1．(2015·课标Ⅱ，5，易)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝()
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】 C ∵log212＞1，∴f(log212)＝2log212－1＝21＋log23＝2×3＝6.∴原式＝1＋log24＋6＝9.2．(2015·湖北，6，中)已知符号函数sgn
x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则()
A．sgn[g(x)]＝sgn
x
B．sgn[g(x)]＝－sgn
x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
【答案】 B ①当x<0时，∵a＞1，∴x>ax，∴f(x)－f(ax)>0，∴sgn[g(x)]＝1.②当x＝0时，x＝ax，f(x)－f(ax)＝0.∴sgn[g(x)]＝0.③当x>0时，∵a＞1，∴ax>x，∴f(x)－f(ax)<0.∴sgn[g(x)]＝－1.∴sgn[g(x)]＝
∴sgn[g(x)]＝－sgn
x.3．(2015·山东，10，中)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()
A.B．[0，1]
C.D．[1，＋∞)
【答案】 C 令f(a)＝t.则由f(f(a))＝2f(a)得
f(t)＝2t.由f(x)＝可知
t≥1.∴f(a)≥1⇒或⇒≤a<1或a≥1⇒a≥.故选C.4．(2015·浙江，7，难)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()
A．f(sin
2x)＝sin
x
B．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1|
D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
【答案】 D 方法一：∵f(x2＋2x)＝|x＋1|，∴f(x2＋2x)＝＝.∴存在函数f(x)＝，对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝|x＋1|.方法二：A，B，C均举出反例不符合函数的概念，而D项，f(t2－1)＝t(t≥0)⇔f(x)＝，符合题意．
5．(2015·湖北，10，难)设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是()
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】 B 由题可知：
当n＝1时，1≤t<2.当n＝2时，2≤t2<3，即≤t<满足条件．
当n＝3时，3≤t3<4，即≤t<满足条件．
当n＝4时，4≤t4<5，即≤t<满足条件．
当n＝5时，5≤t5<6，即≤t<，而>.所以正整数n的最大值为4.6．(2015·浙江，10，易)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
【解析】 ∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当x<1时，x2＋1≥1，∴lg(x2＋1)≥0.综上，f(x)min＝2－3.【答案】 0 2－3
7．(2015·山东，14，中)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
【解析】 当0 ∴a＋b＝－.当a>1时，解得b＝－1，∴＝0，无解．综上a＋b＝－.【答案】 － 1．(2014·江西，2，易)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为() A．(0，1) B．[0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】 C 要使函数有意义，需满足x2－x>0，解得x<0或x>1，故选C.2．(2013·陕西，1，易)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为() A．[－1，1] B．(－1，1) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】 D 由1－x2≥0得－1≤x≤1，故∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 3．(2012·江西，3，易)若函数f(x)＝则f(f(10))＝() A．lg B．2 C．1 D．0 【答案】 B ∵f(10)＝lg 10＝1，∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，故选B.4．(2014·江西，3，易)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，则a＝() A．1 B．2 C．3 D．－1 【答案】 A 由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故选A.5．(2012·安徽，2，易)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是() A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 【答案】 C 选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)； 选项B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)； 选项C，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)； 选项D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)． 6．(2014·福建，7，中)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是() A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 【答案】 D 方法一：由x>0得，x2＋1>1，当x≤0时，cos x∈[－1，1]，故f(x)∈[－1，＋∞)，选D.方法二(数形结合法)：作出f(x)的图象如图所示，可排除A，B，C，故D正确． 7．(2014·上海，18，中)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为() A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1，2] D．[0，2] 【答案】 D ∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0；当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.8．(2014·湖北，14，难)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)．例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数． (1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数； (2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 【解析】 设P(a，f(a))，Q(b，－f(b))，则直线PQ的方程为y－f(a)＝(x－a)． 令y＝0得c＝.(1)令几何平均数＝⇒f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝(x>0)； (2)令调和平均数＝⇒＝，可取f(x)＝x(x>0)． 【答案】(1)(2)x(或填(1)k1(2)k2x，其中k1，k2为正常数均可) 考向1 求函数的定义域 常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x定义域均为R.(6)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y＝tan x的定义域为.