高一数学正余弦函数的图象和性质1

第一篇：高一数学正余弦函数的图象和性质1

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4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（1）

教学目的：

1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．

2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．

3．理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法． 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象． 教学难点：用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象． 教学过程：

一、复习引入：

1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

P与原点的距离r(r则比值 比值yrxrx2y2xy220)

P(x,y)r叫做的正弦 记作： sin叫做的余弦 记作： cosyrxr

3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

sinyrMP，cosxrOM

向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

二、讲解新课：

1． 用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．（1）正弦函数y=sinx的图象（结合课件第二页“离散点”，第三页“反射法”讲解）第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角0,6，3，2,„，2π的正弦线正弦线（等价于“列表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

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根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.把角x(xR)的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.（课件第二页“正弦曲线”）

（2）余弦函数y=cosx的图象

用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过O1作与x轴的正半轴成4角的直线，又过余弦线O1A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么O1A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O1A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]（课件第三页“反射法”）

也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转亿库教育网

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2到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）（课件第三页“旋转法”）

根据诱导公式cosxsin(x2),还可以把正弦函数

x=sinx的图象向左平移

2单位即得余弦函数y=cosx的图象.（课件第三页“平移曲线”）

yy=sinx 1o-4-33-6-5-45-226x-1

y y=cosx1

--5-3345-42-6-26x-1

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0)(2,1)(,0)(232,-1)(2,0)

32余弦函数y=cosx

x[0,2]的五个点关键是

(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．

三、讲解范例：

例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，(2)y=|sinx|，（3）y=sin|x|

例2 用五点法作函数y2cos(x123),x[0,2]的简图.例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

四、作业：习题4.8 1.8.《优化设计》P34 强化训练(1)sinx;(2)cosx12,(0x52).亿库教育网

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第二篇：正弦函数、余弦函数的图象和性质教案

正弦函数、余弦函数的图象和性质

一、学情分析:

1、学习过指数函数和对数函数；

2、学习过周期函数的定义；

3、学习过正弦函数、余弦函数0,2上的图象。

二、教学目标： 知识目标：

1、正弦函数的性质；

2、余弦函数的性质； 能力目标：

1、能够利用函数图象研究正弦函数、余弦函数的性质；

2、会求简单函数的单调区间； 德育目标：

渗透数形结合思想和类比学习的方法。

三、教学重点

正弦函数、余弦函数的性质

四、教学难点

正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用

五、教学方法

通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。（启发诱导式）

六、教具准备

多媒体课件

七、教学过程

1、复习导入

(1)我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？(2)正弦、余弦函数的图象在0,2上是什么样的？

2、讲授新课

（1）正弦函数的图象和性质（由教师讲解）

通过多媒体课件展示出正弦函数在2,2内的图象，利用函数图象探究函数的性质：

ⅰ 定义域

正弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域

从图象上可以看到正弦曲线在1,1这个范围内，所以正弦函数的值域是1,1 ⅲ 单调性

结合正弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

在2k,2 k  (k上是增函数；











Z)

222k

在





,2 k  

(k 

Z)上是减函数；

223ⅳ 最值

观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

当

x k 



,k

 Z 时，y max



1当

x k  ,k

时，y min

  1

 Z22

ⅴ 奇偶性

正弦函数的图象关于原点对称，所以正弦函数的奇函数。ⅵ 周期性

正弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2。（2）余弦函数的图象和性质（由学生分组讨论，得出结论）

通过多媒体课件展示出余弦函数的图象，由学生类比正弦函数的图象及性质进行讨论，探究余弦函数的性质： ⅰ 定义域

余弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域

从图象上可以看到余弦曲线在1,1这个范围内，所以余弦函数的值域是1,1 ⅲ 单调性

结合余弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

在,2 k  (k

2 k 

 



Z)上是增函数；

 2 k,2 k  

 (k 

Z)上是减函数；

在ⅳ 最值

观察余弦函数图象，可以容易发现余弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

min 当

x

k  , k 

Z 时，y max

 1

当

x

 2 k 



 , k 

Z 时，y



 1

ⅴ 奇偶性

余弦函数的图象关于y轴对称，所以余弦函数的偶函数。ⅵ 周期性

余弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2。

3、例题讲解：

例：求函数 y



sin（)的单调递增区间。

x23分析：采用代换法，利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。

1u 的单调递增区间是 解：令 u



x 

.函数 y

 sin

3[



k , 



2k 

Z

k  ],222

x  2由k 





k ,2321

得：

54kx4k,kZ.33

5x4k,4k(kZ)

)的单调增区间是 所以函数

y 

sin（

3323

4、练习：

 3求函数 y

sin(x )的单调减区间。

4k8,k8(kZ)

答案：









5、小结：

（1）探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？（2）求正弦函数、余弦函数的单调区间的基本步骤是怎样的？

