高一上数学练习十三(函数值域的几种求法)[共五篇]

第一篇：高一上数学练习十三(函数值域的几种求法)

高一上数学练习十三(函数值域的几种求法)

（1）

一．配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。

1、求函数yx2x的值域

2xt，则解：令1t2x2（t0）于是原函数变为

1t21yt(t1)21,t0,y1，即值域为,1。2

2[评注] 形如yaxbd 的函数均可用此法（换元、配方）求值域。ax2bxc22二．判别式法。一个二次分式函数y(其中ad0)在自变量没有其它限制时就2dxexf

可以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以dx

程，方程有实数解则判别式大于零，得到一个关于2exf移项整理成一个关于x的一元二次方y的不等式，解出y的范围就是函数的值域。

2、求yx21的值域。

2xy0yx4xy304，当 y0 时，xR解：；当 时，故 (4)24y(y3)0，解之得1y4；故原函数的值域为：1,4

5的值域 2x2-4x

3223、求y＝解：由函数关系式变形、整理，得2yx-4yx+3y-5＝0，当y＝0时，-5＝0矛盾，故y≠0；∵x∈R ∴Δ＝(-4y)-4·2y(3y-5)≥0，即0≤y≤5，故0＜y≤5，函数的值域为(0，5)

2xx1值域

4、求函数y=x2x

1解：∵x2x1(x1)2330，24

4∴函数的定义域R，原式可化为

整理得(y1)xy(x2x1)x2x1, 2(y1)xy10，10，∴(y1)2-4(y-1)20,解得y3且 y1.3若y=1,即2x=0,则x=0； 若y1,∵R，即有

综上：函数是值域是{y|

y3}.3三．利用函数的单调性求值域的方法。如果函数么就可以利用端点的函数值来求出值域。

5、、求函数

yf(x)在给出的定义域区间上是严格单调的，那

f(x)y

x（1x4）的值域 x

解：因为函数

1和yx都在区间1,4 上单调递减，所以函数f(x)x在区间1,4xx

上是减函数。于是

7f(4)f(x)f(1)即值域为,0。

4

x25x2

4y

6、求函数的值域

y

解：

x25x2

4x24

x24；令

x

ytt4t在2,上单调易知函数

y递增；故

52所以原函数的值域为：2,



四、利用重要不等式求函数值域的方法。对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域。利用基本不等式ab2取等号”的条件。

7、求函数

ab，可求某些函数的值域与最值，但要注意“全正、定值、yx2(1x)(0x1)的值域

yx2(1x)

11xx2(1x)34xx2(1x)[] 22327

解、因为

当且仅当x2(1x)即x

x23x2

124时取等号，所以函数的值域是0,。

327

f(x)

8、求函数的最值。

f(x)

解：

x23x2

1x21

x21

2

2；所以函数有最小值：22，此时x1

五、数形结合的方法。就是将函数与图形有机地结合起来，利用图形的直观性求出函数的值域。

9、求函数

yx24x22x10的值域。

就

是

说

分析：该题的两个根号实际上可以看作是两个两点间的距离公式，也

y

表示的是点

p(x,0)到点A(0,2)的距离与点p(x,0)到点B(1,3)的距离之和。而点p(x,0)是x轴上的任意点，因此该题就可以等价转化为一条直线上的点到两个定点的距离之和的范围。如图所示 的任意点到

x轴上。

A、B两点的距离之和 都大于等于A、B两点间的距离。所以函数的值域是

26,

六、换元法。通过换元我们将生疏的函数结构转化为熟悉函数结构，然后再来求函安息的值域。特别是某些无理函数的值域常用换元法来求。

10、求函数

y2x34x的值域。

4x

不便于计算，但如果令：t

分析与解：由于题中含有

4x注意t0从而得：

13t213t2xy3t(t0)变形得2y(t1)28(t0)即：y(,4]

42七、部分分离法

适用类型：分式且分子.分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为式。

ykf(x)(k为常数)的形

x2x11：求函数y2的值域。

xx

1分析与解:观察分子、分母中均含有

x2x

项,可利用部分分式法；则有

x2xx2x11y21

xx1x2x

1(x)2

4不妨

令：

131

3f(x)(x)2,g(x)(f(x)0)从而f(x),

24f(x)4

注意：在本题中若出现应排除

31

f(x)0,因为f(x)作为分母.所以g(x)故y0,43,1



'

x2x11'

1另解：观察知道本题中分子较为简单,可令y,求出的值域,进而可得到y2

2xxxx的值域。

x5x6的值域

12、求函数y

x2x6

y

把已知函数化为函数

y

(x2)(x3)x

316(x2)

由此可得 y1∵ x=2时

y

11即 y

5x5x6的值域为 { y| y1且 y1}

∴函数y

5x2x613、求下列函数的值域

x2x

（1）y2；（2）yx2x

xx

1解（1）解法1（配方法）

1123

32xx1(x),，而2

244xx1

141

，y12

3xx13

y1

解法2（判别式法）

x2x2

由y2，得（y1)x(1y)xy0。

xx1

y1时，x无解，y1.又R， 必须(1y)24y(1y)0。

y1。y1,函数的值域为y1.33

（2）解法1（单调性）定义域x，函数yx,y2x

 

均在(,1111]是递增，故y2.2222

解法2（换元法）令

1t2, 2xt,则t0,且x2

y(t1)21(t0),y(,].22214、求函数y=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1(m为常数)，当x[0,2] 时的值域.解：∵y=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1，顶点为(m，-m2-1)，顶点横标为m.若m0，则函数在[0,2]上递增，当x=0时，ymin=-1，当x=2时，ymax=3-4m；此时函数的值域是[-1，3-4a].若m2，则函数在[0,2]上递减，当x=0时，ymax=-1，当x=2时，ymin=3-4m；此时函数的值域是[3-4m，-1].若0m2，则再分成两个对称区间讨论（否则最大最小值难确定）：

①若0m1，则x=m时，ymin=-m2-1，x=2时，ymax=3-4m；此时函数的值域是[-m2-1，3-4m]； ②若1m2，则x=m时，ymin=-a2-1，x=0时，ymax=-1；此时函数的值域是[-a2-1，-1].