(1)(2014·山东，3)f(x)＝的定义域为() A.B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞) (2)(2015·河南郑州一模，13)若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是________． 【解析】(1)要使函数有意义，必须 由①得(log2x)2>1，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0 【答案】(1)C(2)[0，1) 【点拨】 解题(1)的关键是正确利用对数函数的单调性求解不等式log2x>1和log2x<－1；解题(2)时易误认为0≤x≤2，从而0≤2x≤4，出现0≤x<1或1 求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． (1)求定义域时对于解析式先不要化简； (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． (1)(2012·江西，2)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为() A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ (2)若典型例题1(2)改为函数f(x2－1)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(2x)的定义域为________． (1)【答案】 D 函数y＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}，与函数y＝的定义域相同，故选D.(2)【解析】 ∵0≤x≤2，∴－1≤x2－1≤3，从而函数f(x)的定义域为[－1，3]． 由－1≤2x≤3，得－≤x≤，所以函数f(2x)的定义域为.【答案】 考向2 求函数的解析式 函数的解析式 (1)函数的表示方法：解析法、列表法、图象法． (2)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式． (3)求函数的解析式时，一定要注意函数的定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明定义域往往导致错误． (1)(2014·浙江，6)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0 A．c≤3 B．3 C．6 D．c>9 (2)(2013·安徽，14)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.【解析】(1)由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，解得∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c.由0 ＝－x(x＋1)． 【答案】(1)C(2)－x(x＋1) 【点拨】 解题(1)的关键是利用f(－1)＝f(－2)＝f(－3)求出a，b的值，再结合不等关系0 求函数解析式的常见方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可． (2)换元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t替换为x即可． (3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式． (4)解方程组法：已知关于f(x)与f(或f(－x))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x)． (2015·四川成都检测，12)如果f＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝________． 【解析】 方法一：令＝t，∴x＝，f(t)＝＝，∴f(x)＝.方法二：f＝＝，用x替换，∴f(x)＝.【答案】 考向3 分段函数及其应用 1．分段函数的概念 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 2．解决分段函数问题的注意事项 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的． 分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论，相当于求“并集”，不可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆． (1)(2014·四川，12)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________． (2)(2014·浙江，15)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________． 【解析】(1)∵f(x)是周期为2的函数，∴f＝f＝f＝－4×＋2＝1.(2)由题意得或 解得f(a)≥－2.由或 解得a≤.【答案】(1)1(2)(－∞，] 【点拨】 解题(1)的关键是借助周期函数将求f转化为求f的值；解题(2)的关键是分清自变量的取值范围与所对应的函数关系． 分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围) 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围． 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． (2015·山东临沂调研，5)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于() A.B.C．2 D．9 【答案】 C ∵0<1，∴f(0)＝20＋1＝2.∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝22＋2a＝4a，∴a＝2.故选C.1．(2015·安徽宣城三模，3)函数f(x)＝的定义域是() A．[3，＋∞) B.C.D．(－∞，－3) 【答案】 A 由得 所以x≥3，即定义域为[3，＋∞)． 2．(2015·河南南阳质检，3)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于() A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】 A 因为f(1)＝21＝2，且f(a)＋f(2)＝0，所以f(a)＝－2.因为x>0时，2x>1，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.3．(2015·河北唐山统考，5)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝() A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 【答案】 C 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)． ∵f(x)是R上的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)． 4．(2014·山东莱芜一模，8)已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义域为() A.B.C.D.【答案】 B 要使函数y＝有意义，需满足⇒⇒≤x＜2.故选B.5．(2014·福建厦门一模，7)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解是() A.或2 B.或3 C.或4 D．±或4 【答案】 C 当x∈[－1，2]时，由3－x2＝1⇒x＝或－(舍去)； 当x∈(2，5]时，由x－3＝1⇒x＝4.综上所述，f(x)＝1的解为或4.6．(2015·山东青岛质检，9)设函数f(x)＝那么f(2 015)＝() A．27 B．0 C．3 D．1 【答案】 B 由题意知x≥5，f(x)＝f(x－5)． 令x－5＝t，∴x＝5＋t，∴f(5＋t)＝f(t)，∴f(x＋5)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝5，∴f(2 015)＝f(403×5＋0)＝f(0)，而当0≤x＜5时，f(x)＝x3，∴f(0)＝03＝0，故f(2 015)＝0，故选B.7．