函数的表示法教学设计

第一篇：函数的表示法教学设计

“函数的表示法”教学设计

南京师大附中 陶维林

一、内容和内容解析

函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的．同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程．

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识．在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法．函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．

解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数．

图象法的优点是，直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．

列表法的优点是，不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．

在研究函数时，根据问题的特点，往往需要同时借助几种不同的函数表示法研究函数，如同时采用解析法和图象法表示函数，加强数形结合，这是研究函数的常用方法．

分段函数是一类重要的函数．所谓分段函数，就是在同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．这类似于，同一个国家的不同地区可以实行不同的社会制度．

二、目标和目标解析

1．掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

通过具体的实例，在不同的表示法的选择、转化中，逐步学会用恰当的方法表示一个函数，逐步养成用不同方法表示一个函数的习惯，尤其是增强数与形结合的意识．

2．了解简单的分段函数，并能简单的应用．

通过具体实例（如出租车资费、邮件资费等），以及画出含绝对值函数的图象，或者求含绝对值的函数的值域，认识分段函数是一种普遍存在的函数．

3．会用列表、描点、连线的三步作图法画一些简单函数的图象，并能通过几何直观得到函数的有关信息（性质）．

三、教学问题诊断分析

1．初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方法．因此，教学中应该多给出一些具体问题，让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的．

（2）让学生用借助计算器，列表描点，画出给出解析式的函数的图象，加强各种表示法之间的联系．有条件的，可使用信息技术，利用计算机软件画出图象，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数概念及其表示法．如可补充如下函数：

上述四个函数的图象如图1所示，依次为：

图1

（3）分段函数大量存在，但比较繁琐．一方面，要加强用分段函数模型刻画实际问题的实践，另一方面，可以画含绝对值号的函数的图象，促使学生根据绝对值的意义把函数分段写出来，然后分段画出图象．还可以通过求分段函数的值域，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合．这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔．

四、教学基本流程

五、教学过程设计

1．用三种表示法表示同一个函数

我们在初中就已经知道函数的三中表示法：解析法，图象法，列表法．

问题1 某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）本笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）．（教科书第19页例3）

设计意图：通过具体例子，让学生用三种不同的表示方法来表示的同一个函数，进一步理解函数概念． 这个函数的图象由一些离散的点组成，与以前学习过的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线不同．通过本例，进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体．函数y＝5x不同于函数y＝5x（x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的图象是（连续的）直线，而后者是5个离散的点．

由此认识到：“函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等．”（教科书例3的边空）

让学生体会到三种表示方法各自的优点．为“问题2”（教科书第20页）提供一个具体的事例．

解：这个函数的定义域是{1，2，3，4，5}．（1）用解析法表示为

y＝5x，x∈｛1，2，3，4，5｝．（2）用列表法表示为

（3）用图象法表示，函数y＝f（x）的图象如图2所示．

图2

问题2（教科书第20的“思考”）

（1）比较函数的三种表示法，各自的有哪些优、缺点？

（2）所有的函数都能用解析法表示吗？举出一个函数，并分别用三种表示法表示． 设计意图：通过比较，明确各种表示法的优点；通过举例，让学生通过自己的例子说明怎样用适当的表示法来表示某些函数．

不是所有的函数都能用解析法表示，如心电图．

讨论中，还可以问学生“函数图象可以是折线吗”让学生举例说明．（如y＝|x|）问题3 图3能表示某个函数的图象吗？为什么？

图3

设计意图：这是例3边空的内容“那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？”通过讨论，进一步理解函数概念中“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”． 组织学生讨论后，归纳出判断方法“平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点”． 2．选择适当方法表示函数，以便分析其特点

问题4（教科书第20页例4）下表是高一（3）班三位同学在高一学年度6次数学测试的成绩及班级平均分表．

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

设计意图：这里有三个用表格法给出的函数．要“对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析”不太方便，因此需要改变函数表示的方法，选择图象法比较恰当．

教学中，先不必直接把图象法告诉学生，可以让学生说说自己是如何分析的，选择了什么样的方法来表示这三个函数．通过比较各种不同的分析方法，达成共识：用图象法比较好．培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力．

能够从图象中读出哪些信息也不要直接告诉学生，让学生经过观察、思考获得结论．比如总体水平（王伟成绩好）、变化趋势（赵磊的成绩在逐步提高）、与班级平均分的比较，等等．培养学生的观察能力、获取有用信息的能力．

