求证：MN//平面BB1C1C.二、分析法建立空间直角坐标系

利用空间向量解决立体几何问题有着无比的优越性，因此逐渐成为高考的热点之一.新课改也处处体现向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介绍了空间直角坐标系，重点要求掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定，以及空间向量的模长，从而掌握空间向量的数量积来解决长度与角度的问题.而空间直角坐标系是将几何问题转化为代数问题的关键，所以如何建立空间直角坐标系就显得犹为重要.接下来，利用分析法谈谈建立空间直角坐标系的问题.例3 四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC45，AB

2，BC

SASB

（1）求证：SABC；

（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小.S

C

B

D

A

分析：要建立空间直角坐标系，最好有一个线面垂直.先来分析下底面，由于下底面是ABC45的平行四边形，且AB

2，BC故连接AC，有ABC是已CAB为直角的等腰直角三角形.取BC的中点为O，连接AO，则AOBC

.利用分析法，将SABC看成已知条件，所以应有BC平面SAO，则SOBC.因为侧面SBC底面ABCD，根据面面垂直的定义，有SO底面ABCD.故可取O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OS所在的直线为z轴建立空间直角坐标系.证明过程略.附：分析法得到意想不到的结果

1.设a,b,c都为正数，求证：abc(abc)(bca)(cab).分析：由于a,b,c都为正数，当abc0,bca0,cab0时，可以将a,b,c看成是三角形的三边.由不等式的右边联想到海伦公式，有

abc(abc)(abc)(bca)(cab)(abc)16S

abcabc16r()

4R2

得R2r（其中R,r分别为三角形的外接圆与内切圆的圆心）2.在数列{an}中，已知anln2.解Snln下先证明ln

12ln1

23ln1

nn1，Sn是{an}的前n项和，求证：Sn

n

1n

.ln

12n1

ln()ln，n123n1n11，只证lnxx，令f(x)lnxx(0x1)，n1n1n111x

0，又0x1，得f(x)0，∴f(x)为增函数，则f(x)1

xx

，令x

得f(x)f(1)ln1110，即lnxx0，有lnxx，于是ln

1n1



1n1



1n

.3.设函数f(x)lnxpx1(pR)，（1）求f(x)极值点；

（2）当p0时，若对于任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围；（3）证明：当nN，n2时，ln22



ln33



lnnn



2nn12(n1)。

解：（1）f(x)的定义域为(0,)。当p0时，f(x)

1x

p0，f(x)在其定义域上是增函数，故没有极值点。

当p0时，若x(0,)，则f(x)

p1p

11pxx

0

；若x(,)，则f(x)

p

11pxx

0，于

是f(x)有极小值点x。

1p

（2）由（1）知，p0时，f(x)有极小值点f()ln

p

1p，由于f(x)在其定义域上只

1p

有一个极值点，因此f(x)的最大值为f()ln

p

。所以f(x)0ln0p1。

1x

（3）由（2）知，当p1，x0时，f(x)0lnxx1

于是

ln22

lnxx

1。



ln33



lnnn

(1

12)(1

13)(1

1n

1n)

(n1)(又当nN，n2时，12



)。

1n





1(n1)n

1314



1n



1n1

1n131，于是

1n1)1n





1n

（12

13)()（12



12)



1n1，∴

ln22



ln33



lnnn

(n1)(

(n1)(

n1)

2nn12(n1)，即

ln22



ln33



lnnn



2nn12(n1)。

评析：导数进入中学数学后，为中学不等式证明提供了一个强大工具。正因为如此，通过构造函数并利用导数证明不等式已成为高考数学试题中一道亮丽的风景线。本题第（2）问实际上已经作出暗示，对比待证不等证式与第（2）问所得结论，证明思路自然生成。

第四篇：生态工程在农村生活污水问题中的研究应用

生态工程在农村生活污水问题中的研究应用

摘要：农村生活污水问题是水资源处理的重要组成部分，它关系到农村居民的切身利益，对改善农村居民的生态环境和生活质量有密切联系。目前，我国农村生活污水治理污水收集难度大、工程设计未完全透明且淡化内容、政策建设资金紧张、设施建设质量得不到保证、设施运行管理水平不足等问题。本文从生态工程的角度分析应对我国农村生活污水治理的问题，论述人工湿地系统、稳定塘系统、地下渗滤系统、蚯蚓生态滤池四种现行生态工程在污水处理的应用，以期为促进我国农村生活污水的治理提供借鉴。

