(2015·江苏，7，易)不等式2x2－x<4的解集为________．
【解析】 2x2－x<4，即2x2－x<22，∴x2－x<2，即x2－x－2<0，∴(x－2)(x＋1)<0，解得－1 【答案】 {x|－1 1．(2013·北京，5，易)函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝() A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 【答案】 D f(x)向右平移一个单位之后得到的函数应该是g(x)＝e－x，于是f(x)相当于g(x)向左平移一个单位的结果，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，选D.思路点拨：把握函数f(x)的图象与函数y＝ex的图象的关系是解题的关键． 2．(2011·山东，3，易)若点(a，9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为() A．0 B.C．1 D.【答案】 D 由题意有3a＝9，则a＝2，所以tan＝tan＝.3．(2012·山东，3，易)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 A 函数f(x)＝ax在R上是减函数，等价于0＜a＜1(符合a＞0且a≠1)； 函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数，等价于2－a＞0，又a＞0且a≠1，故0＜a＜1或1＜a＜2.故选A.4．(2012·浙江，9，难)设a＞0，b＞0.() A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b 【答案】 A 设f(x)＝2x＋2x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由2a＋2a＝2b＋3b及b＞0，得2a＋2a＞2b＋2b，即f(a)＞f(b)，故有a＞b，即A正确，B错误． 对于命题C，D，令a＝2，则2b－3b＝0，即b为g(x)＝2x－3x的零点．而g(0)＝1＞0，g(2)＝－2＜0，g(4)＝4＞0，故0＜b＜2或b＞2，即0＜b＜a或b＞a，即命题C，D都是错误的，故选A.考向 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0 a>1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 当x＝0时，y＝1，即过定点(0，1) 当x>0时，0 当x<0时，y>1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0 在R上是减函数 在R上是增函数 2.指数函数图象的特点 (1)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． (2)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势； 当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势． (3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0＜c＜d＜1＜a＜b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 当指数函数的底数大于1时，底数越大，图象上升越快；当底数大于0且小于1时，底数越小，图象下降越快． (1)(2012·四川，5)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是() (2)(2015·山东聊城模拟，12)若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________． (3)(2012·山东，15)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________． 【思路导引】 解题(1)的方法是利用分类讨论，即分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，然后逐项排除；解题(2)的关键是正确画出y＝|3x－1|的图象，然后数形结合求解；解题(3)的关键是结合a的不同取值情况分类讨论函数的最值． 【解析】(1)函数y＝ax－由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误． (2)曲线y＝|3x－1|与直线y＝k的图象如图所示，由图象可知，如果y＝|3x－1|与直线y＝k有两个公共点，则实数k应满足0＜k＜1.(3)当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，∴a＝2，m＝，此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意； 当0 与指数函数有关问题的解题思路 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解． (3)求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先，要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (2014·山东济宁三模，10)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是() A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2 【答案】 D 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图． ∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故选D.1．(2015·黑龙江哈尔滨模拟，5)函数f(x)＝的图象() A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】 D f(x)＝＝ex＋，∵f(－x)＝e－x＋＝ex＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于y轴对称． 2．(2015·山东日照一模，5)若x∈(2，4)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，则a，b，c的大小关系是() A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c 【答案】 B ∵b＝(2x)2＝22x，∴要比较a，b，c的大小，只要比较当x∈(2，4)时x2，2x，2x的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x2＞2x＞2x，则a＞c＞b.3．