职高高一学生在数学解题中的（最终版）

第一篇：职高高一学生在数学解题中的（最终版）

职高高一学生在数学解题中的

常见错误剖析

在职高学生的数学解题过程中，我们常见到一些错误的解法。引发这些错误的原因是什么？教学中应采取哪些措施减少或避免这些错误的发生？这是值得广大职高数学教师研究的一个问题。本文结合高一学生在解题过程中常见的错误解法，试举几个例子以剖析，并提出了相应的教学对策与广大职高数学教师探讨。

一、基本概念的模糊引起错解

数学基本概念的模糊是引起职高学生解题错误的一个重要原因。

例１．已知sinα=3，且α是第二象限角，求cosα

52错解：∵ cos2α=1－sin2α

3)=

∴ cosα=1sin2=1(54 5

又∵α是第二象限角，∴cosα＜0

∴ cosα= －

4，5剖析：引起本题解答错误的主要原因是混淆了平方根与算术平方根的概念，题目中要求的是符合一定条件的平方根，而学生求得的是算术平方根。最后一步得出的结论更反映了学生概念上的模糊。

教学对策：平方根和算术平方根这两个之间既有联系又有区别，职高学生虽然已经学过这两个概念，但不少职高学生对它们的理解还是比较模糊的。因此，在教学中要重视对这两个概念的复习。在具体解题教学中，对于求平方根的问题，可要求学生先出两个平方

2根，然后再根据题目条件得出符合题意的结论。对于求算术平方根的问题，先运用公式a＝｜a｜，然后再用绝对值的定义去掉绝对值符号。使学生养成良好的解题习惯，这样能大大减少错误的发生。

例２．解不等式 ｜x－1|＞3 错解：原不等式等价于

x13x1

3解得

x2x4

所以原不等式的解集为｛x｜x＜－2或x＞4｝

剖析：引起本题解答错误的主要原因是学生对逻辑连结词“或”和“且”的概念的混乱。解答中不等式x－1＜－3与x－1＞3之间本应该用逻辑联结“或” 来联结，而学生却用了“且”，最后的答案中联结词却又改成了“或”。说明学生对逻辑联结词“或”与“且” 的运用是非常随意的。

教学对策：逻辑连结词“或”与“且”的正确运用是职高数学教学上的一个难点。生活中经常用的“或”与逻辑中的“或”是有一定区别的，而职高学生却往往不加以区别，另外，学生在平时解题时对式子与式子之间的逻辑连结词的运用往往不太注意，甚至干脆不用。因此，在教学中要根据学生的实际认识水平，通过实际例子的分析，逐步引导学生对概念的理解，并且要求学生在平时解题中要重视对逻辑连结词的正确运用，逐步提高运用它们的水平。

二、忽略变形的等价性引起错解

忽略变形的等价性是引起职高学生解题错误的另一个重要原因。

2x1例3．解不等式 x3＞0

错解：不等式两边同乘以x－3，得

12x＋1＞0

得

x＞－

2∴原不等式的解集为｛x｜x＞－2｝

剖析：不等式两边同乘以一个代数式（值不为零）时应考虑代数式值的符号，不然容易导致非同解变形。引起本题解答错误的主要原因是学生没有考虑代数式x－3值的符号，错误地认为x－3是一个正数，使得出的不等式与原不等式不是同解不等式。

教学对策：在解分式不等式的教学中，教师要强调不等式两边同时乘以一个相同的代数式时，应首先判定代数式值的符号，符号为正时得出的不等式的方向不变，符号为负时得出的不等式方向改变，符号无法确定时不要随便在不等式两边乘代数式。应把不等式的一边化为零后，采用符号讨论的办法或化为同解的整式不等式求解，从而使学生养成解分式不等式的良好习惯。

三、忽视隐含条件引起错解

由于忽视题中的隐含条件而引起错解，在职高学生的解题中经常发生，例4．已知函数y＝mx2＋(m－1)x＋m的图像与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围.错解：根据题意得 Δ＝（m－1）２－4m２＞0

整理得，（m＋1）（3m－1）＜0

解得

1－1＜m＜3

剖析：因为函数的图像与x轴有两个不同的交点，所以此函数必定是二次函数。引起本题解答错误的主要原因是学生在审题中忽视了题目中的隐含条件m≠0。同时只有当m≠0时，才有判别式的存在。所以本题解答的错误是双重的。