(2015·湖北武汉质检，6)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则a的取值范围是() A．[－1，1] B．[－2，0] C．[0，2] D．[－2，2] 【答案】 D 依题意可得 或 解得a∈[－2，2]，故选D.8．(2015·安徽合肥二模，7)设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是() A.B.C.D.【答案】 C 因为x0∈A，即0≤x0<，所以f(x0)＝x0＋，≤x0＋＜1，即≤f(x0)＜1，即f(x0)∈B，所以f(f(x0))＝2[1－f(x0)]＝1－2x0.因为f(f(x0))∈A，所以0≤1－2x0＜，解得＜x0≤.又因为0≤x0＜，所以＜x0＜，故答案为C.思路点拨：解答本题关键是要分清x0∈A时，f(x0)的取值范围，以决定如何求f(f(x0))的值． 9．(2015·四川德阳模拟，12)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.【解析】 在f(x)＝2f·－1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，① 将①式代入f(x)＝2f－1中，得f(x)＝4f(x)－2－1，故f(x)＝＋.【答案】 ＋ 10．(2015·陕西榆林二模，12)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________． 【解析】 由题意知，或 解得－4≤x≤0或0 【答案】 [－4，2] 1．(2015·天津，7，中)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为() A．a B．a C．c D．c 【答案】 C ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|－1.由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． ∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选C.2．(2015·湖南，5，中)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是() A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数 【答案】 A ∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． 又∵f′(x)＝＋＝＝，x∈(－1，1)，∴f′(x)在定义域内恒大于0，∴f(x)在(0，1)上是增函数． 1．(2014·陕西，7，易)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ D．f(x)＝3x 【答案】 D ∵f(x＋y)＝f(x)f(y)，∴f(x)为指数函数模型，排除A，B.又∵f(x)为单调递增函数，∴排除C，故选D.2．(2012·广东，4，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是() A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝ D．y＝x＋ 【答案】 A(逐项验证法)函数y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数；函数y＝－在[－1，＋∞)上是减函数；函数y＝在(0，＋∞)上是减函数；函数y＝x＋在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．综上可得，在(0，＋∞)上是增函数的是y＝ln(x＋2)，故选A.3．(2012·陕西，2，易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为() A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x| 【答案】 D(逐项验证法)对于A，注意到函数y＝x＋1不是奇函数；对于B，注意到函数y＝－x3是在R上的减函数；对于C，注意到函数y＝在其定义域上不是增函数；对于D，注意到－x·|－x|＋x|x|＝0，即函数y＝x|x|是奇函数，且当x≥0时，y＝x|x|＝x2是增函数，因此函数y＝x|x|既是奇函数又是R上的增函数，故选D.4．(2013·安徽，4，易)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 C 充分性：当a<0时，x>0，则f(x)＝|(ax－1)x|＝－ax2＋x为开口向上的二次函数，且对称轴为x＝<0，故在区间(0，＋∞)上为增函数；当a＝0时，f(x)＝x在区间(0，＋∞)上为增函数． 必要性：当a≠0时，f＝0，f(0)＝0，由f(x)在(0，＋∞)上为增函数知，<0，即a<0；当a＝0时，f(x)＝x在区间(0，＋∞)上为增函数，故a≤0.综上，“a≤0”为“f(x)在(0，＋∞)上为增函数”的充分必要条件． 5．(2011·江苏，2，易)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 【解析】 要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1>0，即x>－.而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x>－时，u＝2x＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是.【答案】 6．(2011·上海，20，14分，中)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性； (2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围． 解：(1)(定义法)a>0，b>0时，任取x1，x2∈R，令x1 ∵2x1<2x2，a>0⇒a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0⇒b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数． 同理，当a<0，b<0时，函数f(x)在R上是减函数． (2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，即a>－2b.当a<0，b>0时，>－，则x>log； 当a>0，b<0时，<－，则x 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1 当x1 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数y＝x2，当x∈[0，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，0]时是减函数． 2．函数单调性的常用结论 (1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数； (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同； (5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． (1)(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是() A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) (2)(2014·天津，4)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 【解析】(1)A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；C项，函数y＝2－x＝在R上为减函数，故不符合；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合． (2)因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y＝x2－4的单调减区间，结合函数的定义域x2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)． 