(2015·河北邯郸质检，6)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是() 【答案】 B 由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0，0＜a＜1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－1 A．K的最大值为0 B．K的最小值为0 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 【答案】 D 根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可． 令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.5．(2014·吉林长春模拟，12)已知直线y＝mx与函数f(x)＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是() A．(，4) B．(，＋∞) C．(，5) D．(，2) 【答案】 B(数形结合法)作出函数f(x)＝的图象，如图所示． 直线y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m＞0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y＝mx与函数y＝x2＋1(x＞0)的图象有两个公共点，即方程mx＝x2＋1在x＞0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2＞0，解得m＞.故所求实数m的取值范围是(，＋∞)．故选B.6．(2015·江苏连云港一模，4)当x＞0时，函数y＝(a－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________． 【解析】 由题意知，a－8＞1，解得a＞9.【答案】(9，＋∞) 7．(2015·河南信阳质检，15)若不等式(m2－m)2x－＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________． 【解析】(m2－m)2x－＜1可变形为m2－m＜＋.设t＝，则原条件等价于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立．显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.【答案】(－2，3) 8．(2015·皖南八校联考，15)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a＞0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号) ①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)在R上不具有单调性； ③函数f(|x|)的图象关于y轴对称； ④当0＜a＜1时，函数f(|x|)的最大值是0； ⑤当a＞1时，函数f(|x|)的最大值是0.【解析】 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a＞1时，f(x)在R上为增函数，当0＜a＜1时，f(x)在R上为减函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③真；当0＜a＜1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④真；当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.【答案】 ①③④ 1．(2015·四川，8，易)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 B 由3a>3b>31，得a＞b>1，∴log3a＞log3b＞0.由换底公式得，＞＞0，即loga3＜logb3.而由loga3 2．(2015·浙江，12，中)若a＝log43，则2a＋2－a＝________． 【解析】 ∵a＝log43＝log23，∴2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝(2log23)＋(2log23)－＝3＋3－＝＋＝.【答案】 3．(2015·福建，14，中)若函数f(x)＝(a>0，a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________． 【解析】 当x≤2时，f(x)＝－x＋6，此时f(x)∈[4，＋∞)． ∴当x>2时，f(x)＝3＋logax的值域为[4，＋∞)的子集． ①当a<1时，不符合题意； ②当a>1时，需满足3＋loga2≥4，∴loga2≥logaa，∴a≤2.综上可得1 1．(2013·浙江，3，易)已知x，y为正实数，则() A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg (x＋y)＝2lg x·2lg y C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg (xy)＝2lg x·2lg y 【答案】 D 由指数、对数的运算法则得2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故选D.2．(2014·福建，4，易)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是() 【答案】 B 由题图可知y＝logax过点(3，1)，∴loga3＝1，∴a＝3.对A，y＝在R上为减函数，错误； 对B，y＝x3，符合； 对C，y＝－x3在R上为减函数，错误； 对D，y＝log3(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误． 3．(2013·课标Ⅱ，8，中)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则() A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】 D 由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D.4．(2014·四川，9，难)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．