教学对策：在二次函数的教学中，首先要向学生强调二次函数的定义有两部分构成，①表达式为y＝ax２＋bx＋c，②二次项系数a≠0。其次要告诉学生在解形如y＝ax２＋bx＋c的函数问题时，一定要分a＝0和a≠0两种情况来考虑，当a＝0且b≠0时此函数为一次函数，当a≠0时此函数为二次函数。另外，在解题时要求学生要细阅读题中文字，搞清题中是否有隐含条件，如函数是否可以是一次函数？是二次函数时开口方向是否确定？等等。以逐步提高学生解题的正确率。

2008-7-1

第二篇：谈分类讨论方法在数学解题中的应用

谈分类讨论方法在数学解题中的应用

【摘要】分类讨论是贯穿整个中学数学的一种重要的解题方法，是对问题进行局部攻坚，再突破全局的解题策略。

【关键词】分类讨论；方法；解题；应用

【中图分类号】g623.5【文献标识码】a【文章编号】2095-3089（2012）12-0248-02

分类讨论是一种重要的数学思想方法，几乎涉及中学数学内容的各个部分，不仅在探索解题思路方面有着重要作用，而且在提高学生的素质，培养学生良好的数学思维品质方面也有重要的作用。分类讨论是在“合中分，分中合”的辩证思想指导下，运用各种数学手段，吧整体化为局部，把复杂问题化为简单问题，以便“分而治之”、“各个击破” 也就是是对问题进行局部攻坚，再突破全局的解题方法或策略。

第三篇：在高中物理解题中培养学生的非逻辑思维能力

在高中物理解题中培养学生的非逻辑思维能力

摘要：非逻辑思维的重要性已经为越来越多的人所认可，然而对非逻辑思维的研究目前还处于很不成熟的阶段，如何有效的提高非逻辑思维能力一直是个没有很好解决的问题。本文试图通过高中物理解题培养学生的非逻辑思维能力，并结合实例，提出了一些具体建议。

关键词：非逻辑思维；物理解题；想象；直觉；灵感

非逻辑思维是相对于逻辑思维而言的，是指用通常的逻辑程序无法说明和解释的那部分思维活动，主要有想象、联想、直觉、灵感和逆向思维等表[1]现形式。非逻辑思维是创新思维的重要组成部分，它在创新过程中往往起着关键作用。科学史上许多真正的重大发现都离不开非逻辑思维。甚至有人认为，“科学发现是一个非逻辑思维过程[2]”。非逻辑思维的重要作用已经为大多数人所认可。

然而，长期以来我们都高度重视对学生逻辑思维能力的培养，却忽视了非逻辑思维。培养学生非逻辑思维能力的途径是多种多样的。对于高中生来说，解题几乎是学习物理每天都要做的事情。在解题中运用非逻辑思维，不仅很多时候可以简单快捷的解决问题，而且可以突破常规，培养学生的非逻辑思维能力，开发学生的创造潜力，提高学生素质，使解题真正成为素质教育的一部分。通过解题培养学生的非逻辑思维能力无疑是一条值得一试的途径。下面从想象、联想、直觉、灵感和逆向思维五个方面，分别通过举例说明如何在高中物理解题中运用非逻辑思维，以培养学生的非逻辑思维能力。

一.发挥想象，变通思路

爱因斯坦说过:“想象力比知识更重要，因为知识是有限的,而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”想象，作为一种直观的、形象的思维，是科学家从事科学研究的重要手段[3]。在物理解题过程中，想象更是一种不可或缺的思维方式。

物理过程图景想象就是经常要用到的一种想象。学生对题目所涉及的物理过程，在头脑中必须有一幅清晰的图景，才有可能着手解题。

例1从离地面高为h处有自由下落的甲物体，同时在它的正下方的地面上有乙物体以初速度v0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动的物体的初速度v0应满足的条件是？（不计空气阻力，两物体均看作质点）若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v0又应满足条件是？

该题以自由下落与竖直上抛的两物体在空中相碰创设物理情景，涉及的可能物理过程图景有：1.乙物体在上升过程中和甲物体对碰；2.乙物体上升到最高点后又下落，在下落过程中被甲物体追上，和甲物体发生碰撞；3.乙物体上升到

最高点又下落，整个过程都没有和甲物体相碰。

学生如果不能想象出这些物理过程图景，就无法切入问题进行解答。明白这些物理过程图景后，运用运动学的知识，就可以对题目进行解答了。具体的解答过程在此不作赘述。

辅助性想象是物理解题过程中可能用到的另一种想象。这种想象比物理过程图景想象更具有思维跳跃性，也更具有创造性。有些问题用常规的方法解答非常繁杂，适当辅助以想象之后就变得简单明，可“想”而知。还有些问题按照常规的逻辑思维可能永远都找不到解答的方法，就不妨大胆想象，说不定会柳暗花明。