【答案】(1)A(2)D 判断函数单调性(单调区间)的常用方法 (1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论． (2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)． (3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表： 函数 增减情况 内函数t＝φ(x) 增 增 减 减 外函数y＝f(t) 增 减 增 减 y＝f(φ(x)) 增 减 减 增 y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数． (4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性． (1)(2011·课标全国，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是() A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| (2)(2015·河南洛阳二模，6)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0 A.B．[，1] C．(－∞，0)∪ D．[，] (1)【答案】 B y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1和y＝2－|x|在(0，＋∞)上都是减函数，故选B.(2)【答案】 B 由图象可知，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和，单调递增区间为.∵0 1．函数最值的概念 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值． 2．函数单调性的应用 (1)比较函数值的大小； (2)解抽象函数不等式； (3)求待定参数的值或取值范围； (4)求函数的最值或值域． (1)(2015·云南昆明模拟，6)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为() A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c (2)(2015·福建福州一模，6)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为() A．2 B．3 C．4 D．－1 (3)(2012·上海，7)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________． 【思路导引】(1)利用图象的对称性，把问题转化为同一单调区间内比较大小；(2)由f(1＋x)＝f(－x)得函数f(x)关于x＝对称，进而求得f(x)在各区间的单调性，可得函数f(x)的最大值与最小值；(3)思路一：先求出f(x)的单调增区间，再根据已知条件找出已知区间与单调区间的关系，求字母的范围；思路二：求出f(x)的导数，利用f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a的范围． 【解析】(1)根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．因为a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.(2)根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，则函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.(3)方法一：∵f(x)＝e|x－a|＝ ∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1.方法二：∵f(x)＝e|x－a|＝ 当x≥a时，f(x)＝ex－a，f′(x)＝ex－a.由题意知f′(x)＝ex－a≥0在[1，＋∞)上是恒成立的，此结论显然成立． ∴a≤xmin，∴a≤1.当x＜a时，f′(x)＝－ex－a＜0恒成立，不符合题意． 综上所述，a≤1.【答案】(1)D(2)C(3)(－∞，1] 1.比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 2．含“f”号不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内． 3．利用函数的单调性求参数的取值范围 已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上恒成立且f′(x)＝0在A的任意子区间不恒成立，若求得a≥2，则需检验a＝2时是否符合题意． (2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________． 【解析】 由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x－1|<2，解得－1 1．(2015·四川泸州三模，3)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是() A．f(x)＝ln x B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝ 【答案】 D 对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，故A不满足； 对于B，函数在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数，故B不满足； 对于C，函数在R上是增函数，故C不满足； 对于D，函数在(－1，＋∞)，(－∞，－1)上均为减函数，则在(0，＋∞)上是减函数，故D满足． 2．(2014·安徽合肥检测，6)函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是() A．(－∞，0) B.C．[0，＋∞) D.【答案】 B(数形结合法)y＝|x|(1－x)＝ ＝ ＝ 画出函数的图象，如图． 由图易知原函数在上单调递增．故选B.3．(2015·山西太原模拟，5)已知f(x)＝x2－cos x，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是() A．f(0) B．f(0) C．f(0.6) D．f(－0.5) 【答案】 B ∵f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，∴f(x)是偶函数． ∴f(－0.5)＝f(0.5)． 又∵f′(x)＝2x＋sin x，当x∈(0，1)时，f′(x)>0.∴f(x)在(0，1)上是增函数，∴f(0) A．－1 B．1 C．6 D．12 【答案】 C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2； 当1 ∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.5．(2014·辽宁五校第二次联考，12)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为() A.B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞) 【答案】 C 由已知f(x)在R上为偶函数，且f＝0，∴f(logx)＞0等价于f(|logx|)＞f.又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|logx|＞，即logx＞或logx＜－，解得0＜x＜或x＞2，故选C.6．(2015·山东滨州质检，13)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 【解析】 依题意，h(x)＝ 当0 7．(2015·河南濮阳模拟，16)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数． 给出下列命题： ①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数； ②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数； ③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． 