不等式证明、最值求法

第一篇：不等式证明、最值求法

不等式的证明（论一个不等式的应用）

贵刊2004(11)发表李建新老师《巧用向量求值》一文（以下简称原文），经笔者研究发现，原文中的所有最值问题都可以用下面的一个不等式加以解决，而且相比之下比李老师的向量法在处理上更简单一些，故写此文和大家交流．

x2y222

2定理 若实数a,b,x,y满足221，则ab≥(xy)．

abx2y2b2x2a2y2222222

证明：ab(ab)(22)xy2 2

abab

222

≥xy2xy(xy)，xy

由证明过程易知等号成立的条件是22．

ab

注 这个不等式的条件是一个椭圆方程，故称此不等式为椭圆不等式．

１ 求满足整式方程的未知数的代数式的最值

例１ 已知x,y满足xy2x4y0，求x2y的最值（1988年广东高考题，原文例１）．

(x1)24(y2)2

解：xy2x4y01，依定理有

520

520[(x1)2(y2)]2，即(x2y5)，解得0x2y10，当且仅当2

5x1

y222

(x2y)min0，且xy2x4y0，即xy0时，当x2,y4

时，(x2y)max10．

例２ 已知a,bR，且ab10，求(a2)(b3)的最小值（第10届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题）．

(a2)2(b3)2

1，由定理得： 解：令(a2)(b3)=t，则

tt

2t≥(ab5)2(ab16)236，即t≥18，当且仅当a2b3且ab10

时，即a1,b0时，tmin18，从而(a2)(b3)的最小值为18．

２ 求满足三元一次方程及三元二次方程的未知数的最值

例３ 已知实数x1,x2,x3满足方程x1

111212x2x31及x12x2x33，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三数学竞赛试题，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1x2x31x1x21x3，x12x2x331

222323233x3(3x3)323

由定理得

111112112121

(3x32)(3x32)(x1x2)23x32(x1x2)23x32(1x3)2x33

323233233311

从而x3的最小值为

21． 11

３ 求满足整式方程的未知数的分式的最值

例４ 如果实数x,y满足等式(x2)y3，求题）．

y的最大值（1990年全国高考试x

y

k，则ykx，由已知等式(x2)2y23可得 x

(2kkx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴≤k≤3，133kk4k2

33k

y

从而的最大值为3。

x

y22

例５ 若实数x,y适合方程xy2x4y10,那么代数式的取值范围

x2

解：令

是（第9届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试）．

y

t，则txy2t0，由已知方程得(x1)2(y2)24，变形得：x2

(txt)2(y2)2

1，∴由定理得：4t24≥(txy2t)2(23t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代数式的取值范围是[0，]．

5x25

y122

例６ 已知实数x,y满足方程(x2)y1，求的最小值(第10届＂希望杯＂

x2

解：令

邀请赛数学竞赛高二试题，原文例4)

(kx2k)2(kx2k1)2y122

1，解：设k，则ykx2k1，(x2)y1

k21x2

由定理得k1[(kx2k)(kx2k1)](14k)，解得0k４ 求满足不等式的未知数的最值

例７ 若2xy1，uy2yx6x，则u的最小值等于（）A．

y18，即的最小值为０． 15x2

77141

4B．C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题）

4(x3)2(y1)2

1，依定理及条件有 解：uy2yx6x

4(u10)u10

36142(x3)

当且仅当10，y1且2xy1

554

31114

时，即x,y时，umin，故选(B)．

555

11n

例８ 设abc，且≥恒成立，则n的最大值是（第11

abbcac

5(u10)(2xy5)236，即u

届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试，原文例１１）．

解：令

11112

=t，则=1，从而t(ac)≥(11)4，

t(ab)t(bc)abbc

由已知得ac0，故t≥５ 求无理函数的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． 

abbcacac

1994年上海市高三数学竞赛题，原

例９

求函数y文例５）．

解：由1994x0且x19930得1993x1994，两边平方易得y1，又

1

1994xx1993，由定理得：22，

1y



故函数y６ 求满足分式方程的未知数的代数式的最值

例１０ 设x,y,a,bR，且



ab

1，则xy的最小值为（第11届＂希望xy

杯＂全国数学邀请赛高二培训题）．

解：

依定理有xy，ab

1，即x，xy

x

时，(xy)min2．

例１１ 已知x,y(0,)，且数学竞赛试题，原文例６）．

解：由已知条件和定理有：xy117． 定理的推广 若

1998

1，求xy的最小值（1998年湖南省高中xy

a

i1

n

bi

i

1，则ai≥（i1

n

b)

