26、2二次函数y=ax2+k的图象与性质教案

第一篇：26、2二次函数y=ax2+k的图象与性质教案

26.2二次函数y=ax2+k的图象与性质

一．教学目标 1.知识与能力

能够作出函数y=ax2+k的图象，并能够理解函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系，理解a、k对二次函数图象的影响；能够正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。2.过程与方法

通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身的特点的认识和对二次函数性质的理解；经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。3.情感态度与价值观

通过动手操作，激发学生的学习兴趣，在互动中让学生学会和他人合作、交流，同时让学生在猜想与探究中，体验学习的快乐。二．教材分析

二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型。它的图象是抛物线，通过前两节课的学习，大家不仅会画简单的抛物线，而且还能够通过观察图像了解抛物线的一些性质。

本节课通过对二次函数y=ax2+k的图象的作法和性质的过程探索，进一步将函数的表格、关系式、图像三者联系起来，逐步积累研究函数的图象和性质的经验。

在教学中，运用类比的学习方法，通过与y=ax2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质，三．教学重点

能作出y=ax2+k的图象，并能够比较它与y=ax2的异同，理解a与k对于二次函数图象的影响，能说出函数y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。四．教学难点

能够作出函数y=ax2+k的图象，并总结其性质，还能和函数y=ax2作比较，五．教学准备 多媒体 六．教学过程

（一）、创设问题情境，引出新课

上节课，我们一起学习了函数y=ax2的图象的画法，了解了它们的图象的一些性质，请你告诉大家函数y=2x2与y=-x2图象有哪些相同点和不同点？ 提出问题，引导学生回顾已学的知识。并追问：

你知道y=2x2+1 y=2x2-1有哪些性质吗？它们的图象与y=2x2的图象有什么关系？

积极回忆已学的知识，并思考回答

（板书课题）

设计意图：对于函数y=ax2（a>0）图象性质加以总结。这里取a为正，负数对比，不仅进一步复习巩固，同时为今天运用类比教学打下铺垫，提问时分层回答，不断补充，体现合作，互助。

（二）、师生互动，探求新知 问题一（多媒体展示）

在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=2x2, y=2x2+1 和y=2x2-1的图象呢？ 1．培养学生的自学能力独立思考问题的习惯。提出问题1，组织学生自学填1．培养学生的自学能力独立思考问题的习惯。

2．能够将自己的想法说给同伴听训练孩子的语言表达能力。表、描点、画图个别指导，展示学生作品，指出作图中不足之处。

学生经历列表，描点，连线的过程，作出函数图象，认真观察并注意聆听老师的指导，观察表格中的数据。

设计意图：1.规范作图，注意抛物线的对称性。

2.通过表中的数据体现出来的规律让学生发现猜测、验证，重视学习过程，体验表格、关系式、图表三者之间的联系。

观察

（一）1.函数y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的图象，它们的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是多少？

对于同一个x的值，对应的函数y=2x2,y=2x2+1

与y=2x2-1的值有什么关系？三个函数图象在位置上有什么关系？

当x分别取何值时函

数y=2x2, y=2x2+1与

y=2x2-1有最小值？最小值是多少呢？

4.你还能发现哪些结论大胆的说一说。

教师提问并对学生回答的情况给予适当的点评与补充，并对学生的好的回答给予积极的回应适当的夸奖 2.教师展示多媒体。

独立思考自主探究，得到答案，认真倾听他人的回答，取长补短。设计意图：

1、过观察函数图象，使每个学生都能够说出y=2x2,y=2x2+1与 y=2x2-1 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标。

2、直观的函数图象体会y=2x2,y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间的关系可以通过平移得到。