图4

解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况（学习情况）．如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如图4，那么就能比较直观地看到成绩变化情况．这对我们进行分析学习情况是有利的．

从图4中可以看到，王伟同学的学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况稳定，而且成绩优秀．张城同学的学习成绩不够稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度也比较大．赵磊同学的学习成绩低于班级平均水平，但是他的成绩呈上升趋势，表明他的成绩在稳步提高．

必须提醒学生，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，直观感受三个函数的图象具有整体性，也便于分析学习情况，加以比较． 3．分段函数及其表示

问题5 某市出租车资费规定如下：（1）3公里以内（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加2.4元（不足1公里按1公里计算）．

某线路总里程为6公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并画出函数的图象．

设计意图：让学生尝试选择适当表达方式来表示实际问题；学习分段函数及其表示．

解：设资费为y元，里程为x公里．由题意，自变量x的取值范围是（0，6．

根据解析式画出的图象如图5所示．

图5

象问题5这样的函数称为分段函数． 所谓分段函数，就是在函数的同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．类似于大陆、台湾是同一个国家的不同地区，社会制度可以不同．

生活中有许多需要分段表示的函数，请你举出几个分段函数的例子，并画出它的图象．

如分期付款，邮件资费等．再如 y＝|x|＝

4．课堂练习

教科书第23页，练习，1，2，3．

5．小结

通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？

大致有：函数的表示方法有三种，各有优、缺点；应该根据不同的问题、不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函数某些性质．还学习了什么样的函数是分段函数．

6．课后作业

教科书第24页，习题1.2，7，8．

第二篇：1.7 函数的表示法 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1．知识与技能

（1）明确函数的三种表示方法；

（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法：

学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．

3．情感态度与价值观

让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法.2.教学重点/难点

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．

3.教学用具

投影仪

4.标签

函数的表示法

教学过程

（一）创设情景，揭示课题．

我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．

（二）研探新知

1．函数有哪些表示方法呢？

（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2．明确三种方法各自的特点？

（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值；图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例1．某种笔记本的单价是5元，买三种表示法表示函数

．

”有三种含义，它可以是解析表达式，个笔记本需要

元，试用分析：注意本例的设问，此处“可以是图象，也可以是对应值表． 注意：

①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线；

④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学几次数学测试的成绩及班级平均分表：

请你对这三位同学在高一学的数学学习情况做一个分析．

分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？ 注意：

①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：

②本例能否用解析法？为什么？

例3．画出函数的图象。

例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义． 注意：

①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ②像例

3、例4中的函数，称为分段函数．

③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

（四）巩固深化，反馈矫正．

（1）课本P23 练习第1，2，3题

（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20，付邮资80分，超过20而不超过40付邮资160分，每封（0＜≤100的信函应付邮资为y（单位：分）

课堂小结

理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法.课后习题

板书

第三篇：函数的表示方法教学设计

《函数的表示方法》教学设计

钱蒙娜

一、教材分析

本节内容为苏教版《数学必修1》中2.1.2“ 函数的表示方法”。在初中学生已经接触过较简单函数的一些不同表示方法，在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素之一，即对应关系的表达方式。函数学习要“多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深对函数概念的理解。”在苏教版《数学必修4》中还会继续学习的三角函数，也是非常重要的一类函数模型。

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法。因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。

二、教学目标

根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观三个维度制订教学目标。

知识与技能：掌握函数常用的三种表示方法（列表法、图象法、解析法），了解函数不同表示方法的优缺点并能根据不同需要选择恰当的方式表示函数；掌握分段函数、复合函数的概念；能根据不同情况求出函数的表达式和定义域。过程与方法：通过实例，分析比较函数三种不同的表示方法；通过分段函数改变的形成过程，培养学生观察、归纳和抽象的能力，培养数形结合和分类讨论的数学思想。

情感态度与价值观：通过对函数不同表示方法的学习，从中体会数学的简洁统一美；通过探究函数的表达式，激发学生的学习热情。

三、学情分析

该班学生是江苏省常熟中学重点班学生，数学基础扎实、逻辑思维能力较强并且在之前的学习中对分段函数和复合函数已有初步了解，因此在教学中会加快进程以及更加注重启发学生让学生自主回答。若上课进程过快，提前准备一些略有难度的题目作为补充题。