ii1

2i

n，其中ai与bi同号（i=1，2，． ,n）

证明：由Cauchy不等式及已知条件有：７ 求使多项式函数取最值的未知数的值

a=a.a

i

i1

i1

nnn

bi

i

≥（i1

b)．

2ii12

n

例１２ 求实数x,y的值，使得(y1)(xy3)(2xy6)达到最小值（2001年全国高中数学联赛试题，原文例７）．

1()y2(22x6y)6(2)xy

解：令(y1)(xy3)(2xy6)t，则t4tt

1，由定理的推广得：6t[(1y)(2x2y6)(62xy)]1，即t，当且仅当6

1yxy362xy55

(y1)2(xy3)2(2xy6)2达，即x,y时，

12126

到最小值．

6８ 求满足分式方程的未知数的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,zR,，求的最2

1x21y21z21x21y21z2



大值（1990年首届＂希望杯＂全国数学邀请赛培训题，原文例８）．

x2y2z2111

2解：由易知1，而 1x21y21z21x21y21z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1y21，依定理的推广可有222

1x1y1z

1x21y21z2222xyz2xyz2，即()(2，从222222222

1x1y1z1x1y1z1x1y1z

而

xyz

． 

1x21y21

z2

９ 求无理式的最值

例１４ 如果abc1，（第８届＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题，原文例９）．

解：由条件知(3a1)(3b1)(3c1)6，则

3a13b13c1

1，由定理

666

的推广得：18，且仅当abc

时达到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函数的最值

例１５的最大值为M，最小值为N，则

（1999年＂希望杯＂数学邀请赛，山西、江西、天津赛区高二试题，原文例12）．

解：由1tanx



N

tanx13tanx



1，由定理得422

2，即M=2，故

M． N１１ 求对数函数的最值

例１６ 已知ab1000,a1,b

1，则的最大值是多少？（第13届＂希望杯＂全国邀请赛高二培训题，原文例13）．

解：由已知易得：(1lga)(1lgb)5，即

1lga1lgb

1，由定理有

10

2

由上我们可以看出，用本文中的定理和定理的推广要比文［１］中用向量解决这些问题

简单的多．当然，这样的例子很多的，这里不再赘述，请读者自行研究，以下是几个练习．

练习

１．设x,y,zR，且xyz1，求队第一轮选拔赛题）．（答案：３６）

２．已知x,y,zR,xyz1，求数学问题1504）．（答案：６４）

３．函数y



149

的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《数学通报》2004（7），22的最小值（2

xyz

3xx2的最小值为12届“希望杯”全国数学邀请赛高

参 考 文 献

一培训题）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．数学教学，2004，1１．

第二篇：最值证明不等式

最值证明不等式

ln x(2)证明：f(x)＝>x－1(x>0，x≠1)x

18．证：令g(x)＝x－1－f(x)，原不等式等价于 g(x)>0(x>0，x≠1)．

g(x)满足g(1)＝0，且

x－1＋ln xg′(x)＝1x当0

2当x>1时，x－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．

所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．

ln x所以f(x)＝－1(x>0，x≠1)x

第三篇：不等式证明与最值问题

不等式证明与最值问题

（一）均值不等式的运用(1)

均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。

（1）注意“1”的代换：已知x＞0，y＞0，满足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36

注意：千万不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 归纳： x,y a,b都是正数且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。

解：因为(a/x)+(b/y)=

1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)练习：

1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）

2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）

（2）

1、已知a＞0，b＞0，求证：(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥8

解：(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a²b²)]·2√(a³b³)=82、已知a+b+c=1,a,b,c为不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞1/3 解：a²+b²≥2ab, a²+ c²≥2ac, b²+c²≥2bc