【解析】 对于①，若f(x)＝x2，则f(x1)＝f(x2)时x1＝x2，或x1＝－x2，故①错误； 对于②，f(x)＝2x是R上的增函数，当f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，故②正确； 对于③，由单函数的定义，可知其逆否命题：f(x)为单函数，x1，x2∈A，若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)为真命题，故③正确； 对于④，假若f(x1)＝f(x2)时，有x1≠x2，这与单调函数矛盾，故④正确． 【答案】 ②③④ 8．(2014·河北石家庄质检，19，12分)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立． (1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明； (2)解不等式f＜f； (3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1]．∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝·(x1－x2)． 由已知得＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[－1，1]上单调递增． (2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，∴解得－≤x＜－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增，∴在[－1，1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1，1]成立． 下面来求m的取值范围． 设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立． ②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.1．(2015·安徽，2，易)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是() A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 【答案】 A 由选项可知，A，D为偶函数，但D中函数无零点． 2．(2015·广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex 【答案】 D A中函数y＝为偶函数；B中f(－x)＝－x－＝－f(x)，故为奇函数；C中f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，故为偶函数；D中f(－x)＝－x＋e－x，为非奇非偶函数，故选D.3．(2015·课标Ⅰ，13，易)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________． 【解析】 由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即－xln(－x＋)＝xln(x＋)，即xln(x＋)＋xln(－x＋)＝0，∴xln a＝0.又∵x不恒为0，∴ln a＝0，a＝1.【答案】 1 1．(2014·课标Ⅰ，3，易)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】 C 若f(x)为奇函数，则|f(x)|为偶函数；若g(x)为偶函数，则|g(x)|为偶函数，且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”，对照选项可知C正确． 2．(2013·山东，3，易)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝() A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】 A 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.3．(2012·福建，7，中)设函数D(x)＝则下列结论错误的是() A．D(x)的值域为{0，1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 【答案】 C A显然正确． D(x)＝当x∈Q时，－x∈Q，而D(x)＝D(－x)＝1；当x为无理数时，－x也为无理数，此时D(x)＝D(－x)＝0，∴对任意的x∈R，D(x)＝D(－x)，∴B正确．不妨设a∈Q且a≠0，当x为有理数时，D(x＋a)＝D(x)＝1，当x为无理数时，D(x＋a)＝D(x)＝0，∴D(x)为周期函数，∴C不正确．∵x1＝1，D(1)＝1，x2＝2，D(2)＝1，∴D(x1)＝D(x2)，∴D(x)在定义域上不单调，故D正确，∴选C.4．(2014·湖北，10，难)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为() A.B.C.D.【答案】 B 因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x； 当a2 当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝ 因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.5．(2012·上海，9，易)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________． 【解析】 由已知y＝f(x)＋x2是奇函数，f(1)＝1，得f(1)＋12＋f(－1)＋(－1)2＝0，f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.【答案】 －1 6．(2011·上海，13，中)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3，4]上的值域为[－2，5]，则f(x)在区间[－10，10]上的值域为________． 【解析】 ∵g(x)是周期为1的函数，且f(x)＝x＋g(x)，∴f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋g(x)＋1 ＝f(x)＋1.同理f(x＋2)＝f(x＋1)＋1，…，即对f(x)图象而言，x每增加1个单位长度，函数图象向上平移1个单位长度，反之，x每减少1个单位长度，函数图象向下平移1个单位长度，又x∈[3，4]时，f(x)∈[－2，5]，且f(x)最大值与最小值差为7，所以，当x∈[4，5]时，f(x)∈[－1，6]；当x∈[5，6]时，f(x)∈[0，7]；…；当x∈[9，10]时，f(x)∈[4，11]． 同理当x∈[－10，－9]时，f(x)∈[－15，－8]． 综上可知x∈[－10，10]时，f(x)的值域为[－15，11]． 【答案】 [－15，11] 考向1 函数奇偶性的判断及其应用 1．偶函数和奇函数 偶函数 奇函数 定义 条件 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 结论 函数f(x)叫作偶函数 函数f(x)叫作奇函数 图象特征 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数． ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(1)(2013·广东，2)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是() A．4 B．3 C．2 D．1 (2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝() A．－3 B．－1 C．1 D．3 (3)(2011·浙江，11)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________． (4)(2013·江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________． 【解析】(1)(定义法)根据奇、偶函数的定义可知，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，y＝x3与y＝2sin x为奇函数． (2)令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝1.