现有下列命题： ①f(－x)＝－f(x)；②f ＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是() A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】 A ∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，∴①正确； ∵f ＝ln－ln ＝ln－ln，∵x∈(－1，1)，∴f ＝2ln(1＋x)－2ln(1－x) ＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，∴②正确； 当x∈[0，1)时，|f(x)|＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，2|x|＝2x，令g(x)＝ln－2x，则g′(x)＝≥0，∴g(x)在[0，1)上为增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，即|f(x)|≥2|x|；当x∈(－1，0)时，|f(x)|＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－ln，2|x|＝－2x，令h(x)＝2x－ln，则h′(x)＝＜0，∴h(x)在(－1，0)上为减函数，∴h(x)＞0，即|f(x)|＞2|x|.∴当x∈(－1，1)时，|f(x)|≥2|x|，故③正确． 5．(2014·陕西，11，易)已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________． 【解析】 ∵4a＝2，∴a＝，即lg x＝＝lg，∴x＝.【答案】 6．(2013·山东，16，难)定义“正对数”： ln＋x＝现有四个命题： ①若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝bln＋a； ②若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b； ③若a＞0，b＞0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b； ④若a＞0，b＞0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【解析】 对于①，当0＜ab＜1时，有 此时ln＋(ab)＝bln＋a＝0； 当ab＝1时，有 此时ln＋(ab)＝bln＋a＝0； 当ab＞1时，有 此时ln＋(ab)＝ln ab＝bln a，而bln＋a＝bln a＝ln＋(ab)，综上，ln＋(ab)＝bln＋a，故①正确； 对于②，令a＝2，b＝，则ln＋(ab)＝ln＋＝0； 而ln＋a＋ln＋b＝ln 2＞0，故ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b不成立，故②错误； 对于③，当0＜＜1时，有 或或 经验证，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立； 当＞1时，有或 或 经验证，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立； 当＝1时，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立，故③正确； 对于④，分四种情况进行讨论： 若a＋b<1，则ln＋(a＋b)＝ln＋a＝ln＋b＝0，故ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2； 若a＋b≥1，则ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)； 若a>1，0 2＝ln a＋ln 2＝ln 2a>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)； 若a>1，b>1，则ln＋a＋ln＋b＋ln 2＝ln a＋ln b＋ln 2＝ln 2ab，又(a＋b)－2ab＝a(1－b)＋b(1－a)<0，故a＋b<2ab，因此ln＋a＋ln＋b＋ln 2>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)． 综上，ln＋a＋ln＋b＋ln 2≥ln＋(a＋b)，故④正确． 所以命题①③④为真命题． 【答案】 ①③④ 考向1 对数的运算 对数的性质、换底公式与运算性质 性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N(a＞0且a≠1) 换底公式 公式：logab＝(a，c均大于零且不等于1，b＞0).推论：①logab＝；②loganbn＝logab；③loganbm＝logab 运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等错误． (1)(2013·四川，11)lg＋lg的值是________． (2)(2014·安徽，11)＋log3＋log3＝________.【解析】(1)lg ＋lg＝lg＝lg 10＝1.(2)原式＝＋log3＝＋log31＝.【答案】(1)1(2) 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． (2013·陕西，3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】 B 利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb，故B正确． 考向2 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 2．对数函数图象的特点 (1)当a＞1时，对数函数的图象呈上升趋势； 当0＜a＜1时，对数函数的图象呈下降趋势． (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限． (3)在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．常见的结论 (1)函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称； (2)函数y＝ax与y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． (1)(2013·湖南，5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为() A．3 B．2 C．1 D．0 (2)(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________． 【思路导引】 题(1)画出f(x)与g(x)的图象，根据特殊点对应的函数值，判断两图象的位置关系，从而判断交点个数；题(2)利用对数的运算法则及性质，对函数解析式进行化简，通过换元化归为二次函数求最值． 【解析】(1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示． ∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.(2)依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.【答案】(1)B(2)－ 1.利用对数函数的图象可求解的两类问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 2．