因为a,b,c为不全相等的实数，故：上面三式不能同时取等号。故：2(a²+b²+c²)≥2ab+2bc+2ac

故：3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²=

1故：a²+b²+c²＞1/

3练习：

1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）

2、若x，y＞0,且2x²+y²/3=8，求x√(6+2y²)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y²)平方]

（3）a＞0，b＞0，c＞0，求证：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a

=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a

=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6

（4）a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c

解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)

=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c

（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 证明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c

故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c

（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值

解：因为x＜0，故：-x＞o

故：(-x)+(-1/x)≥

2故：y=x+1/x≤-2

(7)

1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值

解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此时a=2,b=

12、若0＜x＜1,求证：a²/x+b²/(1-x)≥(a-b)²

解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜

1∴a²/x+b²/(1-x)=a²/x·[x+(1-x)]+b²/(1-x)[x+(1-x)]

=a²+a²(1-x)/x+b²+b²x/(1-x)≥a²+b²+2ab=(a+b)²

当a²(1-x)/x=b²x/(1-x)时，取等号。

练习：当a＞1时，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）

（一）均值不等式的运用(2)

均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab

附： 完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。

(8)已知二次函数f(x)=ax²-bx+c，且f(x)=0的两根为x1，x2都在(0,1)内，求证：f(0)·f(1)≤a²/16

证明：因为f(x)=0的两根为x1，x2，故：可设f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因为0＜x1＜1, 0＜x2＜1

故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a²·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a²·[(x1+1-x1)/2] ² ·[(x2+1-x2)] ²= a²/16

(9)已知a,b＞0,a+b=1，求证：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤

2证明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2

同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2

故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2

（10）a,b,c＞0,比较a³+b³+c³与a²b+b²c+c²a的大小

解： a²+b²≥2ab

故：a²-ab+b²≥ab

不等式两边同乘以a+b,不等号方向不变。

可得:a³+b³≥a²b+b²a(1)

同理可得:b³+c³≥b²c+c²b(2)

c³+a³≥c²a+a²c(3)

(1)+(2)+(3)得：

2(a³+b³+c³)≥2(a²b+b²c+c²a)

a³+b³+c³≥a²b+b²c+c²a

（11）设a、b、c都是正数，求证1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）证明：因为(a-b)²≥0

故：a²-2ab+b²≥0

故：a²+2ab+b²≥4ab

故：(a+b)²≥4ab[两边同时除以4ab/(a+b)]

故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)

故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)

同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)

故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

（12）均值代换：已知a+b=1,a,b∈R,求证：(a+2)²+(b+2)²≥25/2 解；∵a+b=1,设a=1/2+t,b=1/2-t

故：(a+2)²+(b+2)²=2t²+25/2≥25/

2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求证：1/x+1/y≥3+2√2

证明：设2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)

故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2

（二）利用判别式“△=b²-4ac”及一元二次方程

1、若x²+xy+y²=1,且x，y为实数，则x²+y²的取值范围？

解：令t=x²+y²＞0

故： y²=t-x²

故：y=±√(t-x²)

故：t±x√(t-x²)=

1故：x²(t-x²)=(1-t)²

故：x^4-tx²+(1-t)²=0

故：△=t²-4(1-t)²≥0

故：2/3≤t≤

2即：2/3≤x²+y²≤22、设a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值

解：ab≤[(a+b)/2] ²，故：[(a+b)/2] ²-(a+b)-1≥0

故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]

故：a+b的最小值是2√2+2，此时a=b=√2+

1因为ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+

33、设a+b+c=1, a²+b²+c²=1且a＞b＞c,求证：-1/3＜c＜0

证明：因为a+b+c=1，故：(a+b+c)²=1，即：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1 因为a²+b²+c²=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一个负数

因为a＞b＞c，故：c＜0

因为a+b+c=1，ab+ac+bc=0

故：a+b=1-c，ab=c(1-c)