第二篇：求函数值域的方法

求函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

②逆求法（反求法）：通过反解x，用y 来表示，再由 x的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

第三篇：求函数的值域常见类型

求值域的几种常用方法

（1）观察法、直接法、配方法、换元法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数ylog1(x22x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y2x133的值域[,] x22x222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 x242cosx3的值域，因为 cosx1

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：（1）如yx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x  [-1,0)(0,4],求值x（9）对勾函数法 像y=x+

域

（2）如 yx4求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）x4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间 x3（3）如y2x

例1．

1、已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例2． 设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

x22xa例

3、已知函数f(x) ,x[1,).若对任意x[1,),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围。x

第四篇：求函数的值域的常见方法

求函数的值域的常见方法

王远征

深圳市蛇口学校

求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。

一、直接法

函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例1． 已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2解：因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11 所以：y1,0,3，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为xR，则函数的值域为y|y1。请体会两者的区别。

二、反函数法

反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。例2． 求函数y1

x5的值域。2x1x分析与解：注意到20，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。由y1

x5x2，得：x21因为20，所以y404y1，1y

值域为：y|4y1

三、函数的单调性

例3．求函数yx1在区间x0,上的值域。x

分析与解答：任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2

x1x2x1x21，因为0x

x1x

2x2，所以：x1x20,x1x20，当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2 于是：函数yx

在区间x0,上的值域为[2,)。x

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例4：求函数fxxx的值域。

1x0

分析与解答：因为1x1，而x与x在定义域内的单调性

1x0

不一致。现构造相关函数gxxx，易知g(x)在定义域内单调增。

gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，又f

xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

四、换元法

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将

原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例5．求函数y(x5x12)(x5x4)21的值域。

959

分析与解答：令tx25x4x，则t。

424

ytt821t28t21t45，9119

当t时，ymin458，值域为y|y8

416164

例6．求函数yx2x的值域。

分析与解答：令tx，则x1t，t0，y1t22tt1

2当t0时，tmax102201 所以值域为(,1]。

例7．求函数yxxx223的值域。分析与解答：由yxxx223=x令x5

2x5，2cos，因为2x5022cos201cos1，[0,]，则2x5=2sin，于是：y

5

2sin2cos52sin5，[,]，4444



2

sin1，所以：52y7。24

五、配方法

对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如Fxaf当要注意fx的值域。

例8．求函数y

xbfxc，2xx23的值域。

(x1)24，于是：

分析与解答：因为2xx30，即3x1，y

0(x1)244，0y2。

1x22x

4例9．求函数y在区间x[,4]的值域。

4x

42x22x4

x6，分析与解答：由y配方得：yx2xxx14

1x2时，函数yx2是单调减函数，所以6y18； 4x4

当2x4时，函数yx2是单调增函数，所以6y7。

x

所以函数在区间x[,4]的值域是6y18。

当

六、判别式法

把函数yfx同解变形为关于的一元二次方程，利用0，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。

2x22x

3例10．求函数y的值域。

2xx

113

分析与解答：因为xx1x0，原函数变形为：

24

y2x2y2xy30（1）

当y2时，求得y3，所以y2。

当y2时，因为xR，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0，即：y24y2y302y

所以2y

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式ab2ab，a,bR求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。



x230x

例11．求函数y的值域。

x

2x230x646

4x3234[x2] 分析与解答：y

x2x2x2

因为分母不为0，即x2，所以： 当x2时，x2取等号，ymax18； 当x2时，x2(当且仅当(x2)

2x2

x2

6464,x6时，16，当且仅当x2

x2x2

6464)2x2()16，x2x2

64,x6时，取等号，ymin50； x2

值域y(,18][50,)

注意：利用重要不等式时，要求fx0,且等号要成立。

八、数形结合法

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例12．如例4求函数yxx的值域。

分析与解答：令ux，vx，则u0,v0，uv2，uvy，22

原问题转化为 ：当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公

共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin当直线与圆相切时，ymaxOD所以：值域为2y2

2；

2OC

2

2。

九．利用函数的有界性：形如sinf(y),x2g(y),sin1,x20可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

2x1

例．求函数yx的值域

21

[解析]：函数的有界性

2x1y1由yx得2x

y121

220,

y1

0y1或y1 y1

第五篇：高一函数整理求值域的方法

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/

3当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

五．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为 －2x+1(x≤1)

y= 3(-1

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函

数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1（t≥0）,则

x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+2

2作一个长为

4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十一．利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域

1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）

2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

已知函数F(X)=lg(X^2-mx+3)(m为实数)

(1)函数F(X)的定义域与值域能否同时为实数集R?证明你的结论.(2)是否存在实数M,使函数发F(X)的定义域和值域同时为<1,正无穷),若存在,请求出M值,若不存在,说明理由!

类似上面一题的函数F(X)= lg(ax^2+2x+1)

(1)若F(X)的定义域为R,求实数a的取值范围

(2)若F(X)的值域为R,求实数a的取值范围

函数Y=-log以2为底(x^2-ax-a)在区间(负无穷,-1/2)上是增函数的充要条件.