(3)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，则|x－a|＝|x＋a|.∵x∈R，∴a＝0.(4)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝ ①当x＞0时，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5； ②当x＝0时，f(x)＞x无解； ③当x＜0时，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0.综上，不等式f(x)＞x的解集用区间表示为(－5，0)∪(5，＋∞)． 【答案】(1)C(2)C(3)0(4)(－5，0)∪(5，＋∞) 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 ①对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性． ②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)图象法 2．应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值． (1)(2011·湖北，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝() A．2 B.C.D．a2 (2)(2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________． (1)【答案】 B ∵g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，① f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，② 联立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝22－2－2＝.故选B.(2)【解析】 当x≥0时，由f(x)＝x2－4x<5，解得0≤x<5.因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)<5的解集为－5 考向2 函数的周期性及其应用 1．周期函数的定义 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．常见的几个结论 周期函数y＝f(x)满足： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a； (4)函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (5)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (6)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，函数f(x)的周期是4|b－a|； (7)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (8)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.(1)(2012·山东，8)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝ －(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝() A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 (2)(2014·安徽，6)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝() A.B.C．0 D．－ 【解析】(1)由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)因为f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π.又因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，即f＝f＋sin＝0，所以f＝，所以f＝f＝f＝.【答案】(1)B(2)A 【点拨】 解题(1)的关键是求出一个周期内的自变量对应的函数的函数值，找出其中的规律；解题(2)的关键是判断出f(x)是以2π为周期的周期函数． 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． (2012·江苏，10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________． 【解析】 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.① 又因为f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝，即b＝－2a.② 将②代入①得，a＝2，b＝－4.所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.【答案】 －10 考向3 函数性质的综合应用 函数的对称性常见的结论 (1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)． 特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特殊：函数y＝f(x)关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数y＝f(x)关于(0，0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a，0)对称． (1)(2012·课标全国，16)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.(2)(2015·山东济南模拟，13)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(1)＝2，则f(2 015)＝________.【解析】(1)显然其定义域为全体实数，f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数． 由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)，∴f(x)是周期T＝8的偶函数，∴f(2 015)＝f(7＋251×8)＝f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝f(1)＝2.【答案】(1)2(2)2 【点拨】 解题(1)的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性和对称性求解；解题(2)时应注意通过图象的对称性推导函数的奇偶性，再通过等量关系推导函数的周期性． 函数性质综合应用的注意点 (1)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值． (2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． (2012·重庆，7)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的() A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件 【答案】 D ①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．∵f(x)为[0，1]上的增函数，∴f(x)为[－1，0]上的减函数． 又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[3，4]上的减函数． ②∵f(x)为[3，4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1，0]上的减函数． 又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0，1]上的增函数． 由①②知“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的充要条件． 