6、作业：

习题1.4

第4题、第5题

第三篇：正弦函数余弦函数图象教学设计

正弦函数、余弦函数的图象的教学设计

一、教学内容与任务分析

本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修四第一章第四节1.4.1正弦函数、余弦函数的图象。本节课的教学是以之前的任意角的三角函数，三角函数的诱导公式的相关知识为基础，为之后学习正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。

二、学习者分析

学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数的诱导公式，并且刚学习三角函数线，这为用几何法作图提供了基础，但能不能正确应用来画图，这还需要老师做进一步的指导。

三、教学重难点

教学重点：正弦余弦函数图象的做法及其特征

教学难点：正弦余弦函数图象的做法，及其相互间的关系

四、教学目标

1.知识与技能目标

（1）了解用正弦线画正弦函数的图象,理解用平移法作余弦函数的图象

（2）掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征

（3）掌握利用图象变换作图的方法，体会图象间的联系（4）掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图 2.过程与方法目标

（1）通过动手作图，合作探究，体会数学知识间的内在联系（2）体会数形结合的思想

（3）培养分析问题、解决问题的能力 3.情感态度价值观目标

（1）养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识（2）激发数学的学习兴趣（3）体会数学的应用价值

五、教学过程

一、复习引入

师：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而确定的角又有着唯一确定的正弦（或余弦）值。

这样任意给定一个实数x有唯一确定的值sinx（cosx）与之对应，有这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R。

遇到一个新的函数，我们很容易想到的就是画函数图象，那怎么画正弦函数、余弦函数的图象呢？

我们先来做一个简弦运动的实验，这就是某个简弦函数的图象，通过实验是不是对正弦函数余弦函数的图象有了直观印象呢

【设计意图】通过动手实验，体会数学与其他的联系，激发学习兴趣。

二、讲授新课

（1）正弦函数y=sinx的图象

下面我们就来一起画这个正弦函数的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角0,，,„，2π的正弦线正弦线632（等价于“列表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

【设计意图】通过按步骤自己画图，体会如何画正弦函数的图象。根据终边相同的同名三角函数值相等，所以函数y=sinx,x∈[2k∏,2(k+1)∏,k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0,2∏)的图象的形状完全一致。于是我们只要将y=sinx，x∈[0,2∏)的图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.【设计意图】由三角函数值的关系，得出正弦函数的整体图象。

把角x(xR)的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.（2）余弦函数y=cosx的图象

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变得到余弦函数的图象？

根据诱导公式cosxsin(x),可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移

单位即得余弦函数y=cosx的图象.y1-6-5-4-3-2-o-1y1-6-5-4-3-2--123456xy=sinxy=cosx23456x 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

【设计意图】通过正弦函数与余弦函数的相互关系，在类比的过程中画出余弦函数的图象，体会数学知识间的联系，以及类比的数学思想。思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 【设计意图】通过问题，为下面五点法绘图方法介绍做铺垫 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)((3,-1)(2,0)2,1)(,0)2余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1)((3,0)(2,1)2,0)(,-1)2只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图．

3、讲解范例

例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-COSx 【设计意图】通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况，巩固画法步骤。

探究1． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到

（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x-π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。探究2．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X轴对称。探究3． 如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？

小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。探究4．

不用作图，你能判断函数y=sin(x3π/2)= sin[(x-3π/2)+2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。

【设计意图】通过四个探究问题，对画图法以及正弦余弦函数及其图象的性质有更深刻的认识。

4、小结作业

对本节课所学内容进行小结

【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。布置分层作业

基础题A题，提高题B题

【设计意图】将课堂延伸，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化。注重学生的个体发展，是每个层次的学生都有所进步。

第四篇：高一数学《正切函数的图象和性质(一)》教案

湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下）第四章 三角函数

正切函数的图象和性质

（一）教学目标

（一）知识与技能目标

（1）了解正切函数的图像特征；（2）初步了解正切函数的性质．

（二）过程与能力目标

了解利用正切和画出正切函数图像的方法．

（三）情感与态度目标

渗透数形结合思想，提高学生的数学修养． 教学重点

正切函数图像的画法． 教学难点

y2是ytanx,x(,)的图像的两条渐近线的理解． 22教学过程 复习

1.正切函数的定义？定义域？

定义域：x k(kZ)22.正切函数是否是一个周期函数？若是，最小正周期是多少？ 周 期 ：

tan(x)sin(x)sinxtanx(xR,且xk,kZ)cos(x)cosx2

ytanx(xR,且xk,kZ)的周期为T(最小正周期)2正切函数的图象：

由于正切函数是周期函数，且它的最小正周期为π，因此可以考虑先在一个 周期内作出正切函数的图象。正切函数周期的确定：

 因为 ytanx 的定义域为：{x|xk,(kZ)},2

所以可以确定一个周期为(,).22 作出ytanx在区间(,)上的图象： 2湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下）第四章 三角函数

