高一数学教案：函数的概念和图象教案

第一篇：高一数学教案：函数的概念和图象教案

【摘要】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：函数的概念和图象教案希望能为您的提供到帮助。本文题目：高一数学教案：函数的概念和图象教案第1课时 函数的概念和图象银河学校 张西元教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的.实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx(k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx(k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}.所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2(2)f(x)=3x+2(3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23，+)(3)x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x(xR)(2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3(-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳)Ⅵ.课后作业课本P28，习题1、2.【总结】2013年查字典数学网为小编在此为您收集了此文章高一数学教案：函数的概念和图象教案，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在查字典数学网学习愉快!

第二篇：高中数学教案：正切函数的图象和性质

正切函数的图象和性质

（一）教材分析：

学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。

（二）素质教育目标： 1.知识目标：

（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象；（2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2.能力目标：

（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；

（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3.德育目标：培养研究探索问题的能力；

（三）教学三点解析：

1.教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 2.教学难点：性质的研究；

3.教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数；

（四）教学过程设计 1．设置情境

前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。2．探索研究

由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制ytanx图象．

（1）用正切线作正切函数图象

1分析一下正切函数ytanx是否为周期函数？

○ f(x)taxn(sinx())coxs()xsinxtfaxn xcos()

∴ytanx 是周期函数，是它的一个周期．

我们还可以证明，是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数ytanx，x

,的图象． 22

作法如下：

①作直角坐标系，并在直角坐标系

轴左侧作单位圆．

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③描点。（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．

④连线．

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytanx，(xR,xk2,kZ)的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

①定义域：x|xk

②值域：R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是． ,kZ 2

④奇偶性：tan(x)tanx，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称．

⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数

b.正切函数在每个单调区间内都是增函数

c.每个单调区间都包括两个象限：

四、一或二、三 3．例题分析

【例1】求函数ytan(x2k,2k),kZ内都是增函数．

4)的定义域．

分析：我们已经知道了ytanz的定义域，那么ytan(x4)与ytanz有什么关系呢？令zx4，我们把ytan(x4)说成由ytanz和zx4复合而成。此时我们称ytan(x4)为复合函数，而把ytanz和zx4为简单函数

解：令zx4，那么函数ytanz 的定义域是z|zk,kZ 2

由 x4zk2，可得 xk4

所以函数ytan(x4)的定义域是{x|xk4,kZ}

解题回顾：这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。

练习1：求函数ytan(2x

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）与

；

4)的定义域。（学生板演。）（2）tan(1113)与tan()． 45分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。

比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法

解：（1）90167173180

又 ∵ytanx，在(90,270)上是增函数

∴tan167tan17（2）∵tan(1111)tan＝tan 44tan(13132)tantan 555又 ∵0＜2＜＜，函数ytanx，x, 是增函数，5422221113)tan()． 即tan(54∴ tan4＜ tan解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到ytanx 的同一单调区间内，利用ytanx 的单调递增性来解决．

练习2：比较大小：

(1)tan138_____tan143（学生口答）（＜）(2)tan(1317)_____tan()（学生板演）（＞）45【例3】求f(x)tan2x的周期

3．总结提炼

（1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质

（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。

（3）正切函数的性质．

4.布置作业：作业：苏大资料“12.正切函数的图象与性质”.

第三篇：高一数学《正切函数的图象和性质(一)》教案

湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下）第四章 三角函数

正切函数的图象和性质

（一）教学目标

（一）知识与技能目标

（1）了解正切函数的图像特征；（2）初步了解正切函数的性质．

（二）过程与能力目标

了解利用正切和画出正切函数图像的方法．

（三）情感与态度目标

渗透数形结合思想，提高学生的数学修养． 教学重点

正切函数图像的画法． 教学难点

y2是ytanx,x(,)的图像的两条渐近线的理解． 22教学过程 复习

1.正切函数的定义？定义域？

定义域：x k(kZ)22.正切函数是否是一个周期函数？若是，最小正周期是多少？ 周 期 ：

tan(x)sin(x)sinxtanx(xR,且xk,kZ)cos(x)cosx2

ytanx(xR,且xk,kZ)的周期为T(最小正周期)2正切函数的图象：

由于正切函数是周期函数，且它的最小正周期为π，因此可以考虑先在一个 周期内作出正切函数的图象。正切函数周期的确定：

 因为 ytanx 的定义域为：{x|xk,(kZ)},2

所以可以确定一个周期为(,).22 作出ytanx在区间(,)上的图象： 2湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下）第四章 三角函数