3、解y=2x2,y=2x2+1

与y=2x2-1的最值。

4、励大家将自己发现的结论与大家交流，使每个人都有不同的收获，但教师在肯定保护学生个性的同时还提出了规范和严谨 观察

（二）（多媒体展示）

比较函数y=2x2，y=2x2+1 与y=2x2-1的图象的性质有何相同点有和不同点？ 1．组织学生独立思考与合作交流相结合。

2．倾听学生的回答并积极地给予点评或纠正。3．利用多媒体进行归纳与整理。

独立思考自主探究，得到答案，认真倾听他人的回答，取长补短。设计意图：

1．培养学生的自学能力独立思考问题的习惯。

2．能够将自己的想法说给同伴听训练孩子的语言表达能力。3．让孩子学会发散地思考问题，也要学会归纳和总结。想一想

二次函数y=2x2,y=2x2+1和 y=2x2-1的图象有什么联系？能通过怎样的变换得到？

1.展示问题 2.多媒体展示几何画板软件，让图象动起来，更加直观。认真观察教师演示，用心思考、总结。设计意图：

培养学生的观察能力 问题二

在同一个平面直角坐标系中，怎样画出y=-x2 y=-x2+1与y=-x2+1的图象呢？

在学生对以上的问题思考与总结后提出该问题。大胆猜测并动手验证。设计意图：

培养学生的辩证思维能力，诉学生所有的结论都必须用自己的实践来验证，知识必须用自己的实际行动来获取。归纳总结

1.抛物线y=ax2 与y=ax2+k的形状、开口方向、开口大小相同，只是位置不同。抛物线y=ax2+k可以看成抛物线y=ax2 沿着y轴方向平移

k个单位得到，当k>0时向上平移

当k<0时向下平移

组织学生思考问题总结问题讨论问题回答问题，并板书总结。

独立思考，合作交流。独立思考合作交流总结归纳并在教师给出总结后阅读归纳总结的内容加深印象 设计意图：

培养学生的独立思考问题的能力，和与他人交流的能力，并学会对学习知识进行规范的总结语，详尽的反思。巩固练习课本

练习

巡视学生列表描点连线的过程，继续对作图的规范性给予指导 列表、描点连线，完成相应的填空并回答。

让每个学生不仅理解a>0时y=ax2 与y=ax2+k的图象和性质，同时也要理解a<0时函数y=ax2 与y=ax2+k的图象和性质。学习心得交流

1.这节课大家在交流，活动中有哪些体验和收获？

2.对函数y=ax2 与y=ax2+k的图的象的画法和性质还有哪些困惑？ a、k的值对于二次函数图象和性质有何影响？ 组织学生交流讨论

对学生在讨论中仍存在疑惑的东西给予解释 互相交流互相补充

每个学生接受能力不尽相同对知识的理解也不一样在学习心得交流过程中既是总结的过程更是查缺补漏的过程。布置作业

习题

26、第1题

新知训练，巩固所学的知识 板书设计

第二篇：二次函数的图象和性质教案

27.2.1 相似三角形的判定

（一）梅

一、教学目标

1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．

2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．

3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．

二、重点、难点

1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 2．难点：三角形相似的预备定理的应用． 3．难点的突破方法

（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，ABBCCA每个比的前

ABBCCA项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；

（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；

（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；

（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比ABBCCAk，那么△A′B′C′∽△ABC

ABBCCA的相似比就是ABBCCA1，它们的关系是互为倒数．这

ABBCCAk一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．

三、例题的意图

本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．

例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．

四、课堂引入

1．复习引入

（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．

在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCAk．

ABBCCA我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCA．

ABBCCA（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明． 3．【归纳】

三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

五、例题讲解

例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．

解：略（AD=3，DC=5）

例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有ADAE，又由AD=EC可求出AD的长，再根据DEAD求出DE的长．

ABACBCAB解：略（DE103）．

六、课堂练习

1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）

A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形

C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形

2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．（CD= 10）

七、课后练习

1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．

3．如图，DE∥BC，）

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长． 教学反思

第三篇：《二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象和性质》教学反思

《二次函数y=ax+k、y=a（x-h）的图象和性质》教学反思

龙潭镇第一初级中学 黄海东

在讲授了二次函数y=ax2+k、y=a（x-h）2的图象时，有点感触：

1、先诱导学生比较二次函数y=ax2+k与二次函数y=ax2在形式结构上有什么异同点，很容易发现二次函数y=ax2+k与二次函数y=ax2后多加一个k，同一个自变量值相应函数值增加或减少常数K的绝对值，即是将二次函数y=ax2图象向上/向下平移常数K的绝对值个单位长度，至于向上还是向下就取决于K的正负性。

