高中数学教案：正切函数的图象和性质

第一篇：高中数学教案：正切函数的图象和性质

正切函数的图象和性质

（一）教材分析：

学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。

（二）素质教育目标： 1.知识目标：

（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象；（2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2.能力目标：

（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；

（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3.德育目标：培养研究探索问题的能力；

（三）教学三点解析：

1.教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 2.教学难点：性质的研究；

3.教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数；

（四）教学过程设计 1．设置情境

前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。2．探索研究

由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制ytanx图象．

（1）用正切线作正切函数图象

1分析一下正切函数ytanx是否为周期函数？

○ f(x)taxn(sinx())coxs()xsinxtfaxn xcos()

∴ytanx 是周期函数，是它的一个周期．

我们还可以证明，是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数ytanx，x

,的图象． 22

作法如下：

①作直角坐标系，并在直角坐标系

轴左侧作单位圆．

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③描点。（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．

④连线．

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytanx，(xR,xk2,kZ)的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

①定义域：x|xk

②值域：R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是． ,kZ 2

④奇偶性：tan(x)tanx，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称．

⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数

b.正切函数在每个单调区间内都是增函数

c.每个单调区间都包括两个象限：

四、一或二、三 3．例题分析

【例1】求函数ytan(x2k,2k),kZ内都是增函数．

4)的定义域．

分析：我们已经知道了ytanz的定义域，那么ytan(x4)与ytanz有什么关系呢？令zx4，我们把ytan(x4)说成由ytanz和zx4复合而成。此时我们称ytan(x4)为复合函数，而把ytanz和zx4为简单函数

解：令zx4，那么函数ytanz 的定义域是z|zk,kZ 2

由 x4zk2，可得 xk4

所以函数ytan(x4)的定义域是{x|xk4,kZ}

解题回顾：这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。

练习1：求函数ytan(2x

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）与

；

4)的定义域。（学生板演。）（2）tan(1113)与tan()． 45分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。

比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法

解：（1）90167173180

又 ∵ytanx，在(90,270)上是增函数

∴tan167tan17（2）∵tan(1111)tan＝tan 44tan(13132)tantan 555又 ∵0＜2＜＜，函数ytanx，x, 是增函数，5422221113)tan()． 即tan(54∴ tan4＜ tan解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到ytanx 的同一单调区间内，利用ytanx 的单调递增性来解决．

练习2：比较大小：

(1)tan138_____tan143（学生口答）（＜）(2)tan(1317)_____tan()（学生板演）（＞）45【例3】求f(x)tan2x的周期

3．总结提炼

（1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质

（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。

（3）正切函数的性质．

4.布置作业：作业：苏大资料“12.正切函数的图象与性质”.

第二篇：《正切函数的性质和图象》的教学设计

《正切函数的性质和图象》的教学设计

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.（作者单位：甘肃省嘉峪关市第一中学）

第三篇：《正切函数的图象与性质》教学设计

《正切函数的图象与性质》教学设计

教学年级。辽河油田第二高级中学高一学年 版本：人教B版 课时：第10课时

一、教学目标

知识与技能：掌握正切函数的性质与图象，会应用正切函数的性质解决问题 过程与方法：类比正弦函数的性质和图象得出正切函数的性质和图象，体会类比与归纳的应用

情感态度与价值观：类比不同的函数得出不同的性质，学会分析问题，透过现象看本质

二、教学重点与难点

重点：正切函数的图象和性质 难点：利用正切线画正切曲线

三、教学方法：启发、引导自学探究

四、教学流程(一)导入新课

1、正弦函数、余弦函数的图象与性质及作图过程

作图利用描点法、采用几何方法，平移正弦线作正弦函数图象 教学处理：学生回顾正弦函数的研究过程。

设计意图：通过对正弦函数研究过程的回顾，为研究正切函数的图象与性质做好准备。

（二）新课讲析

2、给出正切函数定义，探究正切函数的图象并研究正切函数的性质。

教学处理：学生自主探究，交流结果，分析方法，教师引导学生归结作图的基本方法与研究正切函数性质的基本方法。设计意图：学生通过对正弦函数的学习，学会利用学过的知识与方法通过类比的方式去解决具体问题。

