高中不等式问题专题讲解

第一篇：高中不等式问题专题讲解

不等式

不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

一、知识整合1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．

2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．

3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．

4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．

5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．

6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用

1不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。

7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．

二、方法技巧

1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解。

2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。

三、例题分析

b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．

分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元

素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？ 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·

|y-1|+(y+3)

(2)当1≤y≤3时，所以当y=1时，xmin= 4．

简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示 其

数

学

实

质

．

即

求

集

合M

中的元

素

满

足

关

系

式

例2．已知非负实数x，y满足2x3y80且3x2y70，则xy的最大值是（）A．

B．C．2D． 3 3

3解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 例3．数列xn由下列条件确定：x1a0,xn1（1）证明：对于n2,总有xn



1a

 x,nNn2xn

a,（2）证明：对于n2,总有xnxn1． 证明：（1）x1a0及xn1(xn

a1aa)知xn0,从而xn1(xn)xna(nN)xn2xnxn

当n2时xna成立

（2）当n2时，xn

a0,xn1

1a1a

(xn),xn1xn(xn)2xn2xn

1axn

=0.n2时,xnxn1成立。2xn

2a

2a0 例4．解关于x的不等式：xxa9

分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

xaxa

解：当xa时，不等式可转化为 即222

9xxa2a9x9ax2a0

ax

3a b

xaxa

当xa时不等式可化为即222

ax(ax)2a9x9ax2a0

x

a2a或xa33

a

故不等式的解集为(,2a,3

3





a。6

例5．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围． 分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．

解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性质)

不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)

所以f(-2)的取值范围是[6，10]． 解法二(数形结合)

建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10． 解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，① 所以3≤3f(-1)≤6．② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．

例6．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=x，均不相交.试证明对一切xR都有

ax2bxc

.4a

分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)． 证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则

又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故

Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．

所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．

简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．

例7．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

解：设2001年末的汽车保有量为a1，以后每年末的汽车保有量依次为a2,a3....，每年新增汽车x万辆。由题意得

an10.94anx即an1

x0.060.94(ax

n0.06)axn(30)0.94n1x

0.060.06

令a60,解得x(3030

n10.94n1)0.06

上式右端是关于n的减函数,且当n时,上式趋于3.6故要对一切自然数n满足an60,应有x3.6,即每年新增汽车不应超过3.6万辆

第二篇：高中含参不等式的恒成立问题整理版

高中数学不等式的恒成立问题

一、用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

基本结论总结

例1  对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

例2：已知不等式对于Ｒ恒成立，求参数的取值范围．

解：要使对于Ｒ恒成立，则只须满足：

（1）

或（2）

解（1）得，解（2）＝２

∴参数的取值范围是－２＜２．

练习1.已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。

2.若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

3.若不等式的解集是R，求m的范围。

4.取一切实数时，使恒有意义，求实数的取值范围．

例3．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。

O

x

yx

关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

解：，则当时，恒成立

当时，显然成立；

当时，如图，恒成立的充要条件为：

解得。综上可得实数的取值范围为。

例4

。已知，求使不等式对任意恒成立的a的取值范围。

解法1：数形结合结合函数的草图可知时恒成立

。所以a的取值范围是。

解法2：转化为最值研究

1.若上的最大值。

2.若，得，所以。

综上：a的取值范围是。

注：1.此处是对参a进行分类讨论，每一类中求得的a的范围均合题意，故对每一类中所求得的a的范围求并集。

2.恒成立；

解法3：分离参数

。设，注：1.运用此法最终仍归结为求函数的最值，但由于将参数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

2.本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。

仿解法1：即

读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处也合题。

例5.已知：求使恒成立的a的取值范围。

解法1：数形结合结合的草图可得：

或得：。

解法2：转化为最值研究

1.，所以。

2.若矛盾。

3.若矛盾。综上：a的取值范围是。

解法3：分离参数

1.时，不等式显然成立，即此时a可为任意实数；

2.时。因为上单调递减，所以；

3.时。因为在（0，1）上单调递减，所以

。综上：a的范围是：。

注：本题中由于x的取值可正可负，不便对参数a直接分离，故采取了先对x分类，再分离参数a，最后对各类中求得a的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a的范围求并集是不同的，应引起注意！

