高三数学均值不等式

第一篇：高三数学均值不等式

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3.2 均值不等式 教案

教学目标：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学重点：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

利用均值定理求极值

教学过程

一、复习：

1、复习不等式的性质定理及其推论

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23aⅱ）a2b22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,bⅲ）3以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使C作垂直于直径

2AB的弦DD′,那么CDCACB，即CDab

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这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆，显然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b应用例题：

例

1、已知a、b、c∈R，求证：

不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

例

2、若

a,例3证明：∵222∴abcabbcca 例

4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得abcdacbd

0,0.2

2由不等式的性质定理4的推论1，得

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(abcd)(acbd)abcd.4即(abcd)(acbd)4abcd

归纳小结

定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取“”号).22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。巩固练习

P71 练习A，P72 练习B。

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第二篇：2013高考数学均值不等式专题

均值不等式归纳总结

ab(ab

2)2ab

222(当且仅当ab时等号成立）

(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值

例：求下列函数的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域为6，+∞）2x 2

1(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11当x＜0时，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧

技巧一：凑项

例:已知x，求函数y4x24514x5的最大值。

4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，x

54,54x0不是常数，所以，y4x2

1154x4x554x12313 1。当且仅当54x54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x

32，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x技巧三： 分离常数 例3.求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1

时取“＝”号）。

技巧四：换元法

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y

(t1)7(t1）+10

t

=

t5t

4t

t4t5

59（当t=2

当,即t=时,y即x＝1时取“＝”号）。

Ag(x)

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

B(A0,B0)，g(x)恒正

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)的单调性。

例：求函数y因t0,t

x

ax

x52的值域。

t(t

2)，则y

1t

t

1t

(t2)

1，但t1t

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

y

52。

5所以，所求函数的值域为,。

2



技巧六：整体代换 例：已知x0,y0，且解：x0,y0,19

x

1x



9y

1，求xy的最小值。

16。

19y9x

10610161，xyxy

xyxyy

当且仅当

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12

时，xymin

变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,yR且ab

x

y

1，求xy的最小值

技巧七：消元法

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y 的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不

等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u则u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18点评：①本题考查不等式

ab2



ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；



②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到

ab与ab

之间的关系，由此想到不等式

ab

2

ab（a,bR），这样将已知条件转



换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧八：平方法

已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，很简单

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本题

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5变式:

求函数y

y2

x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

44(2x1)(52x)8

y2

又y

0，所以032

当且仅当2x1=52x，即x

时取等号。

故ymax



评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2

bc

abbcca

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、cR，且abc1。求证：

11

1118 abc

1分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“

2”连乘，又111abca

a

a

a，可由此变形入手。

bca

a

11a

abc1。

解：b、cR，a、1

a

a。

同理11

b

b

1c

c

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当1118

3abcabc

时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

9xky

1

解：令xyk,x0,y0,1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



1

10k

2

3k

。k

16，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,P

lgalgb,Q

(lgalgb),Rlg（ab2)，则P,Q,R的大小关系

是.分析：∵a

Q

b1 ∴lga0,lgb0

（lgalgb)

ab2)lg

lgalgbp

lgabQ

Rlg(ab

∴R>Q>P。

练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）y

x3x1

x,(x0)（2）y2x

1x3,x3

(3)y2sinx2．已知0

1sinx,x(0,)（4）ysinx

2sinx,x(0,)

x

x

1，求函数y的最大值.；3．0，求函数y的最大值.3.若实数满足ab2，则3a4.若log4xlog4

y2，求

3

b

1x



1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y为正实数，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.y 2

第三篇：均值不等式及其应用

教师寄语：一切的方法都要落实到动手实践中

高三一轮复习数学学案

均值不等式及其应用

一．考纲要求及重难点

要求：1.了解均值不等式的证明过程.2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.二．考点梳理

ab1.均值定理：；

2（1）均值不等式成立的条件是_________.（2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号.（3）其中_________称为正数a,b的算术平均值，_________称为正数a，b的几何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，4＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：和定积最大。

2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：积定和最小。

3、几个重要的不等式

（1）ab2ab(a,b∈R)（2）22ba 2(a,b同号）ab

a2b2ab2ab2()（a,bR）（3）ab()（a,bR）（4）22

2三、学情自测

1、已知a0，b0，且ab2，则（）

112222A、abB、abC、ab2D、ab3 222、给出下列不等式：①a12a212；③x221，其中正确的个数是 x1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为___________。

