6.2 反比例函数的图象和性质 教案

第一篇：6.2 反比例函数的图象和性质 教案

6.2 反比例函数的图象和性质（1）教案

[教学目标]

1、体会并了解反比例函数的图象的意义

2、能描点画出反比例函数的图象

3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质 [教学重点和难点] 本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质

由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点 [教学过程]

1、情境创设

可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗?在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质．转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢?

2、探索活动

探索活动1 反比例函数y

由于反比例函数y6的图象． x6的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次x接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：

(1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)；

(2)方法与步骤——利用描点作图；

列表：取自变量x的哪些值? ——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值．

描点：依据什么(数据、方法)找点? 连线：怎样连线? ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来．

探索活动2 反比例函数y6的图象． x

可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：

(1)可以用画反比例函数y6的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； x

666与y之间的关系，画出y的图象．

xxx66

探索活动3 反比例函数y与y的图象有什么共同特征?

xx

(2)可以通过探索函数y

引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．

反比例函数yk(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线．当k0时，图象x在一、三象限：当k0时，图象在二、四象限．

反比例函数y

3、例题教学

课本安排例1，（1）巩固反比例函数的图象的性质．

（2）是为了引导学生认识到：由于在反比例函数yk(k≠0)中，只要常数xk(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称． xk的值确定，反比例函数就确定了．因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可．

（3）可以先设问：能否利用图象的性质来画图？

4、应用知识，体验成功

练笔：课本“课内练习” 1.2.3

5、归纳小结，反思提高

用描点法作图象的步骤

反比例函数的图象的性质

6、布置作业

作业本（1）课本“作业题”

第二篇：18.4.2反比例函数的图象和性质教案

18.4.2反比例函数的图象和性质（1）

一、教学目标

1.利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线； 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质；利用反比例函数的图象解决有关问题．

2.经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力；体会用数形结合思想解数学问题．

3.提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。

二、重难点

重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。难点：探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用。

三、教学过程

（一）复习引入新课: 1．什么是反比例函数?

k本节课，我们就来讨论一般的反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象，x探究它有什么性质．

（二）探究发现：

6活动1.画出函数y的图象．

x分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．

解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．

3.连线：用光滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用光滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．

上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．

提问 1这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？

6活动2：画出反比例函数y的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握

x画函数图象的步骤）．

学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．

61.这个函数的图象在哪两个象限？和函数y的图象有什么不同？

xk2.反比例函数y(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？

x3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？

k反比例函数y有下列性质：

x(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

注 1．双曲线的图象向x轴、y轴无限接近，但永远无法到达，即它的两个分支与x轴和y轴没有交点；

2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称． 3．有两条对称轴y=x、y=-x．

（三）实践应用

例1 若反比例函数y(m1)x2m2的图象在第二、四象限，求m的值．

分析 由反比例函数的定义可知：2m21 ,又以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．

2m21,解 由题意，得 解得m3．

m10k(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次x函数y＝kx－k的图象经过的象限． 例2 已知反比例函数yk(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此kx＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．

k解 因为反比例函数y(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，x所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限． 例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求这个函数的解析式，并画出图象；

(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？

分析(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；

(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．

k解(1)设：反比例函数的解析式为：y(k≠0)．

x而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．

k所以2，k＝－2．

12即反比例函数的解析式为：y．

x分析 由于反比例函数y

222(2)点A(－5,m)在反比例函数y图象上，所以m，x552点A的坐标为(5,)．

52点A关于x轴的对称点(5,)不在这个图象上；

52点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上；

52点A关于原点的对称点(5,)在这个图象上；

例4 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．

(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)画出函数的图象．

20解(1)因为100＝5xy,所以y ．

x(2)x＞0．

(3)图象如下：

说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．

1例5．如图，过反比例函数y（x＞0）的图象上任意两点A、xB分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）（A）S1＞S2（B）S1＝S2（C）S1＜S2（D）大小关系不能确定

k分析：从反比例函数y（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作

x1垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积Sxyk，由此可得S1＝S2 ＝，故

2选B

k练习2．在平面直角坐标系内，过反比例函数y（k＞0）的图象上的一

x点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

四、交流反思

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质． 1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)． 2.反比例函数有如下性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