与对数函数有关的复合函数问题的求解策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，首先要确定函数的定义域，所有问题必须在定义域内讨论；其次分析底数与1的大小关系，底数大于1与底数小于1的两个函数的性质截然不同；最后考虑复合函数的构成，分析它是由哪些基本初等函数复合而成的． (2015·山东威海月考，13)已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________． 【解析】 由已知可得ax2－x＞0在[3，4]上恒成立，故9a－3＞0，解得a＞.若0＜a＜1，则y＝logat在(0，＋∞)上单调递减，由题意知t＝ax2－x在[3，4]上为减函数，故≥4，解得a≤，这与a＞矛盾，不合题意； 若a＞1，则y＝logat在(0，＋∞)上单调递增，由题意知t＝ax2－x在[3，4]上为增函数，故≤3，解得a≥，因为a＞1，所以a的取值范围是(1，＋∞)． 【答案】(1，＋∞) 考向3 指数函数、对数函数的综合应用 (1)(2014·辽宁，3)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则() A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a (2)(2012·课标全国，11)当0 A.B.C．(1，) D．(，2) 【思路导引】 解题(1)的关键是掌握比较实数大小的方法；解题(2)的关键是寻找临界位置，画出两者图象，数形结合求解． 【解析】(1)由于0<2－<20，所以0 又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图象过点，把点代入函数y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需 当a>1时，不符合题意，舍去． 所以实数a的取值范围是.【答案】(1)C(2)B 1.对数值大小比较的主要方法 (1)化同底数后利用函数的单调性； (2)化同真数后利用图象比较； (3)借用中间量(0或1等)进行估值比较． 2．解决不等式有解或恒成立问题的方法 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为： (1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)； (2)在同一坐标系下作出两函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象； (3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况． (2013·课标Ⅰ，11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是() A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] 【答案】 D ∵|f(x)|＝ ∴由|f(x)|≥ax，分两种情况： ①恒成立，可得a≥x－2恒成立，则a≥(x－2)max，即a≥－2，排除选项A，B.②恒成立，根据函数图象可知a≤0.综合①②得－2≤a≤0，故选D.1．(2015·山东日照质检，3)2lg 2－lg的值为() A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 2lg 2－lg＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.2．(2015·浙江温州三模，5)函数y＝的值域为() A．(0，3) B．[0，3] C．(－∞，3] D．[0，＋∞) 【答案】 D 当x＜1时，0＜3x＜3；当x≥1时，log2x≥log21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)． 3．(2015·江西吉安模拟，5)如果logx＜logy＜0，那么() A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 【答案】 D 因为y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，所以x＞y＞1.4．(2015·辽宁沈阳质检，5)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则() A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) 【答案】 B 因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)． 又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)． 5．(2015·河北沧州一模，7)已知关于x的方程＝有正根，则实数a的取值范围是() A．(0，1) B．(0.1，10) C．(0.1，1) D．(10，＋∞) 【答案】 C 当x＞0时，0＜＜1，∵关于x的方程＝有正根，∴0＜＜1，∴解得－1＜lg a＜0，∴0.1＜a＜1.故选C.6．(2014·广东广州一模，6)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是() A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1 C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1 【答案】 A 令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga[g(x)]是单调递增的，所以必有a＞1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.故选A.方法点拨：已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，以此为突破口． 7．(2015·山西大同二模，13)若f(x)＝ax－，且f(lg a)＝，则a＝________.【解析】 f(lg a)＝alg a－＝＝，∴alg a＝(10a)，两边取常用对数，得(lg a)2＝(1＋lg a)，∴2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－，∴a＝10或a＝.【答案】 10或 8．(2015·湖北十堰联考，14)若函数f(x)＝loga(2－ax)(a＞0，a≠1)在区间(1，3)内单调递增，则a的取值范围是________． 【解析】 ∵f(x)＝loga(2－ax)，∴令y＝logat，t＝2－ax，∵a>0且a≠1，x∈(1，3)，∴t在(1，3)上单调递减，∵f(x)＝loga(2－ax)在区间(1，3)内单调递增，∴函数y＝logat是减函数，且2－ax＞0在(1，3)上恒成立，∴x 9．