例6.已知：，求使对任意恒成立的x的取值范围。

解：习惯上视x为主元而a为辅元，但本题中是a在上任意变化时不等式恒成立，故可将a视为主元。

变更主元法：设，则的图像为一直线，则时恒成立

即x的范围是：

总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。

二、利用函数的最值（或值域）

（1）对任意x都成立

（2）对任意x都成立。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例1．已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得

而抛物线在的最小值得

例2

已知，若恒成立，求a的取值范围.解析

本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立

或或，即a的取值范围为.点评

对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本题也可以用零点分布策略求解.设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：是增函数对于任意恒成立

对于任意恒成立

对于任意恒成立，令，所以原问题，又即

易求得。

三、变更主元法

在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.用一次函数的性质

对于一次函数有：

例题1：已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，原不等式可化为

令是关于m的一次函数。

由题意知解得∴x的取值范围是

关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了

例2．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。

解：令，则原问题转化为恒成立（）。

当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。

故的取值范围为。

例3

已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0

恒成立，求x的取值范围.解析

本题按常规思路是分a=0时f(x)是一次函数，a≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成常参数，我们可以通过变量转换，把a看成变量，x看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]时，g(a)>0恒成立，则，得.点评

对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。

例4

对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把

p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。

解：原不等式可化为

(x-1)p+x2-2x+1>0,令

f(p)=

(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：o

y

x

y

x

方法一：或∴x<-1或x>3.方法二：即解得：∴x<-1或x>3.例5

已知，若恒成立，求a的取值范围.解析

本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或或，即a的取值范围为[-7，2].点评

对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.设

（1）当时，上恒成立，上恒成立

（2）当时，上恒成立

上恒成立

例6

若时，不等式恒成立，求的取值范围。

解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。

（1）

当即：时，又所以不存在；

（2）

当即：时，又

（3）

当

即：时，又

综上所得：

四、分离参数法

此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：

若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；

若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.例1．已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。

例2．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。

解：

将问题转化为对恒成立，令，则

由可知在上为减函数，故

∴即的取值范围为。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

例3

已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.解析

本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于恒成立对于恒成立,令,设,则,即x=1时,k的取值范围是k>2.变式

若本题中将改为，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于恒成立对于恒成立,令,设,则，，k的取值范围是k>.点评

本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值.变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.五、数形结合法

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例1　已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是

.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是

x

y

o

y1=(x-1)2

y2=logax

例2

当x(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),<恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需

故loga2>1,a>1,1

若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。

解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和

观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；

当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，综上得：

注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.练习1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

变式：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

练习2：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

变式1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

变式2：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

第三篇：高中形容词讲解

一、表语形容词和定语形容词

1.所谓表语形容词，即指只用干连系动词后作表语，不能用于名词前作定语的形容词。这类形容词常见的有：

afraid害怕的alike相同的alive活着的alone单独的ashamed羞愧的asleep睡着的awake醒着的aware意识到的ill有病的well身体健康的glad高兴的pleased高兴的sorry难过的content满意的2.所谓定语形容词，即指只用于名词前作定语（即前置定语），而不用作表语，也不能用于名词后作定语（即不用作后置定语）的形容词。这类形容词常见的有：daily每日的everyday每日的monthly每月的present现在的last刚过去的timely及时的complete彻底的pure完全的perfect全然的upstairs楼上的downstairs楼下的mere仅仅的二、-ed形容词和-ing形容词

有人认为-ed形容词只用于人，-ing形容词只用于物，这种说法太绝对，有时不一定对。正确的理解是：-ed形容词表示“（某人）感到„„”；-ing形容词表示“（某事物）令人„„”。如：