关键词：生态工程，农村，生活污水，应用

长期以来，由于治理资金短缺和对农村水环境保护意识的淡薄，农村地区的生活污水未经处理就直接排放，成为江河湖泊水体水质下降的主要原因。据世界卫生组织以及水供应和卫生合作理事会调查显示，发展中国家中有25%的居住人口享受不到卫生系统提供的便利，相比而言，农村人口的比例高达82%

［1］

。现有的成熟的污水处理工艺对污水处理能够达到很好的处理效果，但是它们又存在自身的限制，如运行过程中需要化学药剂的添加、释放恶臭、运行管理要求掌握相关技术技能，基建、运行维护相关投资费用高，从环境友好角度而言，它们也不是最佳选择［2-3］，尤其是对于经济、技术实力相对落后的农村地区而言，因此人们开始致力于高效经济的自然生态处理工艺研究。进行农村生活污水的研究，探索适合农村生活污水的处理模式，对推动社会主义新农村的建设，具有迫切的现实意义。农村生活污水处理存在的问题

1.1 污水收集难度大、管网欠缺

污水收集上存在的问题是大多数农村污水处理设施存在的共性问题。由于农村地区居民,并非像城市居民居住相对集中;因其居住相对较分散,且地势高低不平,污水难以通过自流进入污水处理设施。同时,由于缺乏系统规划及农村集体经济薄弱等原因,绝大多数村庄没有完善的污水管网。已建的农村污水处理设施由于管网不够完善,收集范围小,户接入面窄,导致污水收集率低。

1.2 工程设计未完全透明、淡化内容

虽然农村污水处理设施的建设都是通过专业的设计单位进行设计,但目前国家还没有出台针对农村地区污水处理工程的设计和施工相关规范,工程设计和施工往往只能参照其它相关规范进行。同时,由于受工程总承包等相关利益的驱使或对知识产权的保护等,或因农村污水处理设施单个项目投资额小,设计收费较低等原因的影响,设计单位在方案中对一些须具体明确化的设计内容往往加以淡化或模糊化,这使得设计单位的设计文件内容深度不足,比如涉及到人工湿地(生态绿地)等工程时,对水力负荷的论证、湿地管道的铺设、管道布水孔的设置,湿地填料的优化级配、填料的孔隙度、填料的具体要求,湿地植物的选配、种植密度、种植面积等往往没有给出明确的规定,这对后期的工程监管、工程施工、工程审计等留有较大的疏漏隐患。

1.3 政策建设资金紧张、缺口较大

由于上级部门资金投入不足,基层配套资金不到位,导致工程建设无法完整实施,达不到设计标准,工程设施简陋、管网不全、污水收集和处理率较低。

1.4 工程运行管理欠缺、缺乏机制

虽然农村生活污水处理设施的建设大都选用运行费用低廉,管理维护简单等技术,但并不完全是指所有污水处理设施不需要运行维护管理。部分农村污水处理设施的运行管理也反映出了诸多问题(1)专职的管理人员缺乏,甚至无管理人员。即使有专人管理但主要以兼职管理为主,由于管理人员其他工作的限制,未有足够的时间和精力投入到污水处理设施的管理上,使得出现问题无法及时解决,影响处理设施的正常运行;(2)管理人员缺乏专业技术知识。管理人员大都未经过相关的专业技术指导或培训,同时,设计单位未在设计方案中指明具体的管理内容、管理范围和管理方法,无法对其所负责的污水处理设施进行正常维护和有效管理;(3)缺乏完善的长效管理机制。管理部门多头管理,比如涉及包括农办、环保、水办等部门,工程设计、施工、验收整个环节缺乏专门的管理部门和系统的管理程序,治理资金分散,工程运行维护和管理出现空位。生态工程在农村污水处理中的应用