1．(2015·山东烟台模拟，3)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是() A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋) C．y＝2x＋2－x D．y＝lg 【答案】 D 对D，函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y＝lg不是奇函数也不是偶函数，选项A为偶函数，选项B为奇函数，选项C为偶函数． 2．(2015·浙江嘉兴一模，3)已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝() A．－1 B．1 C．－5 D．5 【答案】 D ∵y＝f(x)＋x是偶函数，∴f(－x)－x＝f(x)＋x，∴f(－2)＝f(2)＋2＋2＝1＋2＋2＝5.3．(2015·辽宁实验中学月考，6)函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是() A．f(1) f B．f C．f D．f 【答案】 B ∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(x)＝f(4－x)，∴f ＝f，f ＝f .又0<<1<<2，f(x)在[0，2]上单调递增，∴f .4．(2014·湖南长沙模拟，6)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为() A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1) 【答案】 C(利用数形结合和分类讨论的思想求解)f(x)的图象如图． 由图象可知，不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为x∈(－1，0)∪(1，3)． 5．(2015·河南郑州调研，8)已知函数f(x)在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则() A．f(－1)＜f(－3) B．f(0)＞f(－1) C．f(－1)＜f(1) D．f(－3)＞f(－5) 【答案】 A 函数f(x)在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f(3)＜f(1)，故此函数在区间[0，5]上是单调减函数． 由已知条件及奇函数性质知，函数f(x)在区间[－5，5]上是减函数． 选项A中，－3＜－1，故f(－3)＞f(－1)． 选项B中，0＞－1，故f(0)＜f(－1)． 同理，选项C中f(－1)＞f(1)，选项D中f(－3)＜f(－5)． 6．(2015·湖北名校联考，7)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1.若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是() A．(1，2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，2) 【答案】 D ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称． ∵对∀x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期函数，且周期为4.∵当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，∴f(x)在区间(－2，6]内的图象如图所示，∴在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象有且只有三个不同的交点，则 解得a∈(，2)． 思路点拨：解答本题先根据条件求得f(x)是周期为4的偶函数，再将方程根的个数转化为两函数图象交点的个数． 7．(2014·江苏徐州二模，10)设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数，则a＝________.【解析】 方法一：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立，即＋＝＋，(a2－1)e2x＋1－a2＝0对任意的x恒成立，∴解得a＝1.方法二：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴·＋ae＝＋，e＋＝0，∴(e2－1)＝0，∴a－＝0.又a＞0，∴a＝1.经验证，当a＝1时，有f(－x)＝f(x)，∴a＝1.【答案】 1 8．(2015·河北保定三模，15)若偶函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)＝f(2－x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝log2x，则f ＝________． 【解析】 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)． ∴f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2，∴f ＝f ＝f ＝f ＝log2＝－1.【答案】 －1 9．(2014·吉林长春第一次调研，16)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如，[1.5]＝1，[－1.5]＝ －2.若f(x)＝sin(x－[x])，则下列结论中： ①f(x)为奇函数；②f(x)是周期函数，周期为2π；③f(x)的最小值为0，无最大值；④f(x)无最小值，最大值为sin 1.其中说法正确的序号是________． 【解析】 f(1.5)＝sin(1.5－[1.5]) ＝sin 0.5，f(－1.5) ＝sin(－1.5－[－1.5]) ＝sin 0.5，则f(1.5)＝f(－1.5)，故①错；f(x＋1)＝sin(x＋1－[x＋1])＝sin(x＋1－[x]－1)＝sin(x－[x])＝f(x)，∴T＝1，故②错；令g(x)＝x－[x]，则由g(x)在[k，k＋1)(k∈Z)上是单调递增函数，知当g(x)∈[0，1)时，故f(x)∈[0，sin 1)，又g(x)的周期为1，故③正确，④错．综上，说法正确的序号为③.【答案】 ③ (时间：90分钟__分数：120分) 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2013·江西，2)函数y＝ln(1－x)的定义域为() A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1] 【答案】 B 由解得0≤x<1，故选B.2．(2015·福建闽江学院附中模拟，4)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是() A．y＝|x|＋1 B．y＝3x C．y＝－x2＋1 D．y＝ 【答案】 A 由定义域排除选项D；y＝3x是非奇非偶函数，排除选项B；选项A，C均为偶函数，但选项C在(0，＋∞)上为减函数，故选A.3．(2015·江西南昌一模，3)已知f(x)＝那么f(f(1))的值是() A．0 B．－2 C．1 D．－1 【答案】 C ∵f(1)＝1＋1＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝－2＋3＝1.4．(2015·山东菏泽模拟，5)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(4)的值为() A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】 A 由于f(x)周期为5，且为奇函数，∴f(8)＝f(5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(5－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(8)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.5．(2011·浙江，1)设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝() A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 【答案】 B 由或得α＝－4或α＝2，故选B.6．