例2 如图1所示，在球心为O、半径为a、带电量为Q的均匀带电球体内偏心挖去一个半径为b的小球（球心为0’），OO’=c，挖去小球后剩下部分仍然带电均匀。在OO’连线上距O为r（r>>a）处有一点电荷，带电量为q，试求该点电荷受到的电场力。

按照常规的思维，是把带电体等效为点电荷，然后利用库仑定律求解。但是偏心挖去小球后的带电体形状不规则，要找它的几何中心显然是一件很繁杂的事情。如果我们把空腔想象成一个同时带有等量异种电荷的球形带电体，接下来按照逻辑方法，把大球和小球都等效成点电荷，利用库仑定律求他们对点电荷q的合力，问题便迎刃而解了。具体过程如下：

b3由题设，易知所挖去的小球带电量为q+=3Q。设空腔中同时带有

ab3b3q+=3Q和q-=-3Q的电荷量，则

aa大球带电体对点电荷q的电场力为：F1=k小球球带电体对点电荷q的电场力为：

Qq 2rqq-b3Qq F2=k=-k322(r+c)a(r+c)1b3故所求点电荷受到的电场力为：F=F1+F2=kQq[2-3].ra(r+c)2例3 如图2（a）所示，有一块均匀的半圆形薄电阻合金片P，先接在电极A、B之间，测得其电阻为R，然后按图2（b）接在电极C、D之间，这时P的电阻为多少？

按照常规的逻辑思路，很多学生可能对这道题无法入手。如果想

象两电极之间本来存着一整块圆形的电阻片，半圆形电阻片是由圆形电阻片切割而来的，然后运用串、并联的有关知识进行组合分割，问题就巧妙的解决了。如图3所示，可一目了然，P的电阻为4R。

二.展开联想，类比迁移

联想是科学研究的又一种重要的思维方式。当人们碰到完全陌生的问题时，往往很难找到解决的方法。他山之石，可以攻玉，此时若能仔细观察，并结合自己的经验展开合理的联想，灵活迁移，常常能够事半功倍。在物理解题过程中有效的展开联想，不仅可以驾轻就熟的解决问题，还可以锻炼思维能力，形成良好的思维习惯。

例4 如图4所示，有一平直公路MN，在到公路的垂直距离AC=30km处有一仓库A，公路上有一卸货点B，与C相距L=100km.一辆货车从A点出发，在公路外的平地上行驶速度v1=40km/h，在公路上行驶速度为v2=50km/h.则货车从A到B运动的最短时间为多少？

这是一道运动学的题目，然而，直接运用运动学的知识很难解出这道题。如果联想到光的全反射规律，就豁然开朗了：车在平地和公路上的运动可设想为光线从光密介质（n1）进入光疏介质（n2）的传播，且正好处于全反射的临界状态（如图5），由费马原理，光线总是沿着最短光程（即耗时最短的路径）传播，就可以巧妙而简洁地求出货车运动的最短时间了。具体过程如下：

根据光的折射定律，而 AO=434vsina4得 sina=，cosa=，tana=.=1=，553sin90°v25AC=50km，CO=ACtana=40km，OB=BC-CO=60km.cosa所以 tmin=AOOB+=2.45h.v1v2例5 如图6所示，在光滑水平面上停放有表面光滑的弧形小车，另一质量与小车质量相同的铁块，以速度v从小车右端水平向左沿圆弧轨道向上滑动，到达某一高度后，又沿轨道下滑。则铁块刚离开轨道时作怎样的运动？（）

A．向右作平抛运动

B．向左作平抛运动

C．自由落体运动

D．无法确定

对于这样的题目，很多学生可能觉得所学的知识用不上，无法作出判断。然而，仔细观察题目的条件之后，会发现题目所涉及的物理过程具有以下两个特点：1.系统的机械能不变；2.铁块和小车的质量相等。这和我们所熟悉的“两等质量小球完全弹性碰撞”模型类似。一联想到“两等质量小球完全弹性碰撞”模型，马上就会得出“交换速度”的结论。由于“碰撞”前小车静止，所以“交换速度”后铁块的水平速度为0，即作自由落体运动，选C项。

三.直觉洞察，直击结论

直觉思维是个体在面对问题时，以个体的整体知识结构为根据，不经过逻辑

[4]思维，而直接地、迅速地获得结论的思维过程。直觉思维通常以跳跃的、概要的方式跳过逻辑程序，径直指向最后的结论，从整体上对事物的性质、联系作出结论性的判断[5]。科学史上很多重大发现和突破，都发端于直觉思维。爱因斯坦曾说：“物理学家的最高使命是要得到那些普通的基本定律，而通向这些定律并没有逻辑的思路，只有通过那种以对经验共鸣的理解为依据的直觉，才能得到这些定律。”