2.1 人工湿地系统

人工湿地系统是自然湿地系统某些功能的强化，美国权威湿地研究与设计管理专家Hammer 定义人工湿地为: 一个为了人类的利用和利益，通过模拟自然湿地，人为设计与建造的由饱和基质、挺水与沉水植物、动物和水体组成的复合体

［4］

。人工湿地处理技术是一种应用比较广泛的利用低洼湿地沼泽地处理污水的方法，将污水有控制地投配到土壤（填料）生长有芦苇、香蒲等水生植物的土地上。人工湿地对废水的处理机理综合了物理、化学和生物三重协同作用。当湿地系统运行成熟后，填料表面和植物根系中生长了大量的微生物形成的生物膜，系统主要去除填料及根系阻挡截留，有机质则主要通过生物膜中微生物的同化吸收及异化分解而得以去除。湿地床层中植物对氧的运输、传递、释放作用，使其根系周围的微环境中依次呈现出好氧、缺氧和厌氧状态，有利于硝化、反硝化反应和微生物对磷的过量积累作用，保证了对氮磷的去除效果，最后通过湿地基质的定期更换及植物收割使污染物质最终从系统中去除。目前，在美国有600 多处人工湿地工程用于处理市政、工业和农业废水［5］，新西兰也有80 多处人工湿地系统被投入使用

［6］

。在过去的20 年里在我国的广大郊区、农村地区超过1 500 个人工湿地案例已经成功应用。由于单一的生态处理方法不能够达标，近年来复合工艺兴起，复合工艺就是将生态处理系统的不同类型按照场地条件、目的进行组合或与其他污水处理工艺相结合使用，可以提高系统的处理负荷，从而减少了对环境条件的依赖性;太湖流域的宜兴市尹家村污水处理工程采用MBR/人工湿地组合工艺处理农村生活污水，通过对参数的合理选取及精心设计，取得了较好的处理效果，出水水质达到《城镇污水处理厂污染物排放标准》(GB18918 － 2002)的一级A 标准。工艺流程包括预处理单元、膜生物反应器处理单元、表流湿地单元、氧化塘单元属于典型的生态处理等工艺的综合运用;清华大学“九五”期间在滇池流域采用人工复合生态床处理农村生活污水，利用微生物的硝化/反硝化作用以及填料对磷的吸附/沉淀作用、水生植物的吸收作用，对营养物氮、磷的去除取得了较好的效果

［7］，但是在推广应用上仍有不足。

2.2 稳定塘系统

稳定塘是一种土地经过人工适当的修整，设围堤和防渗层的池塘，主要依靠自然生物净化功能使污水得到净化的污水生物处理技术。它具有显而易见的优点: 可充分利用地形，节省基建投资;运行维护费低，系统基本不耗能;无需污泥处理;可实现污水资源化。20 世纪50 年代末，美国加州大学伯克利分校的Oswald和Gotaas 在稳定塘基础上提出并发展了高效藻类塘。高效藻类塘是传统稳定塘的一种改进形式，它通过强化利用藻类的增值来产生有利于微生物生长和繁殖的环境，形成更紧密的菌藻共生系统，同时创造一定的物化条件，达到对有机碳、病原体尤其是氮和磷等污染物的有效去除。在法国污水处理领域稳定塘颇受人们喜爱，据统计，法国现在有2 500 ～3 000个稳定塘投入使用，平均每个稳定塘可服务600 个人，处理量为污水处理厂的20% 左右

［8］

。对稳定塘等复合工艺的应用，我国山东东营市是一个较为成功的案例，其具体工艺流程为: 污水→总提升泵站→压力管线→平流沉砂池→高效兼性塘→曝气塘→养鱼塘→曝气→养鱼塘→芦苇塘→藕塘→自流或回用，此系统以高效兼性塘、曝气塘和曝气养鱼塘为主要处理系统，对污水净化效果较好，还可以利用污水养鱼、鸭、鹅，达到污水处理效果的同时也获得了经济效益