(2015·河南安阳模拟，15)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________． 【解析】 画出函数f(x)的图象，如图． 不妨令a＜b＜c，由已知和图象可知，0＜a＜1＜b＜e＜c＜e2.∵－ln a＝ln b，∴ab＝1.∵ln b＝2－ln c，∴bc＝e2，∴a＋b＋c＝b＋(1 10．(2014·安徽合肥模拟，13)若不等式x2－logax＜0在内恒成立，则a的取值范围是________． 【解析】 ∵不等式x2－logax＜0，即x2 易错点拨：本题易忽视≤loga中的等号而导致错误． 1．(2015·四川，9，中)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为() A．16 B．18 C．25 D.【答案】 B ∵f ′(x)＝(m－2)x＋(n－8)，要使f(x)在区间上单调递减，需满足f ′(x)≤0在上恒成立，则f ′(x)max≤0.当m≥2时，f ′(x)max＝2m－4＋n－8≤0恒成立，∴2m＋n≤12.∴mn＝×2mn≤×≤18，当且仅当2m＝n，2m＋n＝12，即m＝3，n＝6时，等号成立； 当0≤m＜2时，f ′(x)max＝(m－2)×＋(n－8)≤0恒成立，∴m＋2n≤18，∴mn＝×2mn≤×≤，当且仅当m＝2n，m＋2n＝18，即n＝，m＝9时，等号成立，而m＝9与0≤m＜2矛盾，故不符合题意． 综上可知，mn的最大值为18.故选B.2．(2015·浙江，18，15分，中)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值． (1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2； (2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值． 解：(1)证明：由f(x)＝＋b－，得对称轴为直线x＝－.由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}． 当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.(2)由M(a，b)≤2得 |1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝ |f(－1)|≤2，故 |a＋b|≤3，|a－b|≤3.由|a|＋|b|＝得 |a|＋|b|≤3.当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值为2，即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值为3.1．(2013·重庆，3，易)(－6≤a≤3)的最大值为() A．9 B.C．3 D.【答案】 B 易知函数y＝(3－a)(a＋6)＝－a2－3a＋18的两个零点是3，－6，对称轴为a＝－，y＝－a2－3a＋18的最大值为f＝，则的最大值为，故选B.2．(2013·江苏，13，难)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________． 【解析】 设P，则 |PA|2＝(x－a)2＋ ＝－2a＋2a2－2，令t＝x＋≥2(x＞0，当且仅当x＝1时取“＝”)，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.①当a≤2时，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，由题意知，2a2－4a＋2＝8，解得a＝－1或a＝3(舍)． ②当a＞2时，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.由题意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍)． 综上知a＝－1或.【答案】 －1或 3．(2014·辽宁，16，难)对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________． 【解析】 设2a＋b＝t，则2a＝t－b.由已知得关于b的方程(t－b)2－b(t－b)＋4b2－c＝0有解，即6b2－3tb＋t2－c＝0有解． 故Δ＝9t2－24(t2－c)≥0，所以t2≤c，所以|t|max＝，此时c＝t2，b＝t，2a＝t－b＝，所以a＝.故－＋＝－＋ ＝8＝8－2≥－2.【答案】 －2 思路点拨：先换元，利用方程的判别式求出|2a＋b|取最大值的条件，再消去字母，配方处理． 考向1 二次函数的图象、性质及应用 1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标． (3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标． 2．二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 最值 当x＝－时，当x＝－时，ymin＝ ymax＝ 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”．它们常结合在一起，而二次函数又是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略． (1)(2013·辽宁，12)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝() A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16 C．－16 D．16 (2)(2012·福建，15)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________． 【思路导引】 解题(1)的方法是数形结合，在同一坐标系中画出函数的图象，由图象求解；解题(2)时注意数形结合思想方法的应用，同时注意二次函数图象的对称性及基本不等式的应用． 【解析】(1)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图． 由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.(2)由定义可知，f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示． 设y＝m与y＝f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3.由y＝－x2＋x＝－＋得顶点坐标为.当y＝时，代入y＝2x2－x，得＝2x2－x，解得x＝(舍去正值)，∴x1∈.又∵y＝－x2＋x的对称轴为x＝，∴x2＋x3＝1，且x2，x3＞0，∴0＜x2x3＜＝.又∵0＜－x1＜，∴0＜－x1x2x3＜，∴＜x1x2x3＜0.