函数的值域与最值的求法一教案[五篇范例]

第一篇：函数的值域与最值的求法一教案

函数的值域与最值的求法一（2课时）

2011年2月14号 星期一

重难点：函数值域与最值的求法

口诀：分式分，单调单，抛物找轴最关键；绝对脱，根式换，化为二次方程判；

x213x1、观察法: 例题： ①y=2;②y=x

x23

12、配方法：y=a（f（x））2+bf（x）+c(a≠0)例题：①求y=-x2+2x+5,x ∈[2,3]的值域；②y=4-32xx2;③y= 3x2-x+2;④y=x26x5

3、代数换元法:y=ax+b±cxd

例题：①y=2x+12x;②y=x+41x;③y=x+2x1;④y=2x-5+154x;⑤y=2x-4x13 ⑥y=2x-1x⑦y=x-12x

4、中间变量法（定义域为R）

x21例题：y=2

x

25、三角函数的有界性法（几何意义法：斜率公式）

3x21x例题：①y=②y=

54x2x5, ]或设x=cos22θ, θ∈[0,Л] 题中出现1x2可设x=tanθ, θ∈(-,)或设x=cosθ，22θ∈(0,Л)axba7、分离常量法:y=（结果规律：y≠）

cxdc6、三角函数换元法:题中出现1x2可设x=sinθ, θ∈[-axb3x21x10x10x8、反函数法:y=例题：①y=②y= ③y=x

cxd54x2x51010xa1x2b1xc19、判别式法:y=（定义域为R）即分子或分母中含有二次三项式a2x2b2xc2的分式函数 3xx2x32x2x2x22x2例题：①y=2;②y=2;③y=2④y=2⑤x4xx1xx1xx12xx2x2x2xy=2⑥y=2 ⑦y=2 xx1x4x3xx1kx2

310、均值不等式法y=f（x）+（f（x）＞0,k>0）y=

2f(x)x

211、单调性法（对勾函数y=ax+

12、数形结合法（分段函数）

b（a,b>0））x例题：设函数g(x)x22(xR)，(x)x4,xg(x),f(x){gg(x)x,xg(x).则f(x)的值域是()

999（A）,0(1,)（B）[0,)（C）[,)（D）,0(2,)

444

13、导数法

课堂练习题：

1、求下列函数的值域：

x2x（1）y=2 解法一：配方法;解法二：判别式法

xx1（2）y=x-12x 解法一：换元法;解法二：单调性法（3）y=-xx2x22换元法

10x10x（4）y=x x1010 反函数法

（5）f（x）=（x-1）3x2在[-1，1]上的最值。

2五、课下练习作业：练习册P121

第二篇：函数的值域与最值教案

专题课

函数的值域与最值

教材分析：1.值域是函数的三要素之一，函数的值域与最值，特别是最值是高考重点，而且考察的题型涉及选择、填空、解答题.2.值域与最值知识在教材中比较分散，且方法较多，因此教学中要善于总结.教学设计：通过对例题的变式训练，让学生在问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等全过程、全方位、深层次中进行主体性、实质性的参与.教学目标：1.知识目标：让学生掌握求值域的基本方法及基本函数的的值域.2.能力目标：培养学生观察、分析、总结、化归的能力，熟练各种方法.3.情感目标：在探究的过程中形成良好的数学素质和正确的学习态度.教学重点：求值域的方法.教学难点：判别式法、单调性法.教学方法：导练法 教学过程： 一.知识提炼：

1.函数的值域

值域是__________组成的集合，它是由_________和______________确定的.2.基本函数的值域

（1）.一次函数ykxbk0的值域是______.（2）.二次函数yax2bxc(a0),当a0时，值域是_______________，当a0时，值域是_______________.（3）.反比例函数ykxk0的值域是__________________.（4）.指数函数yaxa0且a1的值域是_____________.（5）.对数函数ylogaxa0且a1的值域是_____________.3.求值域的基本方法（1）.形如yaxbmxnmn0的函数，用________________________________求值域.（2）.形如yax2bxc(a0)的函数，用___________求值域，要特别注意定义域.二次函数在给出区间上的最值有两类：