（3）k的几何意义

四、课堂练习：1P52页练习1、2若反比例函数y(3n9)xn213的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．

五、小结：这节课，你学会了什么？

六、作业 ：见题篇

七板书设计：

教学后记：

第三篇：《反比例函数的图象和性质》教学反思

《反比例函数的图象和性质》教学反思

《反比例函数的图象和性质》教学反思1

在本节授课过程中，教学环节展开是顺畅的，学生在教师引导下，能够说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，按照列表、描点、连线三个步骤画出反比例函数图象，通过观察所画出的反比例函数图象，得出该图象的“特征”和函数的“性质”。

但因为学生刚接触反比例函数图象，图象外在形式(双曲线)与一次函数图象(直线)之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征;另一方面，在应用反比例函数(增或减)的性质，比较反比例函数的.两个函数值大小时，学生不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，这导致学生课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。

此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”。在教学过程中，教师极力引导学生“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”因素，以确保学习知识的“正迁移”效应，实际也会带来一些负面的影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于反比例函数“个性”的结论，理解上反而会受到一些干扰。

《反比例函数的图象和性质》教学反思2

反比例函数的图像与性质是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。为此应该有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比。对比可以从以下几个方面进行：

（1）两种函数的关系式有何不同？两种函数的图像的特征有何区别？

（2）在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？

（3）两种函数的取值范围有什么不同，常数的符号的改变对两种函数图像的变化趋势有什么影响？

从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。此外，在学习反比例函数图像的性质（k大于0双曲线的两个分支在一、三象限，k小于0双曲线的两个分支在二、四象限）时，学生由画法观察图象可知；而增减性由解析式y等于k比x（k不等于0），学生也容易理解，但从图象观察增减性较难，借助计算机的动态演示就容易多了。运用多媒体比较两函数图像，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别。从而使学生加深对两函数性质的理解。

通过本案例的教学，使我深刻地体会到了信息技术在数学课堂教学中的灵活性、直观性。虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高。在评价学生的学习时应关注以下几个过程：

1、关注学生学习过程，进行形成性评价

教师应以学段教学目标为背景，以本章教学目标为标准来考察学生的.学习状况。在教与学的过程中，了解学生数学活动中情感与智力的参与程度和目标达到的水平，及时进行归因分析，不断积极引导和激励。同时利用诊断结果不断改进自己的教学。

2、知识技能的评价，注重学生对函数概念及反比例函数的理解水平。

本部分内容中，对知识技能的评价包括：能否理解反比例函数的概念，了解函数及其图象的主要性质；能否根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题等。对这些知识技能的评价，应当更多的关注其在实际问题情境中的意义理解。如对于反比例函数的概念及其性质，关键是体会它们在不同情境中的应用，只要学生能在具体情境应用它们解决问题即可，而不要过于关注其具体运用的熟练程度，如可以要求学生举例说明反比例函数在显示生活中的应用等。

3、发展性评价，关注数学活动引起人的变化

观察反比例函数图象获取函数相关性质的信息有较大空间，考察学生能否对信息作出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活支配运用知识有效的解决问题。关注并追踪这些活动所引起的学生的持久变化。

《反比例函数的图象和性质》教学反思3

这一课主要的教学任务是探究反比例函数的比例系数k的几何意义，研究与反比例函数有关的面积问题。

课堂设计程序是：例题1研究从双曲线上任意一点P作坐标轴的垂线，围成的长方形PQOR的面积与k的关系，进而进行题目的变化，得到从双曲线上任意一点P作x、y轴的垂线三角形PQO的面积与k的关系，得到从双曲线上任意一个动点P作坐标轴的垂线，围成的`长方形S1、S2、S3的面积总有S1=S2=S3；例题2揭示了正比例函数的图象与反比例函数的图象两个交点的关系（关于原点对称），过两个交点并且垂直于坐标轴的直线围成的矩形的面积（等于k的绝对值的4倍），进而进行题目的变化，得到几种三角形的面积和平行四边形的面积，由学生及时进行相应的练习；例题3把一次函数与反比例函数相结合，进行了比较简单的综合应用，让学生进行面积的和差组合，培养学生分析问题解决问题的能力。