 46 x2

264

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

ytanx(xR,且xk(kZ))的图象, 称“正切曲线”.2

y

33 2222

ox

 正切曲线是被一组平行直线xk(kZ)所隔开的无穷支曲线组成.2yo正切曲线的性质：

定义域值域周期奇偶性单调性{x|x2Rk,kZ}Ttan(x)tanx奇函数在开区间(22kZ内，函数单调递增k,k)应用：

例1.求函数ytan(x)的定义域.4湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下）第四章 三角函数

解：令zx{z|z4，那么函数ytanz的定义域是

2k,kZ}.由xx4z2k,可得

2k44k，所以函数ytan(x)的定义域是{x|xk,kZ}.44

例2.不通过求值，比较tan135与tan138 的大小.解：90135138270，3且ytanx在（，）上为增函数，22tan135tan138.例3.写出下列函数的单调区间： x（1）ytan();（2）y|tanx|.26x解：（1）当kk(kZ)

226224x2k(kZ)时，即2k33xytan()单调递增，2624,2k)(kZ)所求单调区间是(2k33tanx,x(k,k)(kZ)2（2）y|tanx|

tanx,x(k,k)(kZ)2可知函数y|tanx|的单调递减区间为(k,k)(kZ)，单调递增区间为

2(k,k)(kZ)

2课堂小结：

1.正切函数的图像.2.正切函数的特征与性质.作业：

1．阅读教材第76～79页； 2．教材第80页习题4.10第1、2、4、5题．

第四篇：二次函数的图象和性质教案

27.2.1 相似三角形的判定

（一）梅

一、教学目标

1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．

2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．

3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．

二、重点、难点

1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 2．难点：三角形相似的预备定理的应用． 3．难点的突破方法

（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，ABBCCA每个比的前

ABBCCA项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；

（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；

（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；

（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比ABBCCAk，那么△A′B′C′∽△ABC

ABBCCA的相似比就是ABBCCA1，它们的关系是互为倒数．这

ABBCCAk一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．

三、例题的意图

本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．

例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．

四、课堂引入

1．复习引入

（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．

在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCAk．

ABBCCA我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCA．

ABBCCA（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明． 3．【归纳】

三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

五、例题讲解

例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．

解：略（AD=3，DC=5）

例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有ADAE，又由AD=EC可求出AD的长，再根据DEAD求出DE的长．

ABACBCAB解：略（DE103）．

六、课堂练习

1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）

A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形

C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形

2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．（CD= 10）

七、课后练习

1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．

3．如图，DE∥BC，）

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长． 教学反思

第五篇：19.1.2函数的图象 教案

19.1.2函数的图像

19.1.2 函数的图象

教学目标

（一）教学知识点

１．了解函数图象的一般意义，初步学会用列表、描点、连线画函数图象． ２．学会观察、分析函数图象信息．

（二）能力训练要求

１．提高识图能力、分析函数图象信息能力．

２．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．

（三）情感与价值观要求

１．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．

２．认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识．

教学重点：初步掌握画函数图象的方法；通过观察、分析函数图象来获取信息． 教学难点：分析概括图象中的信息．

教学方法：自主─探究、归纳─总结． 教具准备：多媒体演示． 教学过程：

一．情境引入

生活中有许许多多的图形与图象,比如体检时的心电图, 心电图直观地反映了心脏生物电流与时间的关系.电流波随时间的变化而变化.又如, 投篮后时,篮球划过的一道优美的弧线(抛物线).(播放视频)有些问题中的函数关系很难列式子表示，但我们可以通过图象来直观反映,比如心电图直观地反映心脏生物电流与时间的关系;抛物线直观地反映了篮球的高度与水平距离之的函数关系, 即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，则会使函数关系更清晰。

今天我们就来学习如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．我们先看正方形的面积与边长的关系。

二．探究新知

活动一：了解函数图象的一般意义，初步学会画函数图象

这是我们熟悉的正方形，你能写出正方形的边长x与面积S的函数关系式，并确定自变量x的取值范围吗？从式子S=x2来看，边长 x 越大，面积S也越大，能不