分子为一次因式的二次分式函数值域的求法[五篇模版]

第一篇：分子为一次因式的二次分式函数值域的求法

分子为一次因式的二次分式函数值域的求法

分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=

axb(ac0)函数值域的求法 2cxdxe解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t形如y =t+k/t的函数(t>0,k>0)

③利用函数y=t+k/t的单调性或均值不等式来求值域

例1

y =x1

x1,

x23x3解令x+1=t,得 t0,且x=t-1 ∴y=t=t2t1111tt

13

(t=1时取“=”)t1∴y且y>0 3∵1+t+∴值域为0, 1

第二篇：二次分式函数值域的求法

二次

甘肃王新宏

一定义域为R的二次分式函数用“判别式”法

解题步骤：1把函数转化为关于x的二次方程方程有实根，△≥0求的函数值域

2x2x21：求y =2的值域 xx2

解：∵x+x+2>0恒成立 2

2x2x2由y =2得，xx2

（y-2）x+(y+1)x+y-2=0

①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0R

②当y-2≠0时，即y≠2时,∵xR

∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有实根

∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y-18y+15≤0

∴1≤y≤5

∴函数值域为1,5 2222

练习1：求y =3x的值域 x24334,4 

二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。先来学习“√”函数。

形如y =x+

图像

k(x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 x



值域：2k, 单调性：在x∈0,时，单调递减。在x∈k,时，单调递减。解题步骤：①令分母为t,求出t的范围

②把原函数化为关于t的函数

③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域

2x2x11例2求y =（x3）的值域 22x1

解令2x-1=t,得

t1 2

t111∴y=2 2t22

t1当且仅当时，即t=2时，取“=”。2t

1∴y2 20

∴值域为：2

1,2

71,3 (sinx)23cosx4练习2求y=的值域cosx2

三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=axb(ac0)cx2dxe

解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数

③根据复和函数的单调性得出原函数值域

例3y =x1x1, 2x3x3

解令x+1=t,得

t0,且x=t-1

∴y=t=t2t1111tt

13(t=1时取“=”)t

1∴y且y>0 3∵1+t+

∴值域为0, 3

练习3:求y =1x的值域 ？x2110,2 

四分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。

2x12x26x12(x22x2)2x1例如：y=2==2+ x22x2x2x2x22x2

注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。

张掖实验中学734000（0936）3333296750207wxh@163.com

第三篇：分式函数值域解法

分式函数值域解法汇编

甘肃省定西工贸中专文峰分校 张占荣

函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。

一、相关概念

函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值。

函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

类型一：一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。

1.y=(a0)型

例１ 求函数y=的值域。

解法一：常数分离法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

解：反解y=得x=，对调 y=（x)，∴函数y=的值域为

y。

2.y=(a0)型

分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。

即：将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函数y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。

即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

例３ 求函数y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函数的值域为[，0]。

总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。

类型二：二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

１.y=(a、d不同时为0)，x∈R型

分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式

即可求出值域。

例４ 求函数y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-

∵函数定义域为R，≤y≤。

∴函数y＝的值域为[-，]。

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。

2.y=(a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因为x<，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函数的值域为。-4

例６ 求的值域。

错解：=≥2。

分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。

解：用单调性法

=，令=t，显然t≥2，则y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。

∴当t=

2、即=

2、x=0时，ymin

=，∴原函数的值域为。

总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。

三、提炼知识，总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不多做说明

第四篇：高中函数值域的5种求法

高中函数值域的5种求法

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一、观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二、反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或

y>1｝）

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/

3当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

五、最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值

f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

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第五篇：高一上数学练习十三(函数值域的几种求法)

高一上数学练习十三(函数值域的几种求法)

（1）

一．配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。

1、求函数yx2x的值域

2xt，则解：令1t2x2（t0）于是原函数变为

1t21yt(t1)21,t0,y1，即值域为,1。2

2[评注] 形如yaxbd 的函数均可用此法（换元、配方）求值域。ax2bxc22二．判别式法。一个二次分式函数y(其中ad0)在自变量没有其它限制时就2dxexf

可以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以dx

程，方程有实数解则判别式大于零，得到一个关于2exf移项整理成一个关于x的一元二次方y的不等式，解出y的范围就是函数的值域。

2、求yx21的值域。

2xy0yx4xy304，当 y0 时，xR解：；当 时，故 (4)24y(y3)0，解之得1y4；故原函数的值域为：1,4

5的值域 2x2-4x

3223、求y＝解：由函数关系式变形、整理，得2yx-4yx+3y-5＝0，当y＝0时，-5＝0矛盾，故y≠0；∵x∈R ∴Δ＝(-4y)-4·2y(3y-5)≥0，即0≤y≤5，故0＜y≤5，函数的值域为(0，5)

