解析几何中的定点定值问题
考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题
解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
A
B
y
O
x
例1、已知A、B是抛物线y2=2px
(p>0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。
解析：
设A（），B（），则，代入
得
（1）
又设直线AB的方程为，则
∴，代入（1）式得
∴直线AB的方程为
∴直线AB过定点（-
说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，再从AB直线系中看出定点。
例2．【2010·东城一模】已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
⑴求椭圆C的方程；
⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．
解析：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．
⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
①
联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．
⑶设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得．
②
由得①代入②整理，得，所以直线与轴相交于定点．
【针对性练习1】
在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．
⑴求轨迹的方程；
⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．
解：⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为．
⑵将，代入曲线的方程，整理得，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以
①
设，则，②
且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得．
将②、③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①，当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为．
显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：，且直线经过定点点．
【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
【解析】
本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。
解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得
化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，直线NTB
方程为：，即。
联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为：，即，直线NTB
方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。
（方法一）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。
若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。
【针对性练习3】（2011年石景山期末理18）已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
解:
（Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则
解得
∴
椭圆C的标准方程为
．
……
4分
（Ⅱ）由方程组
消去，得
．
……
6分
由题意△，整理得：
①
………7分
设，则，．
………
8分
由已知，且椭圆的右顶点为，∴ ．
……
10分
即，也即，整理得．
解得
或，均满足①
………
11分
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意舍去；
当时，直线的方程为，过定点，故直线过定点，且定点的坐标为．
…………
13分
例3、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；
（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。
解法一：
（I）设椭圆方程为，由题意知
故椭圆方程为
（Ⅱ）由（I）得，所以，设的方程为（）
代入，得
设
则,由，当时，有成立。
（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。依题意知，直线BC的方程为，令，则的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。
解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。设的方程为
代入，得设则
当时，有成立。
（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。
设存在使得、、三点共线，则，即，存在，使得三点共线。
二、定值问题
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。
例4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，共线。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
解析：（1）设椭圆方程为
（a>b>0），A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0)，两式相减及得到，所以直线ON的方向向量为，∵，即，从而得
（2）探索定值
因为M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则，此时，证明
∵，椭圆方程为，又直线方程为
又设M（x，y），则由得，代入椭圆方程整理得
又∵，例5、已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1）
求椭圆C的方程；
（2）
E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）
所以椭圆方程为。
（2）设直线AE方程为：，代入得
设，因为点在椭圆上，所以，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得，所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为。
将第二问的结论进行如下推广：
结论1.过椭圆上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。
证明：直线AE的方程为，则直线AF的方程为，联立和，消去y可得
结论2.过双曲线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。
结论3.过抛物线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。
例6、【2010·巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率；
(Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得
.所以椭圆的标准方程为.离心率
(Ⅱ),设由得
化简得，即
故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为
例7、【2010·湖南师大附中第二次月考】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点．
(Ⅰ)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；
(Ⅱ)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．
解析：(Ⅰ)
设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，即，故抛物线C的方程是．
(Ⅱ)设圆心()，点A，B.因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为.令，得.则，.所以.，设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则.所以.由此可得，当时，为定值．故存在一条抛物线，使|AB|为定值4.例8、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值
为，离心率为﹒
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒
解析：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：
。。。2分
椭圆E的方程为。。
3分
（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：
。。。
5分
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则
由得
7分
所以
9分
对于任意的值，为定值，所以，得，所以；
11分
②当直线的斜率不存在时，直线
由得
综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒
13分
法二：假设存在点，又设则：
=….5分
①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得
7分
9分
设则
11分
②当直线的斜率为0时，直线，由得：
综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为
。。13分
三、定直线问题
例9、设椭圆过点，且焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上
解析：
(1)由题意：，解得，所求椭圆方程为
(2)设点，由题设，均不为零。
且
又
四点共线，可设,于是
（1）
（2）
由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程
整理得
（3）
(4)
(4)－(3)
得，即点总在定直线上
例10、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
解法一：（Ⅰ）设椭圆的方程为。
…………………
1分
∵，∴。
………………
4分
∴椭圆的方程为。
………………………………………
5分
（Ⅱ）取得，直线的方程是
直线的方程是交点为
…………7分,若，由对称性可知交点为
若点在同一条直线上，则直线只能为。…………………8分
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。…………
9分
设与交于点由得
设与交于点由得………
10，……12分
∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。
13分
解法二：（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为
…………………………………………
7分
取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。
……………8分
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。………………9分的方程是的方程是消去得…
①以下用分析法证明时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证………………
②∵∴②式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。
解法三：（Ⅱ）由得即。
记，则。……………
6分的方程是的方程是
……
7分
由得
…………………
9分
即
………………………………
12分
这说明，当变化时，点恒在定直线上。………………
13分
四、其它定值问题
例11、已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，∴，∴所求双曲线的方程为.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，设A、B两点的坐标分别为，则，∴，∴的大小为.例12、己知椭圆
（a>b>0）,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、O
x
y
P1
Q1
P2
Q2
A1
A2
B1
B2
Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。
探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则的方程为，原点O到直线的距离为，则与菱形内切的圆方程为。
证明：设直径P1P2的方程为
则Q1Q2的方程为
解得
同理OQ22=，作OH⊥P2Q2
则
又四边形P1Q1P2Q2是菱形，菱形P1Q1P2Q2必外切于圆.例13、已知P是双曲线上的一个定点，过点P作两条互相
垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。
探索定值：取P，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线
x
P
P1
P2
y
O
与曲线的另一个交点，其斜率
PP2的方程为
把代入解得
（定值）
证明：设PP1的斜率为，则PP2的斜率为
－，∴PP1的方程为
PP2的方程为，与抛物
联立解得、，从而（定值）
EX：过抛物线y2=2px（P>0）上一定点（x0,y0）作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。
推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。
五、练习
1、（2008唐山三模）椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M点为（1，1），且直线MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB的斜率是定值。
分析：（1）x2+2y2=3
（2）
2、（2008年西城一模）已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.分析：M（，0）
3、已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mx（m>0）于A、B两点，若A、B两点满足∠AQP=∠BQP，若其中Q点坐标为（-4，0），原点O为PQ中点。（1）证明：A、P、B三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l‘，使得l‘被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l’的方程。
分析：设点AB的坐标
（2）l：x=3.4、（2009年保定统测）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。
（1）
求椭圆的方程。
（2）
若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD,连结CM交椭圆于点P，证明：为值。
（3）
在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于C的定点Q，使得以MP为直径的圆过直线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标。
分析：（1）
（2）由O、M、P三点共线，得，所以=4
（3）设Q点（a，0），由，得a=0.5、（2009年邯郸第一次模拟）设P为双曲线上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，若的最小值是-1，双曲线的离心率是。
（1）
求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点，过作右准线的垂线，垂足为C，求证：直线AC恒过定点。
分析：（1）
（2）先猜再证：（，0）换掉x1代入韦达定理得证。方法二：设AB：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０
故
AC：=又2my1y2=-（y1+y2）然后代入韦达定理得。
6、在平面直角坐标系xOy中,Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上，点B(－2,0)，C（2，0），且AD为BC边上的高。
(I)求AD中点G的轨迹方程；
(II)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使·恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由。
分析：（1）
（2）
m=
定值为
不容易先猜出，只能是化简求出。
7、（2009年衡水三模）已知直线l过椭圆E：的右焦点F,且与E相交于P，Q两点。
（1）
设，求点R的轨迹方程。
（2）
若直线l的倾斜角为60，求的值。（当l的倾斜角不定时，可证是定值。）
分析：
（2）可先猜再证:
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