隐含在不等式中的最值问题

第一篇：隐含在不等式中的最值问题

隐含在不等式中的最值问题

这是求函数最值中比较复杂的一类问题，它往往与恒成立问题有联系，换元与整体思维在解决问题的过程中起主导作用，通过对以下两个问题的探讨，我们可以从中发现解决这类题目的方法规律。

例1.若不等式22x2x1t10对一切实数x都成立，求实数t的最大值。解：原不等式可化为t(21)2

令a2，f(a)(a1)2(a0)

则f(a)的值域为(1，)

t1时原不等式对xR都成立，故t的最大值是1

注：tf(x)恒成立，应考虑f(x)的最小值，而tf(x)恒成立应考虑f(x)的最大值。

x2x2

11m 0总能成立。abbcca

acac解：将m与a，b，c分离并整理得m。abbc例2.已知abc，求实数m的最大值，使不等式

要使此不等式成立，只需m不大于右边式子的最小值。

ab0，bc0

abbcabbcabbc

bcabbcab222·4 abbcabbc

m4可使原不等式当abc时恒成立右边

m的最大值是4

练一练

已知对任意实数x，二次函数f(x)axbxc恒非负，且ab，求

小值。2abc的最ba

bt1 a

t2

abcaata44tt219则(t1)63 baata4(t1)4t1答案与提示：令

第二篇：不等式证明与最值问题

不等式证明与最值问题

（一）均值不等式的运用(1)

均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。

（1）注意“1”的代换：已知x＞0，y＞0，满足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36

注意：千万不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 归纳： x,y a,b都是正数且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。

解：因为(a/x)+(b/y)=

1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)练习：

1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）

2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）

（2）

1、已知a＞0，b＞0，求证：(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥8

解：(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a²b²)]·2√(a³b³)=82、已知a+b+c=1,a,b,c为不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞1/3 解：a²+b²≥2ab, a²+ c²≥2ac, b²+c²≥2bc

因为a,b,c为不全相等的实数，故：上面三式不能同时取等号。故：2(a²+b²+c²)≥2ab+2bc+2ac

故：3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²=

1故：a²+b²+c²＞1/

3练习：

1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）

2、若x，y＞0,且2x²+y²/3=8，求x√(6+2y²)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y²)平方]

（3）a＞0，b＞0，c＞0，求证：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a

=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a

=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6

（4）a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c

解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)

=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c

（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 证明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c

故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c

（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值

解：因为x＜0，故：-x＞o

故：(-x)+(-1/x)≥

2故：y=x+1/x≤-2

(7)

1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值

解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此时a=2,b=

12、若0＜x＜1,求证：a²/x+b²/(1-x)≥(a-b)²

解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜

1∴a²/x+b²/(1-x)=a²/x·[x+(1-x)]+b²/(1-x)[x+(1-x)]

=a²+a²(1-x)/x+b²+b²x/(1-x)≥a²+b²+2ab=(a+b)²

当a²(1-x)/x=b²x/(1-x)时，取等号。

练习：当a＞1时，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）

（一）均值不等式的运用(2)

均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab

附： 完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。

(8)已知二次函数f(x)=ax²-bx+c，且f(x)=0的两根为x1，x2都在(0,1)内，求证：f(0)·f(1)≤a²/16

证明：因为f(x)=0的两根为x1，x2，故：可设f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因为0＜x1＜1, 0＜x2＜1

故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a²·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a²·[(x1+1-x1)/2] ² ·[(x2+1-x2)] ²= a²/16

(9)已知a,b＞0,a+b=1，求证：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤

2证明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2

同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2

故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2

（10）a,b,c＞0,比较a³+b³+c³与a²b+b²c+c²a的大小

解： a²+b²≥2ab

故：a²-ab+b²≥ab

不等式两边同乘以a+b,不等号方向不变。

可得:a³+b³≥a²b+b²a(1)

同理可得:b³+c³≥b²c+c²b(2)

c³+a³≥c²a+a²c(3)

(1)+(2)+(3)得：

2(a³+b³+c³)≥2(a²b+b²c+c²a)

a³+b³+c³≥a²b+b²c+c²a

（11）设a、b、c都是正数，求证1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）证明：因为(a-b)²≥0