【答案】(1)C(2) 与二次函数图象有关问题的求解策略 (1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手． (2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错． (2015·河南鹤壁质检，6)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是() A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】 B 因为图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确； 对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误； 结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确． 考向2 二次函数在给定区间上的最值 (2015·山西阳泉模拟，17，12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 【思路导引】 解本题的关键是判断二次函数的对称轴与所在区间的关系，然后结合二次函数的图象与性质求解． 【解析】 ①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上递增． ∴f(x)min＝f ＝－＝－.当>1，即0 ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝ 求二次函数在给定区间上最值的方法 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值的求法如下： (1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f ＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)． (2)当－∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在[m，n]上是单调函数．若－ (3)当不能确定对称轴－是否属于区间[m，n]时，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值． 若将典型例题2中的函数改为f(x)＝x2－2ax，其他不变，应如何求解？ 解：∵f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为x＝a.①当a＜0时，f(x)在[0，1]上是增函数，∴f(x)min＝f(0)＝0.②当0≤a≤1时，f(x)min＝f(a)＝－a2.③当a＞1时，f(x)在[0，1]上是减函数，∴f(x)min＝f(1)＝1－2a.综上所述，f(x)min＝ 考向3 幂函数的图象、性质及应用 1．五种幂函数的图象 2．五种幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 当x∈[0，＋∞) 时，增； 当x∈(－∞，0] 时，减 增 增 当x∈(0，＋∞) 时，减； 当x∈(－∞，0) 时，减 定点 (0，0)，(1，1) (1，1) (1)(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是() (2)(2011·北京，13)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________． 【思路导引】 解题(1)的关键是掌握幂函数、对数函数图象的特征及性质；解题(2)的方法是作出函数图象，利用数形结合的思想求解． 【解析】(1)因为a＞0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，故A不符合；在B中，由f(x)的图象知a＞1，由g(x)的图象知0＜a＜1，矛盾，故B不符合；在C中，由f(x)的图象知0＜a＜1，由g(x)的图象知a＞1，矛盾，故C不符合；在D中，由f(x)的图象知0＜a＜1，由g(x)的图象知0＜a＜1，相符． (2)作出函数y＝f(x)的图象如图． 则当0＜k＜1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根． 【答案】(1)D(2)(0，1) 幂函数的图象与性质问题的解题策略 (1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等． (2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用． (3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解． (2014·山东潍坊模拟，13)当0＜x＜1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________． 【解析】 如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)＞g(x)＞f(x)． 【答案】 h(x)＞g(x)＞f(x) 1．(2015·四川成都一模，5)方程|x2－2x|＝a2＋1(a∈(0，＋∞))的解有() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 B ∵a∈(0，＋∞)，∴a2＋1＞1，∴y＝|x2－2x|的图象与直线y＝a2＋1总有两个交点，∴方程有两解，故选B.2．(2015·河北衡水二模，10)函数y＝x－x的图象大致为() 【答案】 A 由题意知函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除C，D；当x＝1时，y＝0，当x＝8时，y＝8－＝8－2＝6＞0，排除B，故选A.3．(2015·江西九江模拟，6)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则下列说法正确的是() A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定 【答案】 A ∵1 4．(2015·甘肃兰州模拟，6)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①x1 f (x1)＞x2 f (x2)；②x1 f (x1)＜x2f (x2)； ③＞；④＜.其中正确结论的序号是() A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】 D 设函数f(x)＝xα，由点在函数图象上得＝，解得α＝.故f(x)＝x.故g(x)＝xf(x)＝x为(0，＋∞)上的增函数，故①错误，②正确；而h(x)＝＝x－为(0，＋∞)上的减函数，故③正确，④错误． 5．(2014·湖北武汉质检，7)设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是() A．(－3，1)∪(3，＋∞) B．(－3，1)∪(2，＋∞) C．