125.已知正数a,b，满足ab1，则的最小值为 ab3、设x0，则y33x

均值不等式及其应用第 1页（共4页）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy22x3xy4yz0,则当z取得最大值时,xyz的最大例

1、（2013山东）设正实数x,y,z满足

值为（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x27x10变式训练1.若x1，求函数f(x)的最大值。x

12.（2013天津数学）设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时,考向

二、利用均值不等式证明简单不等式

例

2、已知x0,y0,z0，求证：（变式训练

2、已知a,b,c都是实数，求证：abc

2221|a|取得最小值.2|a|byzxzxy)()()8 xxyyzz1(abc)2abbcac

3考向

三、均值不等式的实际应用

例

3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比

上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?

(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)

变式训练：

如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

（1）现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？

五、当堂检测

1、若a,bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）

2A、ab2abB、ab、11ba、2 abab2、若函数f(x)x1(x2)在xa处取得最小值，则a（）x

2A、1B、1C、3D、4ab3、已知log2log21，则39的最小值为___________。ab

4.若点A1,1在直线mxny20上,其中mn0,则11的最小值为__________.mn

六、课堂小结

七、课后巩固

511、已知x，则函数y4x2的最大值是（）44x

51A、2B、3C、1D、2(ab)22、已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b0，直线(b1)xay20与直线xby10互相垂直，则ab的最小值为（）

A、1B、2C、D、4、已知x0,y0,xyxy8，则xy最小值是___________。

5、若对任意x0,22xa恒成立，则a的取值范围是___________。2x3x1

6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为g(n)k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;

(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?

第四篇：均值不等式说课稿

《均值不等式》说课稿

山东陵县一中 燕继龙李国星

尊敬的各位评委、老师们：

大家好！我今天说课的题目是 《均值不等式》，下面我从教材分析，教学目标，教学重点、难点，教学方法，学生学法，教学过程，板书设计，效果分析八个方面说说我对这堂课的设计。

一、教材分析：

均值不等式又称基本不等式，选自普通高中课程标准实验教科书(人教B版)必修5第三章第3节内容。是不等式这一章的核心，在高中数学中有着比较重要的地位。对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等实际问题都起到工具性作用。通过本节的学习有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值值域进一步研究，起到承前启后的作用。

二、教学目标：

1、知识与技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的条件；

（2）能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。

2、过程与方法：

（1）探索并了解均值不等式的证明过程、体会均值不等式的证明方法；

（2）培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：

（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、钻研、合作精神；

（2）通过对均值不等式成立条件的分析，养成严谨的科学态度；

(3)认识到数学是从实际中来，通过数学思维认知世界。

三、教学重点和难点：

重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；再者，均值不等式有比较广泛的应用，需重点掌握，而用好均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式及其成立的条件也是教学重点。

难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出现错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点。

四、教学方法：

为了达到目标、突出重点、突破难点、解决疑点，我本着以教师为主导的原则，再结合本节的实际特点，确定本节课的教学方法。

突出重点的方法：我将通过引导启发、学生展示来突出均值不等式的推导；通过多媒体展示、来突出均值不等式及其成立的条件。

突破难点的方法：我将采用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和

来突破均值不等式成立的条件这个难点。

此外还将继续采用个人和小组积分法，调动学生积极参与的热情。

五、学生学法：

在学生的学习中，注重知识与能力，过程与方法，情感态度和价值观三个方面的共同发展。充分体现学生是主体，具体如下：

1、课前预习----学会；、明确重点、解决疑点；

2、分组讨论

3、积极参与----敢于展示、大胆质疑、争相回答；

4、自主探究----学生实践，巩固提高；

六、教学过程：

采取“三步骤四环节和谐高效课堂”教学模式，运用学案导学开展本节课的教学，首先进行

:课前预习

（一）成果反馈

1.对课前小组合作完成的现实生活中的问题：

“今有一台天平，两臂不等长，要用它称物体质量，将物体放在左、右托盘各称一次，称得的质量分别为a,b，问：能否用a,b的平均值表示物体的真实质量？若不能，这二者是什么关系？”

进行多媒体情景演示，抽小组派代表回答，从而引出均值不等式抽出两名同学上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

ab

2。

预备定理：a2b22ab(a,bR)，仿照预备定理的证明证明均值定理 3.已知ab>0，求证：

ab

ab2，并推导出式中等号成立的条件。

与此同时，其他同学分组合作探究和均值定理有关的以下问题，教师巡视并参与讨论，适时点拨。

① 适用范围a,b________，x0,x

1x2

对吗？

② 等号成立的条件，当且仅当__________时，________=_________ ③ 语言表述：两个___数的____平均数_____它们的_______平均数 ④ 把不等式_________________又称为均值或________不等式 ⑤ 数列观点：两个正数的______中项不小于它们的_____中项