故：a²-2ab+b²≥0

故：a²+2ab+b²≥4ab

故：(a+b)²≥4ab[两边同时除以4ab/(a+b)]

故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)

故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)

同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)

故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

（12）均值代换：已知a+b=1,a,b∈R,求证：(a+2)²+(b+2)²≥25/2 解；∵a+b=1,设a=1/2+t,b=1/2-t

故：(a+2)²+(b+2)²=2t²+25/2≥25/

2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求证：1/x+1/y≥3+2√2

证明：设2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)

故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2

（二）利用判别式“△=b²-4ac”及一元二次方程

1、若x²+xy+y²=1,且x，y为实数，则x²+y²的取值范围？

解：令t=x²+y²＞0

故： y²=t-x²

故：y=±√(t-x²)

故：t±x√(t-x²)=

1故：x²(t-x²)=(1-t)²

故：x^4-tx²+(1-t)²=0

故：△=t²-4(1-t)²≥0

故：2/3≤t≤

2即：2/3≤x²+y²≤22、设a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值

解：ab≤[(a+b)/2] ²，故：[(a+b)/2] ²-(a+b)-1≥0

故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]

故：a+b的最小值是2√2+2，此时a=b=√2+

1因为ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+

33、设a+b+c=1, a²+b²+c²=1且a＞b＞c,求证：-1/3＜c＜0

证明：因为a+b+c=1，故：(a+b+c)²=1，即：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1 因为a²+b²+c²=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一个负数

因为a＞b＞c，故：c＜0

因为a+b+c=1，ab+ac+bc=0

故：a+b=1-c，ab=c(1-c)

故：a、b可以看作方程x²+(c-1)x+c(1-c)=0两个不相等的实数根

故：△=(c-1)²-4c(c-1)＞0

故：(c-1)(c-1-4c)＞0

故：-1/3＜c＜

1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值

解：设X+Y=t，因为X>0,Y>0

故：t>0

因为XY-X-Y=

1故：XY＝1+t

故：X、Y可以看作方程z²-tz+(1+t)＝0的两个实数根

故：△=t²-4(1+t)≥0

故：t²-4t-4≥0

(t-2)²≥8

故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因为t>0）

故：t≥2√2＋

2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此时X＝Y＝√2＋

15、.已知正数ab满足a+b=1，求ab+1/ab的最小值

解： ∵正数ab

∴ab+1/ab≥

2令ab+1/ab=t≥2

故：ab=[t±√(t²-4)]/2

故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t²-4)]/2=0的两根

故：△=1-4×[t±√(t²-4)]/2≥0

故：±√(t²-4)≥t-1/

2因为t-1/2＞0

故：√(t²-4)≥t-1/2＞0

故：t≥17/

4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此时a=b=1/2

（三）利用几何意义求极值

1、求下面函数的极小值：y=√(x²+4)+√[(12-x)²+9]

解：√(x²+4)+√[(12-x)²+9]可以看作点(x,0)到点(0,2)和(12,3)的距离之和 而点(0,2)关于x轴的对称点是(0,-2)

故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之间的距离，即：132、a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边，若（m,n)在直线ax+by+2c=0上，求m²+n²的最小值

解：因为a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边

故：a²+b²=c²

因为√(m²+n²)=√[(m-0)²+(n-0)²]，即：√(m²+n²)表示点（m,n)到原点距离，因为（m,n)在直线ax+by+2c=0上

而原点到直线的距离是∣a×0+b×0+2c∣/√(a²+b²)=2c/c=2

故：m²+n²的最小值是2²=4，此时n=-2b/c，m=-2a/c

第三篇：不等式的应用——最值问题·教案

不等式的应用（2）——最值问题·教案

北京市五中 李欣

教学目标

1．深刻理解不等式中，两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一定理，即平均值定理．

2．熟练应用平均值定理，求某些问题的最值．

3．培养学生严谨的思维品质，以及对数学思想方法的理解和运用，提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力．

教学重点与难点

平均值定理适用的条件，及其变形使用． 教学过程设计

（一）不等式平均值定理的功能

师：不等式平均值定理的内容是：若干个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．即：

如果a1，a2，a3，„，an∈R+且n∈N+，n＞1，那么

在高中阶段，我们只要求同学掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．请同学用数学表达式表示上述定理．