在学生进行到反比例函数的研究时，数形结合的思想就能够应用自如了，学生的学习情况还是比较好的。回想起来，还是结合个方面的知识内容，用待定系数法求函数的解析式的题目类型学生的达成率不够好，要加强这方面的训练。

《反比例函数的图象和性质》教学反思4

这一课主要的教学任务是探究反比例函数的比例系数k的几何意义，研究与反比例函数有关的面积问题。

课堂设计程序是：

例题1研究从双曲线上任意一点P作坐标轴的垂线，围成的长方形PQOR的面积与k的关系，进而进行题目的变化，得到从双曲线上任意一点P作x、y轴的垂线三角形PQO的面积与k的关系，得到从双曲线上任意一个动点P作坐标轴的垂线，围成的长方形S1、S2、S3的面积总有S1=S2=S3；

例题2揭示了正比例函数的图象与反比例函数的图象两个交点的关系（关于原点对称），过两个交点并且垂直于坐标轴的直线围成的矩形的面积（等于k的绝对值的`4倍），进而进行题目的变化，得到几种三角形的面积和平行四边形的面积，由学生及时进行相应的练习；

例题3把一次函数与反比例函数相结合，进行了比较简单的综合应用，让学生进行面积的和差组合，培养学生分析问题解决问题的能力。

在学生进行到反比例函数的研究时，数形结合的思想就能够应用自如了，学生的学习情况还是比较好的。回想起来，还是结合个方面的知识内容，用待定系数法求函数的解析式的题目类型学生的达成率不够好，要加强这方面的训练。

利用待定系数法求反比例函数的解析式是学生必会内容，本课教学有一次函数的基础，所以学生学习起来并不感到有多困难的。因此，本课在学习用待定系数法求函数的解析式的前面安排函数性质的复习，学习和巩固“在每个象限内”的反比例函数的增减情况的有关应用问题，例如第4小题，A(a，b)，B(a-1，c)在反比例函数y=k/x(k<0)的图象上，探究a的各种不同的取值情况下，b与c的大小关系。

用待定系数法求反比例函数的解析式，安排了两个例题两个练习，题量不多重在使学生自主学习，这里着重加强对数形结合思想的应用，培养学生通过图形研究问题的习惯，另外，例题2需要学生结合三角形全等的几何知识解决点的坐标的探究，去年期末考试的最后一道试题也是在平面直角坐标系下几何问题的研究，学生不是很熟悉的，因此，培养学生各种背景下数学问题的研究很有必要。

由于在上面两块内容上用了很多时间，本课对比例系数k的几何意义没有作研究，安排在下一课再作学习。

第四篇：反比例函数的图象与性质教案(第二课时)

九年级（下册）第一章 反比例函数的图象与性质（第1课时）---2 新知导读 1．画函数y2x的图象，首先应列出x、y的一些对应值，不列表你能知道横坐标x与纵坐标的符号之间有何关系吗？ 答：符号相同。

2.已知变量y与x成反比例,并且当x=2时,y=-3.(1)求y与x的函数关系式;(2)求当y=2时x的值;(3)在直角坐标系内画出(1)小题中函数图象的草图.答：（1）y=范例点睛

例1．如果P（a，b）在ykx6x；（2）—3；（3）图略，位于二四象限的双曲线。的图象上，则在此图象上的点还有（）

A．（-a，b）;B．（a，-b）;C．（-a，-b）;D．（0，0）

思路点拨：（1）可以从xy=k发现，横纵坐标之间的关系，由ab=k，而C选项（—a）（—b）=k，选C。（2）或者根据双曲线的特征，它是关于原点对称的，则图象上每个点关于原点的对称点也在图象上，从而选C。

易错辨析：注意双曲线是不经过原点的。例2．如图，已知P是双曲线y2000x上的任意一点，过P分别作PA⊥x轴，PB⊥y轴，A，B分别是垂足，（1）求四边形PAOB的面积。（2）P点向左移动时，四边形PAOB的面积如何变化？

思路点拨：先利用双曲线设出P点的坐标，再转化为线段PA，PB的长度，通过计算得出面积。

易错辨析：从坐标转化为线段长，注意加上绝对值。方法点评：（1）设P（a,的面积S=PA·PB=|课外链接

有一游泳池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x立方米的话，则经过y小时可以把水放完。写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围，画出函数图象。