当问题的前景错综复杂、扑朔迷离的时候，敏锐的直觉往往能够帮助研究者迅速锁定目标，指明研究方向。在物理解题过程中，鼓励学生大胆进行直觉预测，不仅可以高效的解决问题，达到“一望而知”的效果，还可以坚定学生的直觉信念，培养良好的思维品质。

例6 有两个金属小球，固定在两个位置上，现给两个小球提供的总电量为Q.问两个小球的电量如何分配时两球间的库仑力最大？

对于这道题，很多学生可能先会想到当只有一个小球带电时，两球带电量差异最大，库仑力为零。至此，有些学生会直觉到两球电量相等，即两球带电量差异最小时库仑力最大，进而进行逻辑验证。

“两球带电量差异最大，库仑力为零”和“两球带电量差异最小时库仑力最小”之间并无必然的逻辑关系。但这种直觉是非常可贵的，它直接从无数可能的结果中锁定了目标，为严格的逻辑运算提供了积极的先导作用，使一个求解题变成了求证题。

然而，需要指出的是，并非所有的直觉都是正确的，直觉质量的高低依赖于学生原有的经验储备和知识储备[6]，以及学生已具备的思维品质。只有正确的直觉才能促进问题的解决。于是，对直觉必须进行逻辑验证或实践检验。

四．灵感启发，出奇制胜

灵感是指人们在问题面前调动全部智慧进行探索，使精神处于极度紧张状态，再由某种偶然因素的激发，而对问题的解决突然产生富有创造性的思路[7]。灵感思维具有很强的突发性和高度的思维跳跃性，其创造性是其他思维所无法比拟的。它往往能使问题的解决发生突破性的进展，对问题的解决起关键性作用。

人们在实践中获得大量感性认识，经过理性认识的加工处理形成信息储存起来，以此来“诱导”灵感的发生。当信息储存到一定程度，某一刺激就会引起灵感的爆发，从而加深对问题的认识和解决。[8]在物理教学中，我们除了要使学生积累丰富的“信息”，还要向学生提供必要的“刺激”，以引起学生“灵感的爆

发”。设计一些需要高度的思维跳跃性才能解决的习题，就能产生这样的“刺激”，从而点燃学生思维的火花，开发学生的创造性。

例7 如图7所示，长为L、质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人立在船头，若不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，船和人对地的位移各是多少？

在该题中，由人和船组成的系统在水平方向上始终不受外力作用，水平方向上动量时刻守恒，可用动量守恒定律解答。但是不知道人和船的速度，无法直接运用动量守恒定律。一些理论基础扎实、思维活跃的学生可能会“灵机一动”：用位移代替速度。这是完全可以的，因为在任意时刻都有mv人-Mv船=0，所以mv人-Mv船=0（v人和v船表示平均速度），又因为时间相等，给上式每项乘上时间t后，就可以用位移代替速度了。即

ms人-Ms船=0，又

s人+s，L船=马上可以得到s船=mLML,s人=.m+Mm+M五．逆向思维，另辟蹊径

逆向思维就是在分析、处理问题时，从习惯思维（正向思维）相反的方向去探索、研究，从而解决问题的一种思维方法。[9]运用逆向思维往往能使我们另辟蹊径，迅速有效的找到解决问题的钥匙。在物理解题中灵活运用逆向思维，不仅可以巧妙高效的解决问题，而且能够促进学生深刻理解物理知识，摆脱思维定势，锻炼学生的创造性思维能力。

例8 一个竖直上抛运动的物体，到达最高点的最后1秒内上升的高度是它上升最大高度的1/ 5，试求它上升的最大高度。（g取10m/s2.）

按正向思维解题，该题运算过程较为繁琐。如果考虑到竖直上抛运动的上升阶段与自由落体运动是可逆的，设想时间反演，则可运用逆向思维进行思考：竖直上抛运动到达最高点的最后 1 秒内上升的高度，恰好等于自由落体最初 1 秒内下落的高度。于是，所求的最大高度

11h=5?gt25创10?1225m

22这就大大简化了解题过程，让学生体会到了物理中的简单美，激发学生的思考兴趣和创新欲望。需要注意的是，并非所有问题都具有可逆性。

在物理解题中培养学生的非逻辑思维能力，要注意几个问题：

1.由非逻辑思维得到的结论不一定都是正确的。不同人对同一问题的非逻辑思维结论也往往大相径庭。这是由非逻辑思维所固有的跳跃性和不严格性决定 的。因此，对由非逻辑思维得出的结论，需要进行逻辑验证或实践检验。