（教师板书）

师：由两个不等式的结构来看，它们的功能是：从左往右可以把和的形式缩小为积的形式；从右往左可以把积的形式扩大为和的形式．为了使用方便，通常把不等式变形为

由于平均值定理在特殊形式下，可以进行放缩变换，因而它在数学中，可以作为用综合法证明不等式的依据，还可以作为求最值问题的工具．

今天，我们主要研究应用平均值定理求最值的问题．

（二）应用平均值定理求函数的最值

例1 当0＜x＜2时，求函数y=x（2-x）的最大值．

师：函数y=x（2-x）是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？ 生：可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式． 师：平均值定理是对正数而言的，由于x，2-x都是正数，所以

在什么条件下“≤”取“=”号？

生：当且仅当x=2-x，即x=1时，取等号．此时，y的最大值为1． 师：把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行．

从而求出最小值．（教师板书）

解：由x＞1，知x-1＞0．则

中等号成立．

所以当x=2时，y的最小值为6． 师：运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定值出现．即

①，当且仅当a=b时．取“=”号．

（定值）②，当且仅当a=b=c时，取“=”号． 不等式①②可以在求函数的最大值时使用．

③，当且仅当a=b时，取“=”号．

值）④，当且仅当a=b=c时，取“=”号． 不等式③，④可以在求函数的最小值时使用．

例2 中对函数式的运算结构稍做变化，就可以使用定理了． 例3 填空题：

师：请同学来分析（1）． 生甲：由于x＞0，则

生乙：我的做法与甲同学不一样． 由于x＞0，则

师：甲、乙两位同学对函数式的变形采取了不同的方法，但都得到了定积，谁是谁非呢？

师：分析的很好！在拆、凑函数式的时候，除了要考虑能否得到“定积”或“定和”以外，还要顾及使用平均值定理后，能否取“=”号．这一条件如果思维不严密，就会出现错误．

由学生自己解（2）．（板书如下）

y=x2·（5-2x）=x·x·（5-2x）

如果学生的板书有漏洞或错误，教师可以边纠正，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤．

如果学生板书没有问题，教师可以请学生总结步骤．并进行适当的引导或补充．

应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：（1）函数式中诸元素是否为正数；（2）诸元素的和或积是否为定值；（3）判断“=”是否成立．

（三）灵活运用平均值定理求最值

师：此题为三角函数求最值的问题，应从何处入手？

用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，应从配、凑和为定值入手．

师：函数式中涉及到正、余弦两种三角函数，可以利用同角的平方关系进行转化．

（2sin2x+cos2x+cos2x）为定值；即可求出y2的最大值．

师：对函数式的变形是灵活多样的，但宗旨都是使和或积为定值． 例5 若正数x，y满足6x+5y=36，求xy的最大值． 教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学发言． 生：已知是两正数和的等式．要求两数积的最大值，可以由

（板书如下）

解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以

当且仅当6x=5y时，取“=”号．

师：函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？

生：可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化．

师：换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化．

（四）不等式在应用问题中的应用

例7 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

师：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．

生：设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形． 生：我受例4的启发，发现可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．

解法如下：

解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则

y=abc，2ab+2bc+2ac=S．

而

y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）

当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值

师：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证。

（五）布置作业： 1．选择题：

（1）设a，b为实数，且a+b=3，那么2a+2b的最小值是 [ ]。

（2）设a＞0，b＞0，且2a+5b=200，那么lg a+lg b满足 [ ]。

A．当 a=50，b=20时，取最大值 5 B．当a=50，b=20时，取最大值3 C．当a=50，b=20时，取最小值 5 D．当 a=50，b=20时，取最小值 3（3）x，y是满足2x+y-1=0的正实数，那么xy [ ]。

22．填空题：

3．当0＜x＜1时，求y=x2（1-x）的最大值。

5．用一块正方形的白铁片，在它的四个角各剪去一个相等的小正方形，制成一个无盖的盒子，问当小正方形的边长为多大时，制成的盒子才有最大的体积？并求出这个体积。

材料每平方米 3元，用作侧面的材料每平方米2元，问怎样设计容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不计拼接时用料和其它损耗）。

