实际问题中的二次函数的最值问题教学案

第一篇：实际问题中的二次函数的最值问题教学案

温馨提示：此材料是教师讲课的教案，学生学习的学案，上课时的笔记，课后的复习资料，请同学们装订保管。发给同学们后请通过研读课本资料，并在同学和老师帮助下完成，并达到能讲的水平。

实际问题中的二次函数的最值问题教学案

一、学习目标：能根据实际问题列出函数关系式;使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围;通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。（学生课后体会）

二、重难点：会通过配方求出二次函数yax2bxc(a0)的最大或最小值;在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．（学生课后检测是否到达要求）

三、课前预习：阅读教材第17---19页（学生自行安排时间）

四、教具准备：多媒体课件

五、学习过程：

（一）创设情景 导入新课

1．对于任意一个二次函数 yax2bxc，如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标？

2．当a＞0时，抛物线有最___点，函数有最__值是_____；当a＜0时，抛物线有最___点，函数有最_____值是_____.3.求下列函数的最大值或最小值

（1）y=-1/2x2-x+3(2)y=3(x+1)(x-2)

(二）讨论问题

问题1：要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

问题2：某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

（三）例题讲解

例、用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 先思考解决以下问题：

(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m?(2)根据实际情况，x有没有限制?若有限制，请指出它的取值范围，并说明理由。(3)请你写出后面的解答过程。

（四）、课堂练习

如图所示，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大? 提示：设花圃的一边BC为x（米），面积为S()

归纳解决实际问题的解题步骤 有哪些？需要注意哪些问题？

（五）、连接中考

某花圃利用花盆培育某种花苗，每盆的收益与每盆的株数成一种函数关系，每盆植入3株，平均每株售价3元，以同样培育条件，每增加一株，生长受到一定的影响，平均每株售价就减少0.5元，写出该函数的解析式，并求出植入多少株时收益最大？

（六）、大家都来说：

我学了———————— 我学会了——————— 我还有待加强—————

（七）、布置作业

课本第19页习题第1、2、3题 同学们请预习求二次函数的关系式

中考语录

我是最优秀的，我一定会超常发挥，金榜题名！

第二篇：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

第三篇：二次函数与实际问题(面积最值问题)教学设计解读

[教学设计 ] 二次数学的实际运用 ——图形面积的最值问题

【知识与技能】 :通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题, 培养其 整体性思想。

【过程与方法】 :能通过设置的三个问题, 概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法, 并学会用数学 问题的结论,分析是否是实际问题的解,掌握类比的数学思想方法。

【情感态度与价值观】 :体会函数建模思想的同时, 体会数学与现实生活的紧密联系, 培养学生认真观察, 不断 反思,主动纠错的能力和乐于思考,认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。

【重点】 :如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题 【难点】 :如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解 【教学过程】 【活动 1】 :导入引言: 二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类

(1利润最大问题;(2几何图形中的最值问题:面积的最值,用料的最佳方案等,本节课,我们学习如何用二次函数解决实际 问题中图形面积的最值问题。

【活动 2】 :师生互动,合作学习我们来看一道简单的例题

例 1:李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园 ABCD ,用篱笆围成的另外三边总长为 24米,则矩形的长宽分别为 多少时,围成的矩形面积最大?

师(让学生思考 :题目中已知量是什么? 未知量是什么?如何理解“矩形面积最大”问题?是什么影响了矩 形面积的变化呢?我们一起来看下面的动画演示(通过动画演示,让学生感受量的变化

师:在演示中你们看到了什么?想到了什么?你能列出函数解析式吗? 学生解决:若设矩形一边长为 X ,当 X 在变长时,另一边变短,当 X 变短时,另一边变长,则面积 S 也随之发 生了变化;设宽 AB 为 X 米,则长为 24-2X(m 所以 面积 S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288 师:分析归纳解函数问题的一般步骤是什么?(板书 : 第一步,正确理解题意 , 分析问题中的常量和重量;第二步,巧设未知数,用未知数表示已知量和未知量,列二次函数解析式表示它们的关系;第三步,计算,将一般式转化为顶点式,求出数学问题的最值。

师:请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解,如何检验呢?(在师生共同研讨的过程中找出计算中 学生容易犯的错误,分析解答是否符合实际问题

小结:求解完答案后,我们要善于检查,分析,反思数学问题的解是否是实际问题的解。

活动 3:变式训练,巩固应用。

师:如果我们在图形中再加一个“竖道” ,请问刚才的问题中,什么量在变化,什么量不变化?是否影响面积的 变化?