(－1，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，3) 【答案】 A 方法一(分类讨论)：∵f(1)＝12－4×1＋6＝3，∴⇒ ⇒0≤x＜1或x＞3； ⇒⇒－3＜x＜0.∴f(x)＞f(1)的解集为(－3，1)∪(3，＋∞)，故选A.方法二(图象法)：∵f(1)＝3，画出f(x)的图象，如图所示，易知f(x)＝3时，x＝－3，1，3.故f(x)＞f(1)⇔－3＜x＜1或x＞3.6．(2015·天津质检，13)当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________． 【解析】 方法一：设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1，2)时，f(x)＜0恒成立⇔⇒⇒m≤－5.方法二：∵不等式x2＋mx＋4＜0对x∈(1，2)恒成立，∴mx＜－x2－4对x∈(1，2)恒成立，即m＜－对x∈(1，2)恒成立，令y＝x＋，则函数y＝x＋在(1，2)上是减函数，∴4＜y＜5，∴－5＜－＜－4，∴m≤－5.【答案】(－∞，－5] 7．(2015·河南南阳质检，16)已知对于任意的自然数n，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴相交于An，Bn两点，则|A1B1|＋|A2B2|＋|A3B3|＋…＋|A2 014B2 014|＝________.【解析】 令(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AnBn|＝ ＝＝ ＝－，因此|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 014B2 014|＝＋＋…＋＝1－＝.【答案】 思路点拨：解题时可先利用根与系数的关系和两点间距离公式，求出|AnBn|，再利用裂项法求和． (时间：90分钟__分数：120分) 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2014·天津，4)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则() A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【答案】 C ∵π＞2，∴log2π＞1.∵π＞1，∴b＝logπ＜0.又π＞1，∴0＜π－2＜1，即0＜c＜1，∴a＞c＞b.思路点拨：利用指数函数与对数函数的性质判断出a，b，c的取值范围，然后再比较大小． 2．(2012·安徽，3)(log29)·(log34)＝() A.B.C．2 D．4 【答案】 D(log29)·(log34)＝2(log23)·2(log32)＝4log23·log32＝4.3．(2014·四川，7)已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是() A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 【答案】 B ∵log5b＝a，lg b＝c，∴5a＝b，b＝10c.又5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5dc，∴a＝cd.4．(2015·河北唐山质检，5)已知函数h(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上是单调函数，则k的取值范围是() A．(－∞，40] B．[160，＋∞) C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．∅ 【答案】 C 函数h(x)的对称轴为x＝，要使h(x)在[5，20]上是单调函数，应有≤5或≥20，即k≤40或k≥160，故选C.5．(2015·辽宁沈阳模拟，6)函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是() A．y＝ B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) 【答案】 A 函数f(x)＝ax－1的图象恒过点A(1，1)，对函数y＝来说，当x＝1时，y＝0，即图象不经过点A(1，1)，其余函数图象均过点(1，1)． 6．(2015·河南洛阳模拟，4)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是() A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 【答案】 B ②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.7．(2015·广东深圳三模，7)已知函数g(x)是偶函数，f(x)＝g(x－2)，且当x≠2时其导函数f ′(x)满足(x－2) f ′(x)＞0.若1＜a＜3，则() A．f(4a)＜f(3)＜f(log3a) B．f(3)＜f(log3a)＜f(4a) C．f(log3a)＜f(3)＜f(4a) D．f(log3a)＜f(4a)＜f(3) 【答案】 B ∵(x－2)f ′(x)＞0，∴x＞2时，f ′(x)＞0，x＜2时，f ′(x)＜0.∴f(x)在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g(x)是偶函数，∴g(x－2)关于x＝2对称，即f(x)关于x＝2对称．∵1＜a＜3，∴f(3)＜f(log3a)＜f(4a)． 8．(2015·山东德州联考，8)若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有() A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2) C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3) 【答案】 D ∵f(x)－g(x)＝ex且f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，∴f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，解得f(x)＝，g(x)＝－.易知f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(3)＞f(2)＞f(0)＝0.又g(0)＝－1，∴g(0)＜f(2)＜f(3)，故选D.9．(2014·湖北黄冈一模，9)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n)．若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为() A.，2 B.，4 C.，D.，4 【答案】 A(数形结合求解)f(x)＝|log2x|＝ 根据f(m)＝f(n)(m＜n)及f(x)的单调性，知mn＝1且0＜m＜1，n＞1.又f(x)在[m2，n]上的最大值为2，由图象知：f(m2)＞f(m)＝f(n)，∴f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]． 