 46 x2

264

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

ytanx(xR,且xk(kZ))的图象, 称“正切曲线”.2

y

33 2222

ox

 正切曲线是被一组平行直线xk(kZ)所隔开的无穷支曲线组成.2yo正切曲线的性质：

定义域值域周期奇偶性单调性{x|x2Rk,kZ}Ttan(x)tanx奇函数在开区间(22kZ内，函数单调递增k,k)应用：

例1.求函数ytan(x)的定义域.4湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下）第四章 三角函数

解：令zx{z|z4，那么函数ytanz的定义域是

2k,kZ}.由xx4z2k,可得

2k44k，所以函数ytan(x)的定义域是{x|xk,kZ}.44

例2.不通过求值，比较tan135与tan138 的大小.解：90135138270，3且ytanx在（，）上为增函数，22tan135tan138.例3.写出下列函数的单调区间： x（1）ytan();（2）y|tanx|.26x解：（1）当kk(kZ)

226224x2k(kZ)时，即2k33xytan()单调递增，2624,2k)(kZ)所求单调区间是(2k33tanx,x(k,k)(kZ)2（2）y|tanx|

tanx,x(k,k)(kZ)2可知函数y|tanx|的单调递减区间为(k,k)(kZ)，单调递增区间为

2(k,k)(kZ)

2课堂小结：

1.正切函数的图像.2.正切函数的特征与性质.作业：

1．阅读教材第76～79页； 2．教材第80页习题4.10第1、2、4、5题．

第五篇：有理分式函数的图象及性质

有理分式函数的图象及性质

【知识要点】 1．函数y

axbcx

d

(c0,adbc)dcdc

（2）值域：{y|y

（1）定义域：{x|x单调区间为(,直线x

dc,y

dcacb

x),(,+)（4）dc,ac，对称中心为点()

（5）奇偶性：当ad0时为奇函数。（62．函数yax

(a0,b0)的图象和性质：

（1）定义域：{x|x0}（2）值域：{y|y或y（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y轴和直线yax为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数yax

b(a0,b

0)的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数y

1x

1的图象是（）

A

x1

B

C

x3x

2D

x3x2

2．函数y

A.y

x3x2

2x

3(x1)的反函数是

x3x2

（）

(x1)

(x2)B.y

x2xa

(x2)C.y(x1)D.y

3．若函数f(x)的图象关于直线yx对称，则a的值是（）

A.1B.1C.2D.2

2x1

4．若函数f(x)存在反函数，则实数a的取值范围为

xaA.a1B.a1C.a

（）

D.a

5．不等式4x

A.(

12,0)（12

1x的解集为

12)（12

（）,0)(0,12),)B.(-,

axb,)C.(,0)(0，+)D.(

6．已知函数f(x)的图象如图所示，则a,b,c的大小关系为2

xc

A.abcB.acbC.bacD.bca 7．若正数a、b满足abab3,则ab的取值范围是_____。8．函数y

3xx

4（）的值域是。的反函数的图象关于点(1,4)成中心对称，则实数

9．若函数y

axxa

1a。

10．函数y

e1e1

x

x的反函数的定义域是。

11．不等式

2x1x

31的解集是。

12．函数y

xxxx1的值域是。

13．设f(x)x

ax1,x[0,+)。

（1）当a＝2时，求f(x)的最小值；

（2）当0＜a＜1时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值。14．设函数f(x)调性． BABDAD

331,]9．310．(1,1)11．x3或x412．[,1)443

213．解：（1）a＝2时，f（x）＝x＋＝ x＋1＋－1≥22－1，等号在x＋1＝，x1x1x1

xaxb

(ab0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单

7．[9,+)8．[

x＝2－1（∵x∈[0，＋∞））时成立．

（2）当0＜a＜1时，设x1，x2 ∈[0，＋∞），x1＜x2 ． 则f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）＋

ax21

－

ax11

a

＝（x2－x1）（1－

a

(x11)(x21)）．

∵ 0＜a＜1，∴

a

(x11)(x21)

＜1，1－

(x11)(x21)

＞0，又 x2－x1＞0，于是f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）（1－

a

(x11)(x21)）＞0，f（x2）＞ f（x1），f（x）是增函数． 在x＝0时，f（x）的最小值是a． 14．解：函数f(x)

xaxb的定义域为(,b)(b,)

f(x)在(,b)内是减函数，f(x)在(b,)内也是减函数

证明

f(x)

在(b,)内是减函数

取x1,x2(b,)，且x1x2，那么

x1ax1b

x2ax2b

f(x1)f(x2)





(a-b)(x2x1)(x1b)(x2b)

∵ab0,x2x10,(x1b)(x2b)0 ∴f(x1)f(x2)0 即

f(x)

在(b,)内是减函数，同理可证

f(x)

在(,b)内是减函数。

浅 说 函 数 的 对 称 性

函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是f(x)+ f(2a－x)= 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0)。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)

定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)

是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠

b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称。定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

(B)是偶函数，但不是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

‘

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)

例2：设定义域为R的函数y = f(x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5)= 1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2)反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，12

f(x)= －x，则f(8.6)= _________（第八届希望杯高二 第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3

例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）(A)0.5

(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5

解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数。

∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故选(B)