一是求闭区间a,b上函数的最值问题；

二是求区间确定（运动），对称轴运动（确定）时函数的最值问题。在求二次函数的最值问题时，一定要注意数形结合，注意“两看”： 一看开口方向；

二看对称轴与所给区间的相对位置关系。

（3）.形如yax2bxcmx2nxem,a至少一个不为0的函数，可用____________求值域.（4）.形如yfxgx的函数用_______________求值域.（5）.其它方法：不等式法，导数法，单调性法，函数的有界性，图象法等.二.典例示范：

例1.求下列各函数的值域.（1）yx24x3xR

变式1：当x－1,3时，求函数值域.变式2：当xt，t1tR时，求函数的最小值.点评：（2）yx4xx0

变式：当x1，5时，求函数的值域.点评：

（3）yx2x1x1

变式1：将函数式改为yx2－x－2x1，值域如何求？

变式2：将函数式改为yx2x1x21，值域如何求？

点评：

（4）yx1x

变式1：将函数式改为yx－1x，值域如何求？

变式2：将函数式改为yx1x2，值域如何求？

点评：

例2.已知f(x)2log3x(1x9)，求函数g(x)f2(x)f(x2)的最大值与最小值.点评：

探究题.已知函数f(x)x22xax,x[1,)（1）当a

时，求函数f(x)的最小值 ；（2）若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.三.基础练习：

1.函数yx25的值域为x2______________.42.y32xx2 的值域是______________.3.yx2x1的最小值是______________.4.y2x1x3的值域是______________.5.函数fx2x213x3在区间[－1，5]上的最大值是______

6.函数y22x2x1的值域为（）

A．（,2][1,)B．(,2)(1,)

C．yy1,yR D．yy2,yR

7.已知函数f(x)的值域是[3,489]，试求yf(x)12f(x)的值域.8.已知函数fxlogmx28xn3x21的定义域为R，值域为0,2，求实数m,n的值.四.归纳总结：

1.求值域时不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用.2.求值域问题的结果要写成集合或区间形式.3.熟练掌握求值域的几种方法，积累经验，掌握规律，根据问题的不同特点，综合而灵活地运用条件选择方法求之.五.布置作业

第三篇：二次分式函数值域的求法

二次

甘肃王新宏

一定义域为R的二次分式函数用“判别式”法

解题步骤：1把函数转化为关于x的二次方程方程有实根，△≥0求的函数值域

2x2x21：求y =2的值域 xx2

解：∵x+x+2>0恒成立 2

2x2x2由y =2得，xx2

（y-2）x+(y+1)x+y-2=0

①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0R

②当y-2≠0时，即y≠2时,∵xR

∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有实根

∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y-18y+15≤0

∴1≤y≤5

∴函数值域为1,5 2222

练习1：求y =3x的值域 x24334,4 

二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。先来学习“√”函数。

形如y =x+

图像

k(x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 x



值域：2k, 单调性：在x∈0,时，单调递减。在x∈k,时，单调递减。解题步骤：①令分母为t,求出t的范围

②把原函数化为关于t的函数

③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域

2x2x11例2求y =（x3）的值域 22x1

解令2x-1=t,得

t1 2

t111∴y=2 2t22

t1当且仅当时，即t=2时，取“=”。2t

1∴y2 20

∴值域为：2

1,2

71,3 (sinx)23cosx4练习2求y=的值域cosx2

三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=axb(ac0)cx2dxe

解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数

③根据复和函数的单调性得出原函数值域

例3y =x1x1, 2x3x3

解令x+1=t,得

t0,且x=t-1

∴y=t=t2t1111tt

13(t=1时取“=”)t

1∴y且y>0 3∵1+t+

∴值域为0, 3

练习3:求y =1x的值域 ？x2110,2 

四分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。

2x12x26x12(x22x2)2x1例如：y=2==2+ x22x2x2x2x22x2

注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。

张掖实验中学734000（0936）3333296750207wxh@163.com

第四篇：高中函数值域的5种求法

高中函数值域的5种求法

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一、观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二、反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或

y>1｝）

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/

3当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

五、最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值

f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

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第五篇：一类二元函数最值的求法

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一类二元函数最值的求法

作者：高海燕

来源：《数理化学习·高三版》2013年第05期

点评：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.