2、比较二次函数y=a（x-h）2和二次函数y=ax2的异同点，不难发现只有平方项的底数不同而已，也就是说对于同一个函数值相应自变量由0变为h，我们清楚知道改变自变量值就相当于左/右平移，把问题实质转向看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。先由解析式求出顶点坐标，再看平移的问题。如二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为（0，h）和二次函数y=ax2的顶点坐标为（0，0）, 由坐标（0，0）变成坐标（0，h）相当于把顶点从（0，0）平移到（0，h），至于左/右平移就看h的正负性，h正就往右移，相反就往左移。

通过本节课我觉得：

1、要想教好数学单凭经验是远远不够的，一定要让同学动起来；

2、抛物线平移问题实质就是其顶点平移问题。22

第四篇：第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(教案)

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

教学目标

【知识与技能】

1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；

2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；

3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.【过程与方法】

通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.【情感态度】

经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.教学重点

用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.教学难点

用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.教学过程

一、情境导入，初步认识

问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.问题2你知道二次函数y=标吗？

【教学说明】问题1设计的目的既是对前面所学知识进行简单的回顾，又为

2x-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐2本节知识的学习展示着方法和思路，学生处理起来较为简单，可采用抢答形式来处理.问题2设计的目的在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，学生在处理问题2时可能有些困难，教师适时诱导，引入新课.二、思考探究，获取新知 问题1你能把二次函数y=的图案的对称轴和顶点坐标.问题2在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数y=的图象,并对比观察它们的图象有什么区别和联系.问题3请结合问题2的图象，指出当x取何值时，函数值y的最小值是多少？当x取何值时，函数y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？

【教学说明】在学生探索上述三个问题过程中，教师巡视，关注学生将二次函数一般式化为顶点式时可能出现的失误，予以诱导，引导学生在画y=12x-6x+21的图象时如何列表，这样列表有哪些好处等，并使学生在活动过程21

2x-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗？并指出它2121x-6x+21与y=x222中进一步认识到：要想正确认识二次函数y=ax2+bx+c,一定要将它利用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式才行.三、问题引导，归纳结论

问题1抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何做到的？

b解：yax2bxcax2xcabbb［ax22x］c2a2a2abbaxa·2c2a4ab4acb2ax2a4ab4acb2b∴抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=，顶点坐标是,.2a4a2a222222

【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:

【教学说明】针对所提出的问题，可能部分同学感到有些困难，因而教师在巡视过程中，应给予帮助，适当鼓励，让学生尽可能自主探究，最后师生共同探索结果.在结论归纳完成后，教师引导学生做课本第39页练习，可让学生自主完成，然后举手回答.问题2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移变换.已知将二次函数y=x2+bx+c的图象先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得二次函数y=x2-2x+1的图象，求b和c.分析：要求b与c，需先求函数y=x2+bx+c的关系式，要求关系式，可先求出顶点坐标；根据两抛物线的平移情况，可确定顶点坐标.解：∵y=x2-2x+1=(x-1)2,∴抛物线y=x2-2x+1的顶点为（1,0）.根据题意，此抛物线向下平移2个单位，向右平移3个单位，可得y=x2+bx+c,此时，（1，0）平移到（4，-2），即抛物线y=x2+bx+c的顶点是（4，-2），∴y=x2+bx+c=(x-4)2-2=x2-8x+14,∴b=-8,c=14.【教学说明】

1.可先回顾前面学过的y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的平移关系，引导学生思考，交流，探索结果，然后师生共同探讨总结规律：抛物线y=a(x-h)2+k在平移时，a不变，只是h或k发生变化，因此，研究抛物线的平移问题，关键是准确求出抛物线顶点的坐标，进而研究其顶点位置的变化情况.b4acb22.二次函数y=ax+bx+c（a≠0）通过配方可化为yax的2a4a

