高一数学教案函数及其表示

第一篇：高一数学教案函数及其表示

高一数学教案：函数及其表示 [1500字]

第一课时： 1.2.1 函数的概念

（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：

1.教学函数模型思想及函数概念：

①给出三个实例：

A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2.B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）

C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见书P17页表）

②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:A?B ③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y?f(x),x?A.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域（range）.④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？

一次函数y?ax?b(a?0)、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的定义域与值域？

⑤练习：f(x)?x2?2x?3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求y?x2?2x?3,x?{?1,0,1,2}值域.2.教学区间及写法：

① 概念：设a、b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a

{x|a≤x

② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” ③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

三、巩固练习： 1.已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)2.探究：举例日常生活中函数应用模型的实例.什么样的曲线不能作为函数的图象？

3.课堂作业：书P21 1、2题.第二课时： 1.2.1 函数的概念

（二）教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：值域求法。

教学过程：

一、复习准备：

3x21.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为x 什么？

2.用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝的定义域与值域.二、讲授新课：

1.教学函数定义域：

①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）f(x)=x?3 x2?2kx；

f(x)=x?1－x 2?x 学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

②练习：求定义域（用区间）→

f(x)

＝x?2 f(x)

x?3③小结：求定义域步骤：列不等式（组）→ 解不等式（组）

2.教学函数相同的判别：

①讨论：函数y=x、y=(x)、y=2x3 x2、y=x4、y=x2有何关系？

②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A.f(x)=(x －1)；g(x)= 1;B.f(x)= x； g(x)= x2 0 C．f(x)= x ；f(x)=(x + 1)22、D.f(x)= | x | ；

②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。

3.教学函数值域的求法：

① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x2－2x＋4；y＝

＝x?2 x?3?5；f(x)＝x2?3x?4 ；f(x)x?3 先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个

②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法

三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：f(x)?2.已知f(x+1)＝2x2－3x＋1，求f(-1)。变：f(x)?1f(x)? 1?1/xx?1，求f(f(x))x?1 解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法）解法二：先求f(x)，利用凑配法；

解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特殊值法）

3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是。

4.求函数y＝－x2＋4x－1，x∈[-1,3)在值域。

解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域

5.课堂作业：书P27 1、2、3题。

第三课时： 1.2.2 函数的表示法

（一）教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：函数的概念？函数的三要素？

2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.二、讲授新课：

1.教学函数的三种表示方法：

① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化趋势。列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值。具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表。

②出示例1.某种笔记本的单价是2元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．

师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）． ③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）.试用三种方法表示此实例

中的函数.④看书P22例4.下表是某班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：

甲

乙

丙

班平均

分 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 90 68 88．2 87 76 65 78．3 91 88 73 85．4 92 75 72 80．3 88 86 75 75．7 95 80 82 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

提问：分析什么（成绩的变化、成绩的比较）？借助什么进行分析？

小结解答步骤：分别作点→连线→观察→结论

讨论：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？ 2．教学分段函数：

①出示例2：写出函数解析式，并画出函数的图像。

邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元。每封x克（0

（学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正）

②练习：A.写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。批发x千克应付的钱数（元）。

B.画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像。

③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例

3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段

三、巩固练习：1.已知f(x)＝? 7,8，9题

第四课时：1.2.2 函数的表示法

（二）?2x?3,x?(??,0)2?2x?1,x?[0,??)，求f(0)、f[f(-1)]的值。2.作业：P27 教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念． 教学重点：映射的概念．

教学难点：理解概念。

教学过程：

一、复习准备：

1.举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2.讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3.导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.二、讲授新课：

1.教学映射概念：

① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意

A?{1,4,9}, B?{?3,?2,?1,1,2,3}，对应法则：开平方；

A?{?3,?2,?1,1,2,3}，B?{1,4,9}，对应法则：平方；

A?{30?,45?,60?

}, B?{1, 对应法则：求正弦； 2 ② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:A?B” 关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？

④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？

→ 举例一一映射的实例（一对一）

2.教学例题：

① 出示例1.探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；

A={ P | P是平面直角体系中的点}，B?{(x,y)|x?R,y?R}； A={高一某班学生}，B= ？

（师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？ → 小结：A中任意，B中唯一）

② 讨论：如果是从B到A呢？

③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x?2x?1； A?N*,B?{0,1}，对应法则f:x?x除以2得的余数；

A?N，B?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余数； 111设X?{1,2,3,4},Y?{1，,f:x?x取倒数； 234 A?{x|x?2,x?N},B?N，f:x?小于x的最大质数

3.小结：映射概念.三、巩固练习： 1.练习：书P26 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题.第五课时 1.2 函数及其表示（练习课）

教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．

教学难点：函数记号的理解.教学过程：

一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）

1.说出下列函数的定义域与值域： y? 2.已知f(x)?18； y?x2?4x?3； y?2.x?4x?33x?51，求f，f(f(3))，f(f(x)).x?

