高考数学解析几何最值问题常用技巧-分式函数值域问题分类导析

第一篇：高考数学解析几何最值问题常用技巧-分式函数值域问题分类导析

分式函数值域问题分类导析

求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法． p(x)首先我们给出分式函数的定义：形如f(x)的函数叫做分式函q(x)

数，其中p(x)、q(x)是既约整式且q(x)的次数不低于一次．下面就p(x)、q(x)的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．

1.一次分式函数

p(x)、q(x)的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如axbf(x),xA,c0的函数． cxd

一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成xf1(y)，由于xA，则f1(y)A，解出y的取值范围，即函数f(x)的值域．

2x3例1． 求函数y，x[3,8]的值域． x

22y32y38，解得解：改写成x，因为x[3,8]，所以3y2y2

1919y9，即原函数的值域是[,9]． 66

２．二次分式函数

p(x)、q(x)至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，ax2bxc,xA,a、d不全为零的函数． 即形如f(x)2dxexf

若A=，则可采用根的判别式法求值域． ｛x|dx2exf0｝

x24x

5例２．求函数y2的值域．

x4x

4解：化为关于x的方程(y1)x24(y1)x4y50．若ｙ＝１，则方程无解，即y1．因为xR，所以0，解得y1，即原函数的值域是（1,）．

若A，则再分类讨论． ｛x|dx2exf0｝2.1．形如f(x)

c，xA,d0且c0的函数．

2dxexf

先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数f(x)的值域．

例３．求函数f(x),x[3,5]的值域． 2

x2x

3解：令g(x)x22x3(x1)24,x[3,5]，1

1则g(x)[4,12]，所以函数f(x)的值域是(,][,)．

412

bxc

2.2．形如f(x)2，xA,d0且b0(*)

dxexf

ax2bxc

或f(x)，xA,a0且e0的分式函数．

exf

下面就形式(*)讨论解法．

b

2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得f(x)＝．只要讨论

fdxe

x

f

函数g(x)dx,xA且x0的值域．

x

不妨设d0．若f0，则函数g(x)在(,0)和(0,)上分别是增函数；若f0，则函数g(x)在(0,ff]和[,0)上分别是减函数，在dd

ff

]上分别是增函数．这样利用函数g(x)的单调性，先[,)和(,dd

求出g(x)的值域，从而求出函数f(x)的值域．

x,x[1,)的值域． 2

x2x414,x1．令g(x)x,x1，则g(x)4，所以解：f(x)

4xx2x1

函数f(x)的值域是(0,]．

6例４．求函数f(x)

2.2.2．若c0，则换元，令tbxc，转化为２.２.1．形式的分式函数．

x1

例５．求函数f(x)2,x(1,3)的值域．

x2x3

t1

,t(0,4)． 解：令tx1，则y2

4t4

tt

因为t(,3)，所以函数f(x)的值域是(,0)(,)．

t3

ax2bxc,xA,a0且d0的分式函数． 2.3．形如f(x)2

dxexf

2.3.1．若bc0或ef0，则分子分母同除以x，转化为求关于的x

二次函数的值域，从而求出函数f(x)的值域．

x21

例６．求函数f(x)2,x[,1]的值域．

x4x13111

,[1,3]．因为函数 解：f(x)

141x2

1(2)3x2xx

112

g(x)(2)3,[1,3]的值域是[3,2]，所以函数f(x)的值域是

xx

[,]． 23

2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设

a(xm)2

f(x)2,xA,a0且d0，则可令txm，转化为2.3.1

dxexf

形式的分式函数．

x24x4

例７．求函数f(x)2,x[1,0]的值域．

x4x5

t2111

解：令tx2，则y2,[,1]．因为

1t1t212

t

151412[,2]，所以函数f(x)的值域是[,]． t425

2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即

aeaf

(b)xca，转化为2.2形式的分式函数． f(x)ddx2exf

x24x5例８．求函数f(x)2,x[0,2]的值域．

x4x322

1,x[0,2]，解：f(x)12所以函数f(x)的2

x4x3(x2)1

值域是[

175,]． 153

3．分式函数值域在解析几何中的运用

解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方

例９．已知直线l1：y4x与点P(6,4)l1上求一点Q，使直线PQ与直线l1，以及xl1在第一象限内围成的三角形面积最小．

解：设Q(x0,4x0)，直线PQ的方程

y4x6

是，直线PQ交x轴于点

4x04x06

5x0

A(,0)．根据题意

x01

10，111()2x024

x01，所以SOAQ

10x02115x0

|OA|yQ4x022x01x01

x01，当x02时，SOAQ的最小值为40，Q(2,8)．

此题的解法是将OAQ的面积S表示为Q的横坐标x0的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值．

例10．设F1、F2是椭圆3x22y26的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求△ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置．