［9］。

2.3 地下渗滤系统

地下渗滤系统通常由化粪池和土壤渗滤装置构成，是将生活污水经过化粪池预处理后投配到地面下一定距离，在渗透性良好的地层中，通过土壤的毛细力、重力的作用下使得污水扩散运动，地下渗滤系统净化机理除了物理截留、物化吸附、化学沉淀、生物降解、动植物等作用，也存在一些土壤生态处理系统中的特殊机制，如光催化、光降解、植物吸取等。地下渗滤系统具有氮、磷去除能力强，处理出水水质好，可回用，基建及运行成本低，运行管理简单、维护容易、不产生剩余污泥且对进水负荷的变化适应性强等优点外，还对各种病原体具有很好的降解作用，适用于新兴农村地区的生活污水处理，因而成为人们所关注和广泛使用的农村污水处理工艺。上海市闵行区汇浦江镇正义村和汇中村采用地下土壤渗滤处理对当地农村生活污水进行示范工程，并详细地比较了面积分别为9 m2(服务人口11 人)、45 m2(服务人口170人)、90 m2(服务人口170 人)以及200 m2(服务人口170 人)的处理系统在工程实际中出水水质的不同，试验结果显示处理系统面积越大出水的各个水质指标相应变好，200 m2 的处理系统出水水质保持在一级A 水平，研究推荐对各农户污水进行收集后在统一建设，面积在90 ～ 300 m

2［10］

。张建等在滇池周边进行地下渗滤处理农村生活污水的中试，处理规模为30 ～ 40 ms /d，可处理200 余户村民产生的生活污水，运行效果良好，水力负荷为8 cm/d 时，系统对COD、NH4+-N、TP 和TN 的去除率分别达到80%、90%、95% 和80% 以上，出水水质优于建设部颁发的生活杂用水水质标准采用间歇配水

［11］。

2.4 蚯蚓生态滤池

蚯蚓生态滤池，又称蚯蚓生物滤池，是利用蚯蚓具有提高土壤透水性能和促进有机物质分解转化的生态学功能而设计的一种生物、生态相结合技术。蚯蚓生物滤池的滤料由上部蚯蚓有机分解层、中间层和下部碎石承托层构成。蚯蚓生态滤池是一个复杂的生态系统，内部生长着蚯蚓和大量的细菌、真菌、霉菌等。滤池就是利用基质、蚯蚓和微生物这个复合生态系统的物理、化学和生物的三重协同作用对生活污水进行净化，污染物在这些复杂而又相互联系和制约的作用下被去除。蚯蚓生物滤池工程造价和运行费用低，除污效能高，占地面积小，剩余污泥量少，可实现污水、污泥的同步处理，减少后续污泥的处置处理相关费用等，通过蚯蚓的运动疏通和吞食增殖微生物，还解决了传统生物滤池所遇到的堵塞问题南京大学郑正等对将蚯蚓生态滤池工艺应用于农村生活污水进行了研究，并建立了将农户现有的化粪池改装后直接加以利用的示范工程

［12］

。王树乾等将蚯蚓微生物生态滤池用于城镇生活污水研究，蚯蚓生态滤池对COD、BOD、TSS 的去除率都在80% 以上，对NH4+-N 的去除率在55%以上，总磷去除率在45%以上

［13］。

3总结讨论

中国农村生活污水的治理工作起步较晚，目前还没有形成规模。随着全国新农村建设步伐的加快和政策的倾斜，一些地方已经开始建设示范工程和规模化运行的处理设施,但其治理技术多是借鉴国外已有技术，并不完全适用于国内。先进的技术不一定是最适用的，只有高效、低投入、低运行成本的污水处理技术，才符合国情。上述污水处理技术具有投资省、效果好的特点，各地区可以因地制宜，酌情选择。此外，这些技术也都有自身的不足和值得改进之处,在实际应用中可通过科学设计、优化组合，达到技术上的互补。未来的污水处理技术会向着多方面、深层次的方向发展。可以预见，多种系统的联合使用会成为今后发展的主要方向。参考文献

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第五篇：1.3导数在研究函数中的应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤

2.教学重点/难点

【教学重点】：

利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】：

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤

3.教学用具

多媒体

4.标签

1．3．3函数的最大（小）值与导数

教学过程