People are interested in interesting stories.人们对有趣的故事感兴趣。He was annoyed with the annoying person.他对这个讨厌的人很生气。比较：

a frightened look害怕的表情（指带有这种表情的人感到害怕）

a frightening look吓人的表情（指这种表情令人害怕）

an excited talk心情激动的谈话（指谈话的人心情激动）

an exciting talk令人激动的谈话（指谈话令人激动）

三、前置形容词的排列顺序

名词前的修饰语排列顺序通常为“限定词 + 形容词 + 名词”，若其中的形容词不止一个，则它们的排列大致遵循以下原则：

描绘形容词->大小（长短高低）形容词->形状形容词->年龄（新旧）形容词->颜色形容词->国籍形容词->材料形容词->用途（类别）形容词->名词

This is a nice（好看的）small（小小的）round（圆形的）new（新的）brown（褐色的）French（法国产的）oak（橡木做的）writing desk（写字台）.注：形容词修饰不定代词时要位于不定代词的后面；副词enough修饰形容词或副词时总是位干其后。如：

There's something unusual in her voice.她声音有些反常。

The situation is serious enough.形势句多严重的。

四、类似high与highly的词语区别

一般来说，与形容词同形的副词通常表示具体情况，而带-ly的副词一般表示抽象概念。如：

high髙地->highly高度地，非常

wide广阔地->widely广泛地

close接近地->closely仔细地，密切地

deep深地-> deeply深深地，非常

另外，修饰形容词或在动词前通常只用-ly副词。比较：

I bought this car cheap [cheaply], 我这汽车买得很便宜。

This car was cheaply bought.这辆汽车买得很便宜。（此句的cheaply不能换成cheap）

有时两者的意义相差很大，如：

hard努力地，坚硬地->hardly几乎不

near不远，近->nearly几乎

most最，大多数->mostly主要地，大部分，通常

late晚，迟->lately最近

free免费地，松动地->freely自由地，随便地，无限制地

某些固定表达是否带-ly视习惯而定。如：

deep in thought沉思deep into the night深夜

take it easy别急easy come, easy go易得则易失

sound asleep熟睡wide open完全开着

wide awake完全醒着

五、形容词与副词比较等级的构成1.单音节和部分双音节形容词或副词通常加后缀-er和-est构成比较级和最高级。此时，还需注意：若原级以字母e结尾，则只加-r和-st;若原级以“辅音字母 + y”结尾，则应将y改为i, 再加-er和-est构成比较级和最高级；若原级为重读闭音节结尾，且末尾只有一个辅音字母，则双写这个辅音字母后再加词尾-er和-est构成比较级和最高级。如：

long-> longer-> longest large-> larger-> largest

busy-> busier-> busiest big-> bigger-> biggest

2.多音节和部分双音节形容词在其前加more和most构成比较级和最高级。如：useful-> more useful-> most useful

difficult-> more difficult-> most difficult

常见的不规则形容词与副词的比较等级变化：good-> better-> best；well-> better-> best；bad-> worse-> worst；badly-> worse-> worst；ill-> worse-> worst；much-> more-> most；many-> more-> most；little-> less-> least；far-> farther / further-> farthest / furthest等等。注：less和least也用来构成比较级和最高级，表示“较不„„”和“最不„„”：careful-> less careful-> least careful。

六、使用比较等级的两个易错点

1.误用双重比较等级，即在已经加了词尾-er的比较级前或本身已是比较级前再加more。如：

误：He is more better today.（去掉more，或将more改为much）

2.误将自己与自己比较。如：

误：Changsha is larger than any city in Hunan.（应在any后加other）

七、比较级和最高级的常见修饰语

1.比较级的修饰语有：表示“稍稍”、“一点”的a bit, a little, rather, some, any等，表示“„„得多”的much, far, a great(good)deal, a lot, a good bit等；表示“更加”的still, even, yet等；表示确定程度的修饰语，如分数或有关长度、时间、重量等名词词组通常放在比较级前，也可由by引出而置于比较级之后。如：

It is even colder than yesterday.今天比昨天还冷。

Do you feel any better today? 你今天感觉好点儿了吗？

He is two years younger than me.他比我小两岁。

He is a head taller than his younger sister.他比他妹妹高一个头。

This bridge is 10 meters longer than that one.这座桥比那座桥长10米。This bridge is longer than that one by 10 meters.这座桥比那座桥长10米。