2.非逻辑思维要以逻辑思维为基础。想象和联想不是胡思乱想，直觉和灵感并非空穴来风，逆向思维也不是简单的“反过来想”就行了。失去逻辑思维这个基础，非逻辑思维只能是无源之水、无本之木。高质量的非逻辑思维是以丰富的经验储备和知识储备为后盾的，必然有高质量的逻辑思维支撑。具备高质量逻辑思维的人不一定具备高质量非逻辑思维，但是具备高质量非逻辑思维的人必然具备高质量逻辑思维。所以，在培养学生的非逻辑思维能力的时候，要着眼于学生的逻辑思维能力。

3.非逻辑思维必须结合逻辑思维，才能最终解决问题。单凭非逻辑思维是解决不了问题的，非逻辑思维只是为问题的解决提供一种思路，或者取得一种突破，要最终解决问题，还得依赖逻辑思维。

总之，在物理解题中注入非逻辑因素，可以使学生在加深理解物理知识的同时，提高非逻辑思维能力，培养良好的思维品质，增强创造力。

参考文献：

[1] 陶国富.马克思主义创新思维之非逻辑思维[J].马克思主义研究，2010，（6）：86—91.[2] 刘玉涛，张培富.科学发现与非逻辑思维[J].科学情报开发与经济，2004，14（5）：173—174.[3] 张敏.论科学想象[J].学习与探索，1987，（1）：37—43.[4] 张志艺.中学物理教育中直觉思维能力的培养[D].福州：福建师范大学，2005，6.[5] 陈锡恩.浅议高中生直觉思维能力的培养[J].辽宁教育学院学报，1999，16（5）：80—82.[6] 郑青岳.直觉思维与物理解题[J].课程·教材·教法，1996，（6）：34—39.[7] 王功仁，黎红.浅议物理解题中灵感的产生[J].物理教师，1998，19（6）：22—24.[8] 杨贵哲，傅玉生，吕国忱.灵感的新视角[J].东北师大学报（哲学社会科学版），1991，（6）：22—27.[9] 毛国永.趣谈逆向思维[J].物理教学探讨，2009，（6）：8—9.Training Students’ Non-logical Thinking by High

School Physical Exercise

Wu Lin-tao Abstract: The importance of non-logical thinking has been realized by more and more people.However, the study of non-logical thinking is still very immature at present.It is always a non-well-solved problem that how to improve non-logical thinking ability effectively.This paper tries to train students’ non-logical thinking by high school physical exercise.And some proposals are offered with instances.Key words: non-logical thinking;physical exercise;imagination;intuition;inspiration

第四篇：高考数学解题中的通性通法

高考数学解题中的通性通法

对于中学阶段用于解答数学问题的方法，可将其分为三类：

（1）具有创立学科功能的方法.如公理化方法、模型化方法、结构化方法，以及集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等.在具体的解题中，具有统帅全局的作用.（2）体现一般思维规律的方法.如观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等.在具体的解题中，有通性通法、适应面广的特征，常用于思路的发现与探求.（3）具体进行论证演算的方法.这又可以依其适应面分为两个层次：第一层次是适应面较宽的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法（即递推法）、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法等等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解里的“裂项法”、函数作图的“描点法”、以及三角函数作图的“五点法”、几何证明里的“截长补短法”、“补形法”、数列求和里的“裂项相消法”等.我们知道，数学是关于数与形的科学，数与形的有机结合是数学解题的基本思想.数学是关于模式的科学，这反映了在数学解题时，需要进行“模式识别”，需要构建标准的模型.往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的，这说明待定系数法属于解题的通性通法.数学是一种符号，引入符号可以将自然语言转换为符号语言，通过中间量的代换，就能将复杂问题简单化.数学解题就是一系列连续的化归与转化，将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，其消元、减少参变元的个数是常用的方法.在代数式的变形中，则往往要分离出非负的量，配方技术是经常使用且很奏效的方法.数形转换、待定系数、变量代换、消元、配方法等是中学数学解题的通性通法.把几何的直观推理、代数的有序推理、解题的通性通法与具体的案例结合起来，整体把握数学解题的通性通法，抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析、解题思维链的形成、解题后的反思与优化，从而通过有限问题的训练来获得解答无限问题的解题智慧.

第五篇：高一数学名词全解

高一数学名词全解

1.集合：把一些元素组成的总体

2.元素：研究对象

3.N：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）

4.N*或N+：所有正整数组成的集合称为正整数集

5.Z:全体整数组成的集合称为整数集

6.