?0(x?0)?3.f(x)???(x?0)，作

出

f(x)的图

象

已，知求f(1),f(?1),f(0),f{f[f(?1)]}的值.?x?1(x?0)?

二、教学典型例题：

1.函数f(x)记号的理解与运用：

① 出示例1.已知f(x)=x?1 g(x

1求f[g(x)]（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）

② 练习：已知f(x)=x2?x+3 求： f(x+1), f(21)x 已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].③ 出示例2.若f1）?x?求f(x

分析：如何理解f1？ 如何转化为f(x））

解法一：换元法，设t?1，则??

解法二：配元法，f1）?x?1)2?1，则?? 解法三：代入法，将x用(x?1)2(x?1)代入，则?? 讨论：f(x）中，自变量x的取值范围？

1x④ 练习：若f()?，求f(x）.x1?x 2.函数应用问题：

①出示例3.中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元.若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y（元）.Ⅰ.写出y1,y2与x之间的函数关系式？ Ⅱ.2 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

（师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？ → 小结：简单函数应用模型）

1三、巩固练习：1.已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x).x 112.若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)f(x?)44 3.设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.荐荐小初学二

数数

学学

教教

案案案

[1000(800 [1000

字字

])荐生活中的数学教字] 荐人教版初一上数学教案(全册)[1500字] 荐工程数学教案(500字)

第二篇：高一数学教案：函数单调性

教学目标

会运用图象判断单调性;理解函数的单调性，能判断或证明一些简单函数单调性;注意必须在定义域内或其子集内讨论函数的单调性。

重 点

函数单调性的证明及判断。

难 点

函数单调性证明及其应用。

一、复习引入

1、函数的定义域、值域、图象、表示方法

2、函数单调性

(1)单调增函数

(2)单调减函数

(3)单调区间

二、例题分析

例

1、画出下列函数图象，并写出单调区间：

(1)(2)(2)

例

2、求证：函数 在区间 上是单调增函数。

例

3、讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

变(1)讨论函数 的单调性，并证明你的结论

变(2)讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

例

4、试判断函数 在 上的单调性。

三、随堂练习

1、判断下列说法正确的是。

(1)若定义在 上的函数 满足，则函数 是 上的单调增函数;

(2)若定义在 上的函数 满足，则函数 在 上不是单调减函数;

(3)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数;

(4)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数。

2、若一次函数 在 上是单调减函数，则点 在直角坐标平面的()

A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面

3、函数 在 上是___ ___;函数 在 上是__ _____。

3.下图分别为函数 和 的图象，求函数 和 的单调增区间。

4、求证：函数 是定义域上的单调减函数。

四、回顾小结

1、函数单调性的判断及证明。

课后作业

一、基础题

1、求下列函数的单调区间

(1)(2)

2、画函数 的图象，并写出单调区间。

二、提高题

3、求证：函数 在 上是单调增函数。

4、若函数，求函数 的单调区间。

5、若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，试比较 与 的大小。

三、能力题

6、已知函数，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

变(1)已知函数，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

第三篇：高一数学教案：集合的表示方法

1.1.2集合的表示方法

教学目标：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题.教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.教学过程：

一、复习引入：

1．回忆集合的概念

2．集合中元素有那些性质？

3．空集、有限集和无限集的概念

二、讲述新课：

集合的表示方法

1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}

自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}

（3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.3、特征性质描述法：

在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素

都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示如下：

{x∈I| p(x)}

例如，不等式x23x2的解集可以表示为：{xR|x23x2}或{x|x23x2}，所有直角三角形的集合可以表示为：{x|x是直角三角形}

注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）注意区别：实数集，{实数集}.4、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.例1：集合{(x,y)|yx21}与集合{y|yx21}是同一个集合吗？

答：不是.集合{(x,y)|yx21}是点集，集合{y|yx21}={y|y1} 是数集。

例2：（教材第7页例1）

例3：（教材第7页例2）

课堂练习：

（1）教材第8页练习A、B

（2）习题1-1A：1，小结：

本节课学习了集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）课后作业:P10 1，2

第四篇：高一数学教案：变量与函数的概念

学习目标：

(1)理解函数的概念

(2)会用集合与对应语言来刻画函数，(3)了解构成函数的要素。

重点：

函数概念的理解

难点：

函数符号y=f(x)的理解

知识梳理：

自学课本P29—P31，填充以下空格。

1、设集合A是一个非空的实数集，对于A内，按照确定的对应法则f，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作。