(2015·辽宁沈阳质检，9)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) A.B.C.D.【答案】 A ∵f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2x－1) ⇔|2x－1|<⇔ A.B.C.D.【答案】 A ∵2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)． ∵3＋log23＞4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝＝×＝×＝.8．(2014·山西太原质检，8)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是() A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 【答案】 C ①当a＞0时，∵f(a)＞f(－a)，∴log2a＞loga＝log2.∴a＞，得a＞1.②当a＜0时，∵f(a)＞f(－a)，∴log(－a)＞log2(－a)＝log.∴－a＜得－1＜a＜0，故C项为正确选项． 9．(2015·湖南长郡中学模拟，6)设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]都成立，则当a∈[－1，1]时t的取值范围是() A．－2≤t≤2 B．－≤t≤ C．t≤－2或t＝0或t≥2 D．t≤－或t＝0或t≥ 【答案】 C 由于f(x)为奇函数，且在[－1，1]上是增函数，f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，∴f(x)在[－1，1]上的最大值为1，∴1≤t2－2at＋1对∀a∈[－1，1]恒成立，即2at≤t2对a∈[－1，1]恒成立．当t＝0时，满足要求；当t>0时，有1≤，即t≥2；当t<0时，有－1≥，即t≤－2.综上可知，t≤－2或t＝0或t≥2.10．(2015·陕西西安二模，10)已知y＝f(x)是偶函数，而y＝f(x＋1)是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f′(x)≥0，则a＝f，b＝f，c＝f的大小关系是() A．c B．c C．a D．a 【答案】 B 因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，① 因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，② 所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)． 所以函数f(x)的周期为4.又因为对任意0≤x≤1，都有f′(x)≥0，所以函数在[0，1]上单调递增，又因为函数y＝f(x＋1)是奇函数，所以函数在[0，2]上单调递增，又a＝f ＝f，b＝f ＝f，c＝f ＝f ＝f，所以f 11．(2015·河南焦作模拟，14)定义在R上的奇函数f(x)满足f(－x)＝f，f(2 015)＝2，则f(－2)＝________． 【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)＝f，以x＋代x，∴f(x＋3)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为3，∴f(2 015)＝f(2＋671×3)＝f(2)＝2.∴f(－2)＝－f(2)＝－2.【答案】 －2 12．(2014·湖北武汉一模，13)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________． 【解析】 ∵f(1)＝ln 1＋2＝2，∴f(x2－4)<2可化为f(x2－4) 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴ 解得－ 13．(2015·安徽池州模拟，12)已知函数f(x)＝若f(f(－2))>f(k)，则实数k的取值范围为________． 【解析】 ∵f(f(－2))＝f(4)＝9，∴f(k)<9.当k<0时，<9，解得log9 当k≥0时，(k－1)2<9，解得0≤k<4.综上k∈(log9，4)． 【答案】(log9，4) 14．(2014·浙江杭州一模，14)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，且x1 【解析】 由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称．根据③可知函数f(x)在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1，2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1，2]上，1<<2，所以f(1) 【答案】 f(3) 三、解答题(共4小题，共50分) 15．(12分)(2014·山东烟台月考，17)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)，显然为偶函数； 当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)＝x2＋(x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f′(x)＝2x－＝，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数；当a>0时，令f′(x)＝>0，解得x>.由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2，解得0 16.(12分)(2015·河北十校联考，18)已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)； (2)若f(0)＝a，求f(a)； (3)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式． 解：(1)因为对任意x∈R，有 f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，所以f[f(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2.又f(2)＝3，从而f(1)＝1.(2)若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(3)因为对任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件． 综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(12分)(2015·辽宁大连质检，18)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|) 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x－1|<16，解得－15 18．(14分)(2015·安徽淮北质检，19)定义在(－1，1)上的函数f(x)，对任意x，y∈(－1，1)都有：f(x)＋f(y)＝f，且当x∈(－1，0)时，f(x)＞0.回答下列问题： (1)判断f(x)在(－1，1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f(x)在(0，1)上的单调性，并说明理由； (3)若f ＝，试求f －f －f的值． 解：(1)令x＝y＝0⇒f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝0⇒f(－x)＝－f(x)⇒f(x)在(－1，1)上是奇函数． (2)设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝f，而x1－x2＜0，0＜x1x2＜1⇒＜0.又－(－1)＝＞0，故－1＜＜0，则f＞0，即当0＜x1＜x2＜1时，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1)上单调递减． (3)由于f －f ＝f ＋f ＝f ＝f .同理，f －f ＝f，f －f ＝f，∴f －f －f ＝2f ＝2×＝1.
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