。⑥ 几何解释（见右图）：________________

⑦常见变形ab_______

________,即ab

___________。例：

4、（1）一个矩形的面积为100 m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

由此题可以得出两条重要规律：

两个正数的积为常数时，它们的和有______值； 两个正数的和为常数时，它们的积有______值。

等待两名同学做完后，适时终止讨论，学生各就各位。首先针对黑板上这两道题发动学生上来捉错（用不同色粉笔），然后再由老师完善，以此加深学生对定理及应用条件的认识。其次，老师根据刚才巡视掌握的情况，结合多媒体进行有针对性的讲解（重点应强调均值定理的几何解释：半径不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的几何证明过程，使定理“形化”），进一步加深学生对定理的认识及应用能力，初步掌握用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”

第二步：课内探究

（二）精讲点拨 1.例：求函数f(x)

2xx

3x

(x0)的最大值，及此时x的值。

先和学生们一起探讨该问题的解题思路，先拆分再提出“-”号，为使用均值定理创造条件，后由学生们独立完成，教师通过巡视或提问发现问题，通过多媒体演示来解决问题，该例题主要让学生注意定理的应用条件及一些变形技巧。

2．多媒体展示辨析对错：

这几道辨析题先让学生们捉错，再由

多媒体给出答案，创设情境加深学生对用均值定理求函数最值时注意“一正、二定、三相等”的认识

（三）有效训练

1.(独立完成)下列函数的最小值为2的是()

A、yx

1x

B、ysinx

1sinx

(0x

)

C、y

1D、ytanx

本题意在巩固用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”，待学生完成后，随机抽取几名学生说一下答案，选D，应该不会有问题。

2.（小组合作探究）一扇形中心角为α，所在圆半径为R。若扇形周长为一常值C(C>0)，当α为何值时，扇形面积最大，并求此最大值。

本题若直接运用均值不等式不会出现定值，需要拼凑。待学生讨论过后，先通答案，2时扇形面积最大值为

c

tanx

(0x

)

。若有必要，抽派小组代表到讲台上讲解，及时反馈矫正。

（四）本节小结

小结本节课主要内容，知识点，由学生总结，教师完善，不外乎： 1.两个重要不等式

ab2ab(a,bR,当且仅当ab时取“”)

2ab2

a,bR,当且仅当ab时取“”)



2.用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、双基达标（必做，独立完成）：

1、课本第71页练习A、B；

2、已知x1,求yx6

x

1的最值；

（二）、拓展提高(供选做, 可小组合作完成)：



23、若a,bR且a

b

1,求a最大值及此时a,b的值.4、a0,b0,且

5、求函数f(x)

1a



9b

1,求ab最小值.x3x1x

1(x1)的最小值。

通过作业使学生进一步巩固本节课所学内容，注重分层次设计题目，更加关注学生的差异。

七、板书设计：

由于本节采用多媒体教学，板书比较简单，且大部分是学生的展示。

八、效果分析：

本节课采取了我校推行的“三步骤四环节和谐高效课堂”教学模式，通过学案导学，多媒体展示，师生互动，生生互动。学生基本能掌握均值不等式以及其成立的条件；能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。但用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”，说起来容易做起来难，学生还得通过反思和课后训练进一步体会。

我的说课到此结束，恳请各位评委和老师们批评指正，谢谢！

第五篇：常用均值不等式及证明证明

常用均值不等式及证明证明

这四种平均数满足HnGn

AnQn

、ana1、a2、R，当且仅当a1a2

an时取“=”号

仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用

均值不等式的变形：

(1)对实数a,b，有a

2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b02ab

(4)对实数a,b，有

aa-bba-b

a2b2

2ab0

(5)对非负实数a,b，有

(8)对实数a,b,c，有

a2

b2c2abbcac

abcabc(10)对实数a,b,c，有

均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则ABAnnAn-1B

n

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0(用数学归纳法)。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

那么当n=k+1时，不妨设ak1是则设

a1,a2,,ak1中最大者，kak1a1a2ak1 sa1a2ak

用归纳假设

下面介绍个好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数fx,x1,x2,,xn是函数fx在区间(a,b)内的任意n个点，设fxlnx，f

x为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）