3、归纳图象、性质

教学处理：归纳正切函数的性质

设计意图：使学生掌握正切函数的图象与性质。

4、例题：求函数ytanx的定义域、周期、和单调区间

23教学处理：学生自主探究，归纳方法与结论。

设计意图：学生利用正切函数的图象自主研究形如yAtan5、比较大小

(1)tan1380与tan143(2)tan13与tan17

0x的性质。

45教学处理：学生独立思考，归纳方法

设计意图：应用正切函数的性质解决具体问题

（三）课堂教学检测

1、求函数ytanx62的定义域

2、求函数ytan2x,x512k2kZ的最小正周期 3

3、比较大小

（1）tan与5tan3 7(2)tan15190与tan14930

4、写出下列不等式成立的x的集合

（1）1tanx0（2）tanx30

（四）课堂小结：掌握研究正切函数的方法及正切函数的图象与性质。

第四篇：正切函数的性质与图象 教学设计

《1.4.3 正切函数的性质与图象》教学设计

一、教材内容分析

本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.4《三角函数的图象与性质》中的第1.4.3节《正切函数的性质与图象》，属于本小节第四课时.第一课时我们学习了“正弦函数、余弦函数的图象”，第二课时学习了“正弦函数、余弦函数的性质中的周期性”，第三课时学习了“正弦函数、余弦函数的性质中的奇偶性、单调性”，学生通过前面几节内容的学习，对研究函数的方法有了一个更加清晰的认识，即先给出函数的定义，然后研究函数的图象，最后得到函数的性质，事实上这种研究方法是我们在一直采用的方法.有了前面的研究经验，加之有些函数的图象并不好画，因此本节我们从一个新的角度研究正切函数,先研究它的性质，在对性质有了一个初步了解后，再来研究函数的图象，最后利用图象验证我们之前所得到的性质，本节给出了研究函数的另一种方法.例题的编写意图：这是一个与复合函数有关的问题，是对正切函数性质的深入应用.学生在求定义域时容易想到换元法，让“新元”落在正切函数的定义域内解出自变量x的取值范围；关于该函数的周期学生有了前面求正弦型函数周期的经验，利用类比的方法猜想T，接下来需要利用周期函数的定义验证这一猜想；本例题比较难处理的地方是单调1x)，x[2,2]的增区间的求法，这使得学生对方法的接受变得自23性，教材为了化解难点，在必修一研究了复合函数单调性的判断方法，在上一节的例5给出了函数ysin(然.课后习题正切函数的性质及其图象的应用，针对性强.二、学情分析

学生在初中学习了简单的一次函数、二次函数、反比例函数，进入高中以后又学习了指数函数、对数函数、幂函数，还有前两节学习的正弦函数、余弦函数，我们在学习这些函数的时候都是先研究函数的图象，在由图象得到函数的性质.但是在学习过程中，他们会遇到某些函数的图象并不容易直接作出的情况，此时就需要有一种新的研究方法出现，即本节的研究方法，先研究函数的性质再研究函数图象.有了前面三节课的研究经验，学生容易想到从两域三性的角度研究.首先通过探究（几何画板演示）获得正切函数的性质，接下来采用类比的方法利用正切线作正切函数在(,)上的图象，结合正切函数的周期性得到正切22函数在整个定义域上的图象，最后利用图象讨论函数的性质.学生在例题的接受上可能会存在较大的困难，结合之前学习的正弦型函数的周期及单调区间的求法再来理解本例题会变得更加容易.三、教学目标分析

知识与技能：

1.理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和值域等基本性质及正切函数的图象；

ππ 2.了解用正切线作正切函数在(-,)内的图象.22过程与方法：

1.通过探究（观察-猜想-验证）获得正切函数的性质,体会数形结合的数学思想； 2.利用类比的方法获得正切函数的图象； 3.讲解例题，总结方法，巩固练习.情感态度与价值观：

1.通过几何画板演示，引发学生的学习兴趣；

2.创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，增强学生的探究意识；

四、教学重点、难点分析

教学重点：

1.正切函数的性质的探究；

2.利用正切线作正切函数的图象.教学难点：

正切函数性质的应用（例题）.五、教学支持条件分析

为了更加直观地突出重点、突破难点，激发学生的学习兴趣，本节课以几何画板为依托，对正切函数的性质逐一探究，并利用正切线作出正切函数的图象，让学生体会“类比”的方法及“数形结合”的数学思想.六、教学方法分析

本节采用引导探究、讲练结合的教学方法，通过几何画板演示让学生发现规律、提出猜想、验证猜想，经历问题解决的过程，体会研究问题的方法.通过老师分析例题，加强学生分析问题的能力.七、教学过程

（一）复习引入

1、研究正弦函数、余弦函数的方法是什么？ 师生活动：共同回忆之前研究函数的方法.设计意图：之前研究函数的方法是先给出定义然后研究图象，再由图象得函数的性质.本节采用的研究方法是先研究性质再研究图象，提供了研究函数的另一种方法.2、正切函数是如何定义的？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生回忆正切函数的定义.设计意图：为接下来性质的探究做好准备.（二）新课讲解

探究

（一）正切函数的性质

知识探究1 正切函数的定义域

问题1 研究一个函数，我们需要先考虑它的什么性质？

师生活动：教师利用几何画板演示角x终边的情况，学生思考x的取值范围并得出结论，教师在几何画板上展示定义域在x轴上的分布情况.设计意图：研究函数需优先考虑定义域，学生观察图象不难得出定义域关于原点对称，为后面研究函数的奇偶性作准备.知识探究2 正切函数的周期性 问题2 正切函数是周期函数吗？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、思考并给出初步结论，利用诱导公式验证自己的结论.设计意图：1.通过学生自主观察、发现，激发学生的研究兴趣.2.为探究