2xx1值域

4、求函数y=x2x

1解：∵x2x1(x1)2330，24

4∴函数的定义域R，原式可化为

整理得(y1)xy(x2x1)x2x1, 2(y1)xy10，10，∴(y1)2-4(y-1)20,解得y3且 y1.3若y=1,即2x=0,则x=0； 若y1,∵R，即有

综上：函数是值域是{y|

y3}.3三．利用函数的单调性求值域的方法。如果函数么就可以利用端点的函数值来求出值域。

5、、求函数

yf(x)在给出的定义域区间上是严格单调的，那

f(x)y

x（1x4）的值域 x

解：因为函数

1和yx都在区间1,4 上单调递减，所以函数f(x)x在区间1,4xx

上是减函数。于是

7f(4)f(x)f(1)即值域为,0。

4

x25x2

4y

6、求函数的值域

y

解：

x25x2

4x24

x24；令

x

ytt4t在2,上单调易知函数

y递增；故

52所以原函数的值域为：2,



四、利用重要不等式求函数值域的方法。对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域。利用基本不等式ab2取等号”的条件。

7、求函数

ab，可求某些函数的值域与最值，但要注意“全正、定值、yx2(1x)(0x1)的值域

yx2(1x)

11xx2(1x)34xx2(1x)[] 22327

解、因为

当且仅当x2(1x)即x

x23x2

124时取等号，所以函数的值域是0,。

327

f(x)

8、求函数的最值。

f(x)

解：

x23x2

1x21

x21

2

2；所以函数有最小值：22，此时x1

五、数形结合的方法。就是将函数与图形有机地结合起来，利用图形的直观性求出函数的值域。

9、求函数

yx24x22x10的值域。

就

是

说

分析：该题的两个根号实际上可以看作是两个两点间的距离公式，也

y

表示的是点

p(x,0)到点A(0,2)的距离与点p(x,0)到点B(1,3)的距离之和。而点p(x,0)是x轴上的任意点，因此该题就可以等价转化为一条直线上的点到两个定点的距离之和的范围。如图所示 的任意点到

x轴上。

A、B两点的距离之和 都大于等于A、B两点间的距离。所以函数的值域是

26,

六、换元法。通过换元我们将生疏的函数结构转化为熟悉函数结构，然后再来求函安息的值域。特别是某些无理函数的值域常用换元法来求。

10、求函数

y2x34x的值域。

4x

不便于计算，但如果令：t

分析与解：由于题中含有

4x注意t0从而得：

13t213t2xy3t(t0)变形得2y(t1)28(t0)即：y(,4]

42七、部分分离法

适用类型：分式且分子.分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为式。

ykf(x)(k为常数)的形

x2x11：求函数y2的值域。

xx

1分析与解:观察分子、分母中均含有

x2x

项,可利用部分分式法；则有

x2xx2x11y21

xx1x2x

1(x)2

4不妨

令：

131

3f(x)(x)2,g(x)(f(x)0)从而f(x),

24f(x)4

注意：在本题中若出现应排除

31

f(x)0,因为f(x)作为分母.所以g(x)故y0,43,1



'

x2x11'

1另解：观察知道本题中分子较为简单,可令y,求出的值域,进而可得到y2

2xxxx的值域。

x5x6的值域

12、求函数y

x2x6

y

把已知函数化为函数

y

(x2)(x3)x

316(x2)

由此可得 y1∵ x=2时

y

11即 y

5x5x6的值域为 { y| y1且 y1}

∴函数y

5x2x613、求下列函数的值域

x2x

（1）y2；（2）yx2x

xx

1解（1）解法1（配方法）

1123

32xx1(x),，而2

244xx1

141

，y12

3xx13

y1

解法2（判别式法）

x2x2

由y2，得（y1)x(1y)xy0。

xx1

y1时，x无解，y1.又R， 必须(1y)24y(1y)0。

y1。y1,函数的值域为y1.33

（2）解法1（单调性）定义域x，函数yx,y2x

 

均在(,1111]是递增，故y2.2222

解法2（换元法）令

1t2, 2xt,则t0,且x2

y(t1)21(t0),y(,].22214、求函数y=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1(m为常数)，当x[0,2] 时的值域.解：∵y=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1，顶点为(m，-m2-1)，顶点横标为m.若m0，则函数在[0,2]上递增，当x=0时，ymin=-1，当x=2时，ymax=3-4m；此时函数的值域是[-1，3-4a].若m2，则函数在[0,2]上递减，当x=0时，ymax=-1，当x=2时，ymin=3-4m；此时函数的值域是[3-4m，-1].若0m2，则再分成两个对称区间讨论（否则最大最小值难确定）：

①若0m1，则x=m时，ymin=-m2-1，x=2时，ymax=3-4m；此时函数的值域是[-m2-1，3-4m]； ②若1m2，则x=m时，ymin=-a2-1，x=0时，ymax=-1；此时函数的值域是[-a2-1，-1].