故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.10．(2015·安徽六安高三调研，10)若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件： ①M，N都在函数y＝f(x)的图象上； ②M，N关于原点对称． 则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”) 已知函数f(x)＝此函数的“友好点对”有() A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】 C 由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知，g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x≤0时f(x)＝－x2－4x的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的数量为2，故选C.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 11．(2015·湖北鄂州统考，13)已知2a＝5b＝，则＋＝________.【解析】 ∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，∴＋＝＋＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.【答案】 2 12．(2015·湖南株洲模拟，13)已知函数f(x)＝则f(log23)的值为________． 【解析】 ∵log23＜log24＝2，∴f(log23)＝f(1＋log23)＝f(log26)＝log26＝.【答案】 13．(2015·山东临沂一模，13)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围是________． 【解析】 ∵f(a)＞－1，∴g(b)＞－1，∴－b2＋4b－3＞－1，∴b2－4b＋2＜0，∴2－＜b＜2＋.【答案】(2－，2＋) 14．(2014·陕西咸阳模拟，14)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． 【解析】 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点．结合下面函数图象可知a＞1.【答案】(1，＋∞) 三、解答题(共4小题，共50分) 15．(12分)(2015·湖北十校联考，17)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)． (1)求f(x)的表达式； (2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，∴ ∴a2＝4.又a＞0，∴a＝2，∴b＝3.∴f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]时恒成立． 又∵y＝与y＝均为减函数，∴y＝＋也是减函数，∴当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.16．(12分)(2015·湖南长沙模拟，18)已知奇函数f(x)的定义域为[－1，1]，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－.(1)求函数f(x)在[0，1]上的值域； (2)若x∈(0，1]，g(x)＝f2(x)－f(x)＋1的最小值为－2，求实数λ的值． 解：(1)设x∈(0，1]，则－x∈[－1，0)，∴f(－x)＝－＝－2x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴当x∈(0，1]时，f(x)＝－f(－x)＝2x，∴f(x)∈(1，2]．又f(0)＝0，∴当x∈[0，1]时，函数f(x)的值域为(1，2]∪{0}． (2)由(1)知，当x∈(0，1]时，f(x)∈(1，2]，∴f(x)∈.令t＝f(x)，则＜t≤1，g(t)＝f2(x)－f(x)＋1＝t2－λt＋1 ＝＋1－.①当≤，即λ≤1时，g(t)＞g，无最小值． ②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g(t)min＝g＝1－＝－2，解得λ＝±2(舍去)． ③当＞1，即λ＞ 2时，g(t)min＝g(1)＝2－λ＝－2，解得λ＝4.综上所述λ＝4.17．(12分)(2014·安徽阜阳高三联考，18)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得，当0 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－.所以L(x)＝ (2)当0 当x≥80时，L(x)＝1 200－ ≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000.此时，当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．因为950<1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元． 18．(14分)(2015·福建泉州模拟，20)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，f(x)＝g(|x|)． (1)求实数a，b的值； (2)若不等式f(log2k)>f(2)成立，求实数k的取值范围； (3)定义在[p，q]上的一个函数m(x)，用分法T： p＝x0 |m(xi)－m(xi－1)|≤M恒成立，则称函数m(x)为[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f(x)是否为[1，3]上的有界变差函数．若是，求M的最小值；若不是，请说明理由.解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故解得 (2)由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x2－2|x|＋1为偶函数，所以不等式f(log2k)>f(2)可化为|log2k|>2，解得k>4或0 (3)函数f(x)为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f(x)在[1，3]上单调递增，且对任意划分T： 1＝x0 |f(xi)－f(xi－1)|＝f(x1)－f(x0)＋f(x2)－f(x1)＋…＋f(xn)－f(xn－1)＝f(xn)－f(x0)＝f(3)－f(1)＝4，所以存在常数M≥4，使得|f(xi)－f(xi－1)|≤M成立，所以M的最小值为4.
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