故：a、b可以看作方程x²+(c-1)x+c(1-c)=0两个不相等的实数根

故：△=(c-1)²-4c(c-1)＞0

故：(c-1)(c-1-4c)＞0

故：-1/3＜c＜

1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值

解：设X+Y=t，因为X>0,Y>0

故：t>0

因为XY-X-Y=

1故：XY＝1+t

故：X、Y可以看作方程z²-tz+(1+t)＝0的两个实数根

故：△=t²-4(1+t)≥0

故：t²-4t-4≥0

(t-2)²≥8

故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因为t>0）

故：t≥2√2＋

2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此时X＝Y＝√2＋

15、.已知正数ab满足a+b=1，求ab+1/ab的最小值

解： ∵正数ab

∴ab+1/ab≥

2令ab+1/ab=t≥2

故：ab=[t±√(t²-4)]/2

故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t²-4)]/2=0的两根

故：△=1-4×[t±√(t²-4)]/2≥0

故：±√(t²-4)≥t-1/

2因为t-1/2＞0

故：√(t²-4)≥t-1/2＞0

故：t≥17/

4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此时a=b=1/2

（三）利用几何意义求极值

1、求下面函数的极小值：y=√(x²+4)+√[(12-x)²+9]

解：√(x²+4)+√[(12-x)²+9]可以看作点(x,0)到点(0,2)和(12,3)的距离之和 而点(0,2)关于x轴的对称点是(0,-2)

故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之间的距离，即：132、a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边，若（m,n)在直线ax+by+2c=0上，求m²+n²的最小值

解：因为a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边

故：a²+b²=c²

因为√(m²+n²)=√[(m-0)²+(n-0)²]，即：√(m²+n²)表示点（m,n)到原点距离，因为（m,n)在直线ax+by+2c=0上

而原点到直线的距离是∣a×0+b×0+2c∣/√(a²+b²)=2c/c=2

故：m²+n²的最小值是2²=4，此时n=-2b/c，m=-2a/c

第四篇：一类二元函数最值的求法

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一类二元函数最值的求法

作者：高海燕

来源：《数理化学习·高三版》2013年第05期

点评：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.

第五篇：简评“三角函数最值求法”(张辉老师执教)

评课稿

2013年4月22日下午，赴陈经纶中学听张辉老师执教高一数学“三角函数最值求法”习题课。感受颇深，很受启发。觉得张老师采用的是教师引领学生探究式教学，学生参与度高，是一堂培养学生思维能力的成功的习题课。

课堂以求函数最值为主线，选择三个典型的例子作为题材很恰当，虽然还有其他最值形式，但都可以练习的方式渗透、训练。

好的方面不多说，主要有以下两点看法：

1．从课堂引入的问题“求三角函数最值有哪些方法？”

从学生回答看来，学生对这样的问题不好回答，其实，老师想要学生说的东西有些就不是一个方法，似乎是一个“目标模式”。因此，如果把提问调整为“就自己的亲历过的学习、练习、阅读等，谁能说出一些求三角函数最值的目标模式，说多少都可以，其他同学也可以补充。”，我想学生就可以回答的比较具体，虽不一定说得全面，参与的同学多了，典型的目标模式是一定能收集到的。另外，教师这么问，是不是也意味着本节课要讲的方法只是一个综述呢，还是除了学生熟悉的方法，老师还有新方法传授？

2．关于例2，张老师引领学生“完成解答”之后，我觉得她有点急于揭示解法之错误。由于2cos2xcos2y2，而学生跟着老师走过来的解法得到最大值是5，这明显存在有“认知冲突”。因此，如果这时张老师放手让学生交流做“合作交流，题后反思”，学生应该很快发现错误，形成“冲突”之后更有利于学生“求真欲望”，继续放手让学生找到可能出错之处，再让学生合作修复。我觉得对陈经纶中学的学生来说，这些做法在课堂上是可以完成的，哪怕是把例3留作作业也好。这样处理可以使得教师掌控的时间缩短，给学生留下整理反思的时间，教师也能够赢得“小结学生感受收获”的时间。

以上写出了我自己的所思所想。每个做课教师都是下过很大功夫的，通常是几易其稿，最后实施教学。我们听课者通常中午没有休息，听课的时候真的比较困，如果课堂上没有抑制住疲劳，尤其是对课堂索然乏味的时候，既使在评课的时候，也还是很疲劳，精力得不到回复，大脑不听使唤。在这种状态下，教师评课积极性不高是可以理解的。所以，我倡议同仁们，加入到听课后评课中来，以期大家智慧共享，改善我们的课堂教学。

清华附中朝阳学校王慧兴

2013年4月22日星期一