作业答案或提示：

1．选择题：（1）B；（2）B；（3）B。

5．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为x，盒子的体积是

课堂教学设计说明

本课以平均值定理的应用为主线，例1，例2从抓典型思路入手，引导学生积极参与，使学生掌握求最值的一般方法，例3，例4则是通过对典型错误的辨析和纠正，加深了学生对定理条件的理解，进一步激发了学生的学习兴趣，提高了思维的严谨性，在此基础上，例5，例6则突出了化归转化和换元法在解题中的作用，使学生认识到数学思想方法就是运用数学知识分析问题和解决问题的观点，方法、解题中的很多错误，都是因为对思想方法的认识肤浅造成的，只有领悟思想方法的实质，才能不断提高解题能力和纠错、防错能力． 例7是为了提高学生解决实际问题的意识而设计的．但如果时间不够，可以专门设计一节课，利用平均值定理解应用问题．

第四篇：最值证明不等式

最值证明不等式

ln x(2)证明：f(x)＝>x－1(x>0，x≠1)x

18．证：令g(x)＝x－1－f(x)，原不等式等价于 g(x)>0(x>0，x≠1)．

g(x)满足g(1)＝0，且

x－1＋ln xg′(x)＝1x当0

2当x>1时，x－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．

所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．

ln x所以f(x)＝－1(x>0，x≠1)x

第五篇：不等式证明、最值求法

不等式的证明（论一个不等式的应用）

贵刊2004(11)发表李建新老师《巧用向量求值》一文（以下简称原文），经笔者研究发现，原文中的所有最值问题都可以用下面的一个不等式加以解决，而且相比之下比李老师的向量法在处理上更简单一些，故写此文和大家交流．

x2y222

2定理 若实数a,b,x,y满足221，则ab≥(xy)．

abx2y2b2x2a2y2222222

证明：ab(ab)(22)xy2 2

abab

222

≥xy2xy(xy)，xy

由证明过程易知等号成立的条件是22．

ab

注 这个不等式的条件是一个椭圆方程，故称此不等式为椭圆不等式．

１ 求满足整式方程的未知数的代数式的最值

例１ 已知x,y满足xy2x4y0，求x2y的最值（1988年广东高考题，原文例１）．

(x1)24(y2)2

解：xy2x4y01，依定理有

520

520[(x1)2(y2)]2，即(x2y5)，解得0x2y10，当且仅当2

5x1

y222

(x2y)min0，且xy2x4y0，即xy0时，当x2,y4

时，(x2y)max10．

例２ 已知a,bR，且ab10，求(a2)(b3)的最小值（第10届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题）．

(a2)2(b3)2

1，由定理得： 解：令(a2)(b3)=t，则

tt

2t≥(ab5)2(ab16)236，即t≥18，当且仅当a2b3且ab10

时，即a1,b0时，tmin18，从而(a2)(b3)的最小值为18．

２ 求满足三元一次方程及三元二次方程的未知数的最值

例３ 已知实数x1,x2,x3满足方程x1

111212x2x31及x12x2x33，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三数学竞赛试题，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1x2x31x1x21x3，x12x2x331

222323233x3(3x3)323

由定理得

111112112121

(3x32)(3x32)(x1x2)23x32(x1x2)23x32(1x3)2x33

323233233311

从而x3的最小值为

21． 11

３ 求满足整式方程的未知数的分式的最值

例４ 如果实数x,y满足等式(x2)y3，求题）．

y的最大值（1990年全国高考试x

y

k，则ykx，由已知等式(x2)2y23可得 x

(2kkx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴≤k≤3，133kk4k2

33k

y

从而的最大值为3。

x

y22

例５ 若实数x,y适合方程xy2x4y10,那么代数式的取值范围

x2

解：令

是（第9届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试）．

y

t，则txy2t0，由已知方程得(x1)2(y2)24，变形得：x2

(txt)2(y2)2

1，∴由定理得：4t24≥(txy2t)2(23t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代数式的取值范围是[0，]．

5x25

y122

例６ 已知实数x,y满足方程(x2)y1，求的最小值(第10届＂希望杯＂

x2

解：令

邀请赛数学竞赛高二试题，原文例4)