易错辨析：自变量的范围是x>0，注意x的范围不是0

2000a），则PA=|

2000a2000a|，PB=|a|，四边形PAOB2000a|·|a|=（—）（—a）=2000。（2）面积不变。

随堂演练

1．已知y与2x—1成反比例,且当x=1时,y=2,那么当x=0时,y=________.2.若函数y=(m-1)xm22是反比例函数,则m的值等于()A.±1 B.1 C.3 D.-1 3．一次函数y2x1与反比例函数y4x的图象交点的个数为（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）无数个 4．已知P为函数y＝2x图像上一点，且P到原点的距离为2，则符合条件的点P数为()A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个 5．分别在坐标系中画出它们的函数图象。（1）y＝

6．已知x,y满足xy=-4,用x的代数式表示y,并画出函数图象.7．反比例函数ykx12x（2）y=

3x 的图象经过点（-2，4），求它的解析式，并画出函数图象，图象分布在哪几个象限？与坐标轴的交点是什么？

8．已知三角形的面积为24cm2,任一边a(cm)与这边上的高h(cm)之间的函数关系式, 并写出自变量的取值范围,画出图象.9．已知反比例函数y=

10.已知一次函数y=2x-k的图象与反比例函数y=

k5xax 和一次函数y=kx+b的图象都经过(2,-1),(1,c)两点, 求这两个函数的解析式

的图象相交,其中一个交点纵坐标为-4,求k。

第五篇：案例D 《反比例函数的图象和性质》案例分析

案例D :《反比例函数的图象和性质》案例分析

1、张老师在这节课使用了哪些教学策略？

答：张老师在这节课用了以下教学策略：

（1）合作学习策略：张老师让大家拿出课前要求准备的坐标纸，让同排的两个人合作画出反比例函数的图象。让同学们在讲台上用实物投影仪将画的反函数图象展示给大家。这一过程就充分体现了这个学习策略。

（2）探究式学习策略:在不给定结果的情况下，让学生通过自己的尝试寻找到反比例函数的图像的画法。

（3）启发式教学策略，张老师组织学生复习正比例函数和一次函数的图象和性质后，自然引出反比例函数的图象是什么样子？反比例函数有怎样的性质？说明这两个问题就是我们今天研究的课题。但张老师没有直接告诉大家，而是先让大家回顾学习一次函数图象的情景，让大家说说当初是用什么方法画出一次函数的图象的。从画一次函数的图像的方法中得到启发：列表、描点、连线。那么，用同样的方法画反比例函数的图像呢？

2、张老师在这节课中采用同桌分组的策略你认为是否恰当？

答：我认为是恰当的。这本节课学习中，学生已经明确了活动的目标―――画反比例函数的图像，已经掌握了画图像的基本方法，学生可以分组合作。在共同完成任务的过程中，学生可以发挥各自的认知特点，相互争论、相互帮助、相互提示或者是进行分工合作。学习者对学习内容的理解和领悟就在这种和同伴紧密沟通与协作的过程中逐渐形成。

3、张老师选择在计算机机房来上这节课，你认为什么样的课程活动适合在计算机机房进行？ 答：张老师选择在计算机机房来上这节课，我认为是非常合理的，因为他事先已经做了准备―――在机房的所有机器上安装了Math3.0 和超级画板这两个软件。且超级画板这个软件能生动直观地展示图像的特征。但它要求学生有一定的电脑操作基础，不然，张老师的一次演示是不能教会学生使用这个软件的。

我认为那些需要作图、图形的变化和运动等课比较适合在机房进行。

4、如果这堂课在多媒体教室上，你会怎样修改教学过程？

答：这堂课在多媒体教室上，我会将学生在电脑上用超级画板上探索反比例函数图像的教学过程进行修改：用PPT展示列表，再一一展示描点的过程，然后连线，或者用flash完成这一过程，又或者利用几何画板展示画图过程。

5、这节课对你有哪些启发？有哪些地方需要改进？

答：在这节课中，我学习了三种教学策略，学会了如何运用启发式教学，如何组织学生进行分组学习，有一些教学内容不好直接展示其过程的，可以借助计算机辅助教学。同时对于某些课程的学习，我们可以创新学习的方式，给学生提供更好的辅助工具进行教学