注：在修饰或代替复数可数名词的more前不可用much，而要用many；除quite better外，quite, very, so等不可修饰比较级。

2.最高级前可用(the)very,(the)second, much the,(by)far the, not quite the, nearly, almost, by no means等修饰。如：

He is far more careful than I am.他比我仔细得多。

This is much the most important.这是最重要的。

Hainan is the second largest island in China.海南是中国第二大岛。This is quite far the most expensive bicycle in the shop.这是这家商店里最贵的自行车。

注：very不能修饰比较级，却可修饰最高级，但它与一般的修饰最高级的副词有所不同，即它要放在最高级前的定冠词之后，而不是之前（另外，second, third, next等也要放在定冠词之后）。

八、重要比较结构归纳

1.as...as。意为“与„„一样”，在否定句中，第一个as也可换成so。如：He is as busy as before.他还是像以前那样忙。

He isn't as [so] old as he looks.他没有看上去那么老。

2.more and more。意为“越来越„„”。如：

Your English is getting better and better.你的英语越来越好了。

3.the more...the more...。“越（是），越„„”。如：

The more money you make, the more you spend.你挣的钱越多，花得也越多。

4.more than与less than。前者表示“多于”、“不只是”、“非常”等，后者表示“少干”、“不足”、“不太”、“毫不”。如：

We waited for more than three hours.我们等了三个多小时。

She was more than kind to us.她对我们太好了。

It cost less than ￡ 5.它的价钱还不到5英镑。

The boys were less than happy about having a party.对于开晚会男孩们并不很高兴。

5.more...than与less„than。用于本义，前者指“比„„多（更）”，后者指“比„„少”；用于引申义，两者均可表示“与其„„不如„„”，但表达方式不同。

如：

He was more frightened than hurt.= He was less hurt than frightened.他与其说受了伤，不如说受了惊吓。

He is more an expert than a teacher.= He is less a teacher than an expert.与其说他是老师，不如说他是专家。

6.no + 比较级 + than。该结构主要用于对两个待比较的对象进行否定，意为“与„„一样不”，相当于该原级形容词或副词的反义词使用as...as结构的意思。如：

He is no cleverer than her.= He is as foolish as her.他不比她聪明。（即两人一样蠢）

His English is no better than mine.= His English is as bad as mine.他的英语不比我的英语好。（即两人的英语一样差）注：由此可推知以下结构的意思：

(1)no more than的意思是“与„„一样不多”、“只有”。如：He has no more than two dictionaries.他只有两本词典。

(2)no less than的意思是“与„„一样不少”、“多达”。如：He made no less than ￡ 500.他赚了多达500英镑。

(3)no more...than的意思是“同„„一样不”(=neither...nor)。如： He is no more a writer than a painter.他不是画家，也不是作家。

(4)no less...than的意思是“和„„一样”。如：

Your younger brother is no less wise than you.你的弟弟跟你一样聪明。

第四篇：不等式主题层面问题

不等式主题层面问题：

不等式是刻画不等关系的数学模型，研究不等式可以帮助学生更深刻的认识和掌握事物之间的运动变化及其相应的规律，同时，不等式的知识的广泛应用可以帮助学生进一步体验数学的应用价值，有助于激发学生学习的兴趣，增强学生的数学应用意识与解决实际问题的能力.不等式与方程、函数和导数有着很重要的联系，不等式在讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最值、解决线性规划问题等方面都有很重要的意义和用途，不等式是进一步学习数学知识的基础.本环节在数学的学习中有着承上启下的作用.第一个阶段是学生在初中对不等式的概念以及一元一次不等式（组）的简单解法，这个阶段学生对不等式有了感性的认识，学会了解决最简单的有关不等式的问题.第二阶段是对均值定理、一元二次不等式的解法及简单的线性规划问题，在这一阶段，学生对不等式的性质有了理性的认识，并初步了解了证明不等式的方法，进一步增强了应用不等式解决实际问题的意识，为今后的学习打下了良好的基础.第三阶段是对比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法的学习与应用，并对绝对值不等式和柯西不等式的实质有了进一步的掌握，从数学思维训练和渗透数学思想方法的角度进行了强化.在本环节中通过对典型例题的分析和一些实际问题的探索性解答，可以使学生对相关概念和结论的认识更加理性化，并体会蕴含在其中的数学思想，例如一元二次不等式的求解就是建立函数图像和方程的解之间的相互联系，而在简单的线性规划问题中更是从点和数的对应、线和方程的对应过度到了平面区域与不等式（组）的对应，从而使学生体会到了数形结合思想在实际问题中应用的重要性.本环节还突出了发展学生应用数学的意识.当今时代，数学应用的巨大发展就是数学发展的显著特点.在社会生活的方方面面，数学都发挥了无可比拟的重要作用，高中数学课程整式顺应了这个发展的趋势，使学生体验了数学在解决实际问题中的作用，并体现了数学与其他学科在实际生活中的联系，在本环节中“不等式的实际应用”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”都是为了体验数学在实际生活中的应用环节.对于促进学生逐步形成和发展教学应用意识，提高实践能力，都有非常重要的意义.