(kx2k)2(kx2k1)2y122

1，解：设k，则ykx2k1，(x2)y1

k21x2

由定理得k1[(kx2k)(kx2k1)](14k)，解得0k４ 求满足不等式的未知数的最值

例７ 若2xy1，uy2yx6x，则u的最小值等于（）A．

y18，即的最小值为０． 15x2

77141

4B．C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题）

4(x3)2(y1)2

1，依定理及条件有 解：uy2yx6x

4(u10)u10

36142(x3)

当且仅当10，y1且2xy1

554

31114

时，即x,y时，umin，故选(B)．

555

11n

例８ 设abc，且≥恒成立，则n的最大值是（第11

abbcac

5(u10)(2xy5)236，即u

届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试，原文例１１）．

解：令

11112

=t，则=1，从而t(ac)≥(11)4，

t(ab)t(bc)abbc

由已知得ac0，故t≥５ 求无理函数的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． 

abbcacac

1994年上海市高三数学竞赛题，原

例９

求函数y文例５）．

解：由1994x0且x19930得1993x1994，两边平方易得y1，又

1

1994xx1993，由定理得：22，

1y



故函数y６ 求满足分式方程的未知数的代数式的最值

例１０ 设x,y,a,bR，且



ab

1，则xy的最小值为（第11届＂希望xy

杯＂全国数学邀请赛高二培训题）．

解：

依定理有xy，ab

1，即x，xy

x

时，(xy)min2．

例１１ 已知x,y(0,)，且数学竞赛试题，原文例６）．

解：由已知条件和定理有：xy117． 定理的推广 若

1998

1，求xy的最小值（1998年湖南省高中xy

a

i1

n

bi

i

1，则ai≥（i1

n

b)

ii1

2i

n，其中ai与bi同号（i=1，2，． ,n）

证明：由Cauchy不等式及已知条件有：７ 求使多项式函数取最值的未知数的值

a=a.a

i

i1

i1

nnn

bi

i

≥（i1

b)．

2ii12

n

例１２ 求实数x,y的值，使得(y1)(xy3)(2xy6)达到最小值（2001年全国高中数学联赛试题，原文例７）．

1()y2(22x6y)6(2)xy

解：令(y1)(xy3)(2xy6)t，则t4tt

1，由定理的推广得：6t[(1y)(2x2y6)(62xy)]1，即t，当且仅当6

1yxy362xy55

(y1)2(xy3)2(2xy6)2达，即x,y时，

12126

到最小值．

6８ 求满足分式方程的未知数的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,zR,，求的最2

1x21y21z21x21y21z2



大值（1990年首届＂希望杯＂全国数学邀请赛培训题，原文例８）．

x2y2z2111

2解：由易知1，而 1x21y21z21x21y21z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1y21，依定理的推广可有222

1x1y1z

1x21y21z2222xyz2xyz2，即()(2，从222222222

1x1y1z1x1y1z1x1y1z

而

xyz

． 

1x21y21

z2

９ 求无理式的最值

例１４ 如果abc1，（第８届＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题，原文例９）．

解：由条件知(3a1)(3b1)(3c1)6，则

3a13b13c1

1，由定理

666

的推广得：18，且仅当abc

时达到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函数的最值

例１５的最大值为M，最小值为N，则

（1999年＂希望杯＂数学邀请赛，山西、江西、天津赛区高二试题，原文例12）．

解：由1tanx



N

tanx13tanx



1，由定理得422

2，即M=2，故

M． N１１ 求对数函数的最值

例１６ 已知ab1000,a1,b

1，则的最大值是多少？（第13届＂希望杯＂全国邀请赛高二培训题，原文例13）．

解：由已知易得：(1lga)(1lgb)5，即

1lga1lgb

1，由定理有

10

2

由上我们可以看出，用本文中的定理和定理的推广要比文［１］中用向量解决这些问题

简单的多．当然，这样的例子很多的，这里不再赘述，请读者自行研究，以下是几个练习．

练习

１．设x,y,zR，且xyz1，求队第一轮选拔赛题）．（答案：３６）

２．已知x,y,zR,xyz1，求数学问题1504）．（答案：６４）

３．函数y



149

的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《数学通报》2004（7），22的最小值（2

xyz

3xx2的最小值为12届“希望杯”全国数学邀请赛高

参 考 文 献

一培训题）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．数学教学，2004，1１．