师生共同总结得出:AB 不变而 BC 在变, BC 表示时要考虑竖道的个数。师:请大家看下面的中考题,这个问题中涉及的是方程的思想还是函数的思想? 一题多变 1: 要利用一面墙(墙长为 25米 建羊圈, 用 100米的围栏围成总面积为 400平方米的三个大小相同的矩形羊圈, 求羊圈的边长 AB,BC 各为多少米?

学生自主探究问题并解答(引导学生分析讨论如何舍去方程的根,获得实际问题的解

师:问题中面积是否由“ 400”可以改为“ 500” “ 600” “ 700”呢?面积是否可以取一个任意大的数值 呢? 生:不可以, x 受墙长的影响,围栏长度的影响,面积不能超过一个最大值。师:引导利用函数的思想解决下面的问题。活动 4:深入探究,设疑激趣 一题多变 2: 师:请大家仔细阅读下面的例题,分析问题中的已知条件又作了哪些变化?

如图所示, 有长为 30m 的篱笆, 一面利用墙(墙的最大可用长度为 10m , 围成中间隔有一道篱笆(平行于 AB 的矩形花圃,设花圃的一边 AB =xm ,面积为 ym 2.(1求 y 与 x 的函数关系式;(2 y 是否有最大值?若有,求出 y 的最大值。

学生互学,师生共同总结:师:利用函数的思想解决实际问题时,要考虑自变量的取值范围,要在自变量范围 内 求出最大值, 要学会检验数学问题的解是否是实际问题的解。利用函数解决实际问题, 我们在后面的学习中 还要继续探究。

【活动 4】归纳小结 :(1 利用函数思想解决实际问题的一般步骤是什么?(2 本节课你的收获是什么?你的疑问是什么? 活动 6】作业布置。

第四篇：二次函数的最值问题

二次函数的最值问题

雷州市第一中学 徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

1的a的值，并求出当a取此值时，fx的最大值。2

第五篇：二次函数的最值问题

涟水县第四中学（红日校区）周练专用纸

初三：年级 数学：学科 出核人：杨守德 审核人：高阳 时间：12月26日 1．若二次函数y=x－3x＋c图象的顶点在x轴上，则c=（）24411A． B．－ C． D．－

9999222．抛物线y=ax＋bx＋c的对称轴的位置（）

A．与a、b、c有关 B．只与a、b有关 C．只与a有关 D．只与b有关 3．关于二次函数y=x＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝2时，函数有最小值 C．当x＝－2时，函数有最大值 D．当x＝－2时，函数有最小值 4．二次函数的图象如图所示，则下列判断错误的是（）

A．a＞0 B．c＜0 C．函数有最小值 D．y随x的增大而减小

5．若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x－4x－1有相同的顶点，并且在对称左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的关系式为（）A．y=－x＋2x－4 B．y=ax－ax＋a－3 C．y=－2x－4x－5 D．y=ax－2ax＋a－3（a＜0）6．抛物线y=－222222125x＋3x－的顶点坐标是（）22A．（2，3）B．（3，2）C．（－2，3）D．（－3，2）

7．某商品进货单价为90元，按100元一个出售，能售出500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（）A．130元 B．120元 C．110元 D．100元 8．将抛物线y=x＋2x＋1向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的最小值是（）A．－3 B．1 C．2 D．3 9．根据二次函数y=（x－1）（x＋2）的图象可知，当x的取值范围是 时，y≤0 10．二次函数y=2x＋x－n的最小值是2，那么n＝

11．抛物线y=2x－4x＋1的开口向，最低点的坐标为

12．抛物线y=ax＋bx＋c在点（3，1）处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标为－8，则它的解析式为

13．把二次函数y=2x－4x＋5化成y=a（x－h）＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小。22222214．已知二次函数y=x－6x＋m的最小值为1，那么m的值是

15．已知一个二次函数的顶点为（1，2），且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式

16．心理学家发现学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x＋2.6x＋43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强，当x＝ 时，y有最大值是

17．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=3，求此二次函数的表达式。

18．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系式y=－x＋200，为获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？

19．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2.44米，问能否射中球门？

20．如图，在体育测试时，一位初三同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是二次函数的一部分，如果这个同学出手点A的坐标为（0，2），铅球路线最高处B的坐标为（6，5）（1）求这条二次函数的解析式；

（2）该生能把铅球掷多远？（精确到0.01米，15≈3.873）

21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场判定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 22