解：设AB弦所在的直线方程是

ykx1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

SABF

|F1F2||x1x2||x1x2|． 2

ykx1

由方程组2，消去y，2

3x2y6

得(2k3)x4kx40，则x1x221222

k32k3

4k2448(k21)22

SABF(x1x2)4x1x2(2)42，22

2k32k3(2k3)

令t2k23,t[3,)，SABF

24(t1)112111

24[()],0，2

tt24t3

SABF当t=3时，43

有最大值，此时k=0，即AB弦过焦点F1且平行于x轴．

此题的解法是将△ABF2面积的平方表示为k2的二次分式函数，从而求出最大值．

第二篇：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

第三篇：2015二次函数与最值问题

2015年中招专题---二次函数与最值问题

1．（2014•四川绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

3.（2014•攀枝花）如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y

2），顶点坐标为N（﹣1，），轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；

（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．

4.(2014•襄阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）填空：点A坐标为

；抛物线的解析式为

．

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

5.（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

6．（2014•甘肃兰州）如图，抛物线y=﹣x+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

7．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D抛物线的顶点．

（1）求A、B、C的坐标；

交为2（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=

2DQ，求点F的坐标．

8.(四川泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣（1）求二次函数的最大值；

（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程a的值；

（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四

=0的根，求2，0）．

边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

第四篇：二次函数的最值问题修改版

利用数形结合法解决二次函数在闭区间

上的最值问题

数学组：王勇

一、教学目标：

1． 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法； 2． 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。

二、教学重点：二次函数最值求法

教学难点：二次函数在闭区间上的最值

三、教学过程：

二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题

问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值

练习：将题中条件x2,4改为（1）x3,0，（2）x3,4

小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。

如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢？

问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值

小结：注意分类讨论

以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢？

问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值

小结：对称轴的讨论是关键

练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2

f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值

（三）作业：

1． 求函数fxx22x3在区间t,t1上的最值 2． 求函数fxx2ax3在区间1,1上的最小值

第五篇：二次函数最值问题参考答案

精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.二次函数最值问题

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数yx4x2(x2)2函数的最大值为f(2)2，最小值f(0)2。练习.已知2x23x，求函数f(x)xx1的最值。

解：由已知2x3x，可得0x222223，函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为2319。f2

42、轴定区间变

2例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

解：函数f(x)(x1)1 21t，当xt时，函数取得最小值f(x)minf(t)(t1)21。

t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1。t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21

综上讨论，f(x)min(t1)21,t1 1,0t12t1t02f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求对称轴为x1．

f(x)minf(t)tt21t3，f(x)maxf(t1)t22（1）当时，．（2）当t≤1≤t1，即0≤t≤1时，．

tt11即22tt111t≤12f(x)f(t1)t2max22即2若时，． 根据对称性，若

0≤t≤122时，f(x)maxf(t)t2t3．

f(x)maxf(t)t22t3t11t0（3）当即时，．

第1页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上，f(x)max12t2,t2 t22t3,t12

23、轴变区间定

例4.已知x21，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将

aa f(x)配方得：f(x)x32422aa2a二次函数f(x)的对称轴方程是x顶点坐标为，3，图象开口向上

422a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。2函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。由a2可得x

图3 例.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为xa，211即a时，f(x)maxf(2)4a5； 2211 当a即a时，f(x)maxf(1)2a2。

22当a综上所述：f(x)max12a2,a2。4a5,a12a2a2aaaa(2)函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，1即242222第2页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)（2）2a2；由图可知f(x)maxf()（3）a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2 24f(1),a2a1,a

2（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5.已知函数f(x)ax2ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

解：f(x)a(x1)1a,x[3,2]（1）若a0,f(x)1,，不符合题意。（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1 22由8a14，得a3 8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a 由1a4，得a3

第3页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上知a3或a3 8x2例6.已知函数f(x)x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：讨论对称轴中1与m,mn,n的位置关系。2①若，则f(x)maxf(n)3n

f(x)minf(m)3m 解得②若f(x)maxf(1)3nmn，无解 1n，则2f(x)minf(m)3mf(x)maxf(1)3nmn③若m1，则，无解

f(x)f(n)3m2min④若，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0 解析2：由f(x)1111(x1)2，知3n,n,，则[m,n](,1]，2226f(x)maxf(n)3n

f(x)f(m)3mmin又∵在[m,n]上当x增大时f(x)也增大所以解得m4,n0

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

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