（二）作正切函数的图象作铺垫.知识探究3 正切函数的奇偶性 问题3 正切函数具有奇偶性吗？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、思考并给出初步结论，利用诱导公式验证自己的结论.设计意图：1.复习判断函数奇偶性的方法.2为探究

（二）作准备.知识探究4 正切函数的单调性 问题4 正切函数的单调性如何？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、分析、给出结论

设计意图：1.通过层层设问，获得正切函数单调区间的表示形式，明确函数图象的特征，为画函数图象作准备.2.复习正切线的定义，为接下来的研究作铺垫.知识探究5 正切函数的值域 问题5 正切函数的值域是什么？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、分析、给出结论

设计意图：通过几何画板演示明确函数的值域，并强调正切函数没有最值.探究

（二）利用正切线作正切函数的图象

问题6 通过对性质的研究，你认为我们应该如何作出正切函数的图象？ 师生活动：教师展示研究成果（五条性质），学生思考.设计意图：让学生明确：欲研究正切函数在定义域内的图象，只需研究它在一个周期内的图象，结合奇偶性只需研究(,)上的图象.22问题7 如何作出正切函数在(,)上的图象？ 22师生活动：教师利用几何画板演示“利用正切线作正切函数图象”的过程，学生观察、回忆、对比，获得图象的直观认识.设计意图：1.让学生类比正弦线作正弦函数图象的方法，作出正切函数在(,)上的图.2.22体会数形结合的数学思想.问题8 如何得到正切函数的图象？

师生活动：教师演示平移后的图象，学生观察获得对图象的整体认识.设计意图：1.再一次体会图象的特征，从图象的角度验证函数的性质；2.给出正切曲线的定义.问题9 正切函数的对称中心是什么？

师生活动：教师演示正切曲线绕(k,0),kZ和(现与原图象重合.设计意图：给出正切函数对称中心的表达形式.2k,0),kZ旋转180，学生观察发

（三）例题讲解

例1 已知函数ytan(2x3)

（1）求出函数的定义域、周期和单调区间；（2）试作出函数的简图.师生活动：教师分析题目特点，明确解题方法.设计意图：加强对正切函数性质的应用

练习：求函数ytan(1x)的定义域、周期和单调区间.24师生活动：学生练习，教师巡视，展示学生的学习成果.设计意图：加强对方法的使用，掌握这类题的解法,巩固正切函数的性质.（四）课堂总结

1.正切函数的性质： 2.正切函数的图象： 3.数学思想与方法：

（五）作业布置与思考

1.作业：教材46页A组：6,7,9 2.思考：（1）如何证明正切函数的最小周期为？

（2）如何证明正切函数在(,)上是增函数？

第五篇：示范教案(1.4.3 正切函数的性质与图象)

1.4.3 正切函数的性质与图象

整体设计

教学分析

本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标

1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点

教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课 新知探究 提出问题

①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？

②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？

③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？

④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？

活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性 由诱导公式

tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z

2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z 2

可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(k,0)k∈Z.2(3)单调性

通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间((4)定义域

22,)内是增函数,2+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.2y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函

2数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22

根据正切函数的定义tanα=解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于2且无限接近2时,正

切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方2222,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1

问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22,)的图象为好.22+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2

图3

问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4,-1),(0,0),（,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(x=4,-1),(0,0),（,1),再画两条平行线42,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题

①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=

+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称2的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(k,0),k∈Z.2问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例

例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°；(2)tan(1317)与tan().4

5活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx在90°-tan, 55441317即tan()>tan().45(2)∵tan(

点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=tan3的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4

图5 解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用图4知,所求定义域为［kπ+

,kπ+)(k∈Z).32点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种.变式训练

根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合.(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1, ,kπ+),k∈Z;42(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.23例3 求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.23∴x∈［kπ-

活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.解:函数的自变量x应满足即x≠2k+

x+作为一个整体.教师23x+≠kπ+,k∈Z, 2321,k∈Z.31,k∈Z}.3由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2), 232323所以函数的定义域是{x|x≠2k+因此,函数的周期为2.51+kπ

点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究

y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=变式训练

求函数y=tan(x+解:由x+

.)的定义域,值域,单调区间,周期性.4≠kπ+,k∈Z可知,定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.424值域为R.3∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.44224周期是π,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期仍然是π.4由x+例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有:

错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1<2<3<4,∴tan1

3,)上是单调递增函数, 223且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<，22解法一:∵函数y=tanx在区间(∴tan2

课本本节练习1—5.解答: 1.在x轴上任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将⊙O1分成左右两个半圆,过右半圆与x轴的交点作⊙O1的切线,然后从圆心O1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于轴上从33,,,0，,等角的正切线.相应地,再把x488848这一段分成8等份.把角x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴上的点22x重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(,)的图

22到

象.点评:可类比正弦函数图象的作法.2.(1){x|kπ

+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|+kπ

22(2)不会.因为对于任何区间A来说,如果A不含有侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性.课堂小结

1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？ 作业

课本习题1.4 A组6、8、9.设计感想

1.本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受.2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高.