22形式，于是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可看成由抛物线y=ax2向左或右b4acb2|个单位，向上或向下平移|平移||个单位得到的.2a4a

四、运用新知，深化理解

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A.a＞0,b＞0,c＞0 B.a＞0,b＜0,c＜0 C.a＜0,b＜0,c＜0 D.a＞0,b＞0,c＜0 2.把二次函数y=1/4x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式为_____.3.二次函数y=-1/2x2-3x+5/2的图象的顶点坐标为_____.4.把抛物线y=ax2+bx+c，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则a+b+c=_____.【教学说明】1题中a、c的符号可直接通过观察图象获得，再由a的符号及对称轴x=-b/2a＜0，可得到b的符号，这是本题的重难点，教学时教师可予以重点关注；

2、3两题较为简单，同学们可自主完成;4题中抛物线通过平移变换，得到y=x2-3x+5,逆推易得a、b、c的值，从而得到a+b+c，此类题型需熟练掌握二次函数的平移变换.五、师生互动，课堂小结

1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：（1）当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；

（2）当a、b、c比较复杂时，可直接用公式来确定：

4acb2b抛物线y=ax+bx+c的对称轴为x，顶点坐标为.4a2a22.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时，应先将它化为y=a(x-h)2+k形式后，进行研究为好.课后作业

1.布置作业：教材习题22.1中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。教学反思

第五篇：二次函数的图象与性质1（最终版）

二次函数的图象与性质（1）

〖课标要求〗：会用描点画二次函数的图象，能根据图象说出二次函数的性质，并能运用其

性质解决有关问题。〖教学目标〗：

知识与技能：能够运用描点法作出函数yax2（a0)的图象，能够根据图象认识和理解

此函数的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

过程与方法：通过观察图象，并概括出图象的有关性质，训练学生的观察、分析能力，经历

探索二次函数的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

情感态度与价值观：通过用描点法画出函数图象，培养尊重客观事物的科学态度。

〖教学重点〗：二次函数yax2（a0)的图象和由图象概括的二次函数yax2的性质。

〖教学难点〗：二次函数yax2（a0)性质的应用。

〖教学流程〗：

一、导入

1、前面我们研究了一些具体的函数，根据你的经验，学习了二次函数的概念后，接着要研

究什么问题。

2、想一想，一次函数的性质是怎样研究的？那么二次函数的性质怎样借鉴这个经验来研究

呢？

二、自主学习

1、阅读课本24页到27页内容，划记重点内容，将不懂的问题记录在“我的疑问”栏目中。

2、小组合作讨论，完成学研指导案“学习新知”。

3、释疑和质疑预见性问题：

①用描点法画图象通常有哪些步骤？

②列表时应注意什么？

③连线时应注意什么？

三、合作探究

1、小组合作交流讨论，完成《学研指导案》中“合作探究”1、2、3题。

2、小组展示《学研指导案》中“合作探究”的3个问题。

教师点拔合作探究中存在的问题。

①用描点法画图象时先列表、再描点、最后连线。

②因为自变量的取值范围是全体实数，因此在列表时，要以0为中点，左右取值。

③连线时应注意按照横坐标由小到大的顺序把所描出各点用平滑的曲线连接起来。

四、归纳整理

21、二次函数yax（a0)的图象是一条开口向上的抛物线。它是轴对称图形，对称轴

是Y轴。

2、对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而减小；对称轴右边的部分，函数值随自变

量的增大而增大。

3、当x0时函数值最小。

五、自测评估

1、学生自主完成《学研指导案》中“课堂目标达成”的1～4题

2、学生展示解题结果。

3、教师点拔学生的解题过程

4、教师对学生的解题给予恰当的评价。

5、课后作业：完成《学研指导案》中“课后巩固提升”的练习题。

六、教学反思