2、对函数，其中x叫做，x的取值范围(数集A)叫做这个函数的，所有函数值的集合 叫做这个函数的，函数y=f(x)也经常写为。

3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验：

①;②。

5、设a, b是两个实数，且a

(1)满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，记作。

(2)满足不等式a

(3)满足不等式 或 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为;

分别满足x≥a,x>a,x≤a,x

其中实数a, b表示区间的两端点。

完成课本P33，练习A 1、2;练习B 1、2、3。

例题解析

题型一：函数的概念

例1：下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是()

练习：设M={x| }，N={y| },给出下列四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有____个。

题型二：相同函数的判断问题

例2：已知下列四组函数：① 与y=1 ② 与y=x ③ 与

④ 与 其中表示同一函数的是()

A.② ③ B.② ④ C.① ④ D.④

练习：已知下列四组函数，表示同一函数的是()

A.和 B.和

C.和 D.和

题型三：函数的定义域和值域问题

例3：求函数f(x)= 的定义域

练习：课本P33练习A组 4.例4：求函数，在0，1，2处的函数值和值域。

当堂检测

1、下列各组函数中，表示同一个函数的是(A)

A、B、C、D、2、已知函数 满足f(1)=f(2)=0，则f(-1)的值是(C)

A、5 B、-5 C、6 D、-63、给出下列四个命题：

① 函数就是两个数集之间的对应关系;

② 若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素;

③ 因为 的函数值不随 的变化而变化，所以 不是函数;

④ 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有(B)

A.1 个 B.2 个 C.3个 D.4 个

4、下列函数完全相同的是(D)

A., B.,C., D.,5、在下列四个图形中，不能表示函数的图象的是(B)

6、设，则 等于(D)

A.B.C.1 D.07、已知函数，求 的值.()

第五篇：2013白蒲中学高一数学教案：函数：10

第十教时

教材：函数的奇偶性

目的：要求学生掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。

过程：

一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。

二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性

1．依然观察 y=x2与 y=x3 的图象――从对称的角度 ．观察结果：

y=x2的图象关于轴对称 y=x3的图象关于原点对称

3．继而，更深入分析这两种对称的特点： ①当自变量取一对相反数时，y取同一值． f(x)=y=x2 f(1)=f(1)=1 f(即 f(x)=f(x)再抽象出来：如果点(x,y)在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点(x,y)也在函数y=x2的图象上． ②当自变量取一对相反数时，y亦取相反数． f(x)=y=x3 f(1)=f(1)=1 f(即 f(x)=f(x)再抽象出来：如果点(x,y)在函数y=x3的图象上，则该点关于原点的对称点(x,y)也在函数y=x3的图象上．

111)f()224

111)f()228

4．得出奇（偶）函数的定义（见P61 略）注意强调：①定义本身蕴涵着：

函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条件――前提 ②＂定义域内任一个＂：

意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究 ③判断函数奇偶性最基本的方法：

先看定义域，再用定义――f(x)=f(x)(或f(x)=f(x))

三、例题：例

一、（见P61－62 例四）

例

二、（见P62 例五）

此题系函数奇偶性与单调性综合例题，比例典型．

小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数

例：y1x

y=2x

（奇函数）

y=3x2+1

y=2x4+3x

2（偶函数）

y=0

（即奇且偶函数）y=2x+（非奇非偶函数）

例

三、判断下列函数的奇偶性：

1．f(x)(x1)1x1x

1x0

解：定义域：1x01x1 关于原点非对称区间

1x

∴此函数为非奇非偶函数

2．f(x)x11x 2

x210x1或x1解：定义域： 21x11x0∴定义域为 x =±1

f(x)x11x22f(x)且 f(±1)= 0 ∴此函数为即奇且偶函数

x2x3．f(x)2xx(x0)(x0)

解：显然定义域关于原点对称

当 x>0时, x<0 f(x)= x2x = (xx2)

当 x<0时, x>0 f(x)= xx2 = (x2+x)

(x2x)

即：f(x)2(xx)(x0)(x0)f(x)

∴此函数为奇函数

四、奇函数图象关于原点对称

偶函数图象关于轴对称

例

四、（见P63 例六）略

五、小结：1．定义

2．图象特征

3．判定方法

六、作业：P63 练习

P65 习题2.3 7、8、9