第五篇：均值不等式及线性规划问题

均值不等式及线性规划问题

学习目标：

1．理解均值不等式，能用均值不等式解决简单的最值问题；

2．能运用不等式的性质和均值不等式证明简单的不等式．

学习重点：

均值不等式的理解．

学习难点：

均值不等式的应用．

内容解析：

一、均值不等式

如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）．

我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．

注：[1] 定理适用的范围：；

[2]“当且仅当”的含义：等价条件．

推广：1．如果，那么（当且仅当时取等号）．

均值不等式的应用：不等式的证明、求最值．

注：[1] 可以使用均值不等式的条件：正，定，等；

[2] 积为定值时，和有最小值；和为定值时，积有最大值．

二、不等式证明

1． 证明不等式的方法

(1)比较法：作差法和作商法两种．

作商法应在两个数的符号相同时使用．

(2)综合法．

从题目的条件出发，寻找证明的中间结论．

(3)分析法．

从要证的结论出发，寻找可以推得此结论的条件．

2． 几个常用的重要不等式

①．

②，．

③，．

例1.下列函数中，最小值是2的是（）

A.yx1

xB.y3x3x

lgx(1x10)D.ysinx1

sinxC.ylgx(0x

2)

例2.设x,yR，且xy5，则33的最小值是（）xy

A

.B

.C

.D

.x2y4

例3.在约束条件xy1下，目标函数z3xy（）

x20

A.有最大值3，最小值3B.有最大值5，最小值3

C.有最大值5，最小值9D.有最大值3，最小值9

xy4,例4.已知点P(x,y)的坐标满足条件yx,点O为坐标原点，那么zx2y2的最小

x1,

值等于____________,最大值等于_____________

例5.已知，求证：．

例6.已知，求证：．

例7.已知，且，求的最小值．

例8.求证：．

例9.求证：

例10.求下列函数的最值． ．

(1)；

(2)；

(3)

练习

1.如果a0,b0，那么，下列不等式中正确的是（）

A.1

a1

2.不等式bx1B

C.a2b2D.|a||b|

2x0的解集为（）

A.{x|1x2}B.{x|1x2}

C.{x|x1或x2}D.{x|x1或x2}

3.当x>1时，不等式x+

A．(－∞,2]

1x1≥a恒成立，则实数a的取值范围是 C．[3,+∞)D．(－∞,3]B．[2,+∞)

4.已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围是（）A.a7或a24B.a7或a24 C.7a24D.24a7

325.如果a0且a1，Mloga(a1),Nloga(a1)，则（）

A.MNB.MN C.MND.M,N的大小与a值有关

6.已知不等式x22xk210对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是（）A

.(B

.(,)C

.)D.(2,2)

7.正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是__________.8.已知正整数a,b满足4a＋b＝30，使得

2231a1b取最小值时，则a=_______,b=_______ 9.解关于x的不等式x(mm)xm0.10.建造一个容积为4800m,深为3m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120元,那么怎样设计水池能使总造最低，最低总造价为多少元？3