函数这一模块内容最多，比较抽象，学生学习确有许多困难。基于高中阶段所接触的许多函数都可用不同的方式表示，因此教师要通过设置问题去帮助学生积极主动地感受、分析、归纳三种方法的各自优点及不足，逐步过渡到能合理选用和灵活转换函数的各种表示形式，这也是向学生渗透数形结合思想方法的重要过程，同时也为后述内容——函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）的学习打下良好的基础。

学生可能在下列三种情形中感到困难：

（一）已知函数是数据较多的表格形式，画函数图象时，有点茫然，没想到是一些离散的点。

（二）已知函数是分段函数，画函数图象时，用不准定义域的分段范围，忙而乱。

（三）学生在做关于换元法的例题时极有可能用平移做或者用配凑法做。

四、教学方法

根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式。在整个教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学生积极性，充分地参与学习的全过程。倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生能够利用函数来处理信息的能力。

五、教学重点与难点

教学重点：掌握函数常用三种表示方法、掌握分段函数与复合函数的概念以及能根据不同情况求出函数表达式并且求出定义域。

教学难点：根据不同情况能求出函数表达式，并且求出定义域。

六、教学准备

直尺、多媒体设备。

七、教学过程

（一）函数的表示方法引入

同学们，今天我们要讲《函数的表示方法》这一节。在之前函数的学习中，已经见过或者运用过这些表示方法了，我们一起来看屏幕。

例一：这是我们班学号为1-5的同学的身高，为了清楚的表示我已经把它列成了一个表格的形式。这里面的变量是学号和身高。

Q：请问，这是不是表示一个函数呢？（学生回答）

每一个学号对应着唯一的身高，所以当然是函数。根据这张表格只要我们知道该同学的学号就能知道他对应的身高。像这种，用列表来表示两个变量之间函数关系的方法，就叫作列表法。

设计意图：从实际生活中举例，使学生感到亲切，自然引出列表法。

例二：同学们这是一张股市行情图，Q：这个图象是否是函数的图像呢？（学生回答）

自变量是时间，因变量是上证指数，一个时间对应唯一的上证指数所以是函数的图像。接下来这一张是一天的气温变化图象，同理它也是表示函数的图象，自变量是时间，因变量是气温，一个时间对应唯一的气温。

像这一类用图象来表示两个变量之间函数关系的方法，就叫作图象法。设计意图：函数现象大量存在于生活中，使学生感受到数学在生活中的重要性，引出图象法。

例三：屏幕上这几个函数是大家所熟知的，它都是以y=x的式子的形式给出。像这种，用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，就叫作解析法。而这个等式就是我们常见的解析式。

Q：用解析法表示函数的时候，要注意函数的三要素，分别是？（学生回答）设计意图：学生对于解析法已有认识，强调解析式必须跟上定义域。

（衔接）那函数的表示方法就是以上学习的三种：分别是列表法、图象法和解析法。

接下来我们来看几个相关的问题，请同学讨论一下。

Q：问题1：图象法中函数的图象一定是连续曲线吗？ 如果不是 举个例子。Q：问题2：列表法、图象法和解析法各自的优缺点是什么 ？

Q：问题3：根据优缺点和以往的经验，我们最常用来表示函数的方法是哪一种？最不常用的呢？

先由学生讨论与表述，后由师生归纳三种表示方法的优缺点。

列表法，优点是不是可以直接从表格中看出自变量对应的函数值，很直观，Q：缺点呢？请同学回答。列表法的缺点是只能表示自变量取值有限的时候，而我们往往遇到的题目中函数自变量取值是无限的，所以列表法很少会用到。

图象法的优点显然就是形象、直观，缺点就是根据函数图象只能近似求出自变量对应函数值。

解析法是我们最常用来表示函数的，那它肯定有很大的优点。解析法全面的概括出了变量间关系，我们可以通过计算求出任意自变量对应的函数值。一个事物是有两面性的，和另外两种方法比较，解析法的缺点是不够形象直观，而且不是所有函数都能用解析法表示的。设计意图：让学生体会总结三种表示法各自的优缺点。这对培养学生观察、总结、表达能力是非常好的机会，教师千万不可代替。

（衔接）函数三种表达方式的优缺点已经明了，那我们在做题中，根据上述优缺点可知最常用的应该是解析法，图象法作辅助。函数表达方式到这里就结束了。

Q：接下来，我们看一下屏幕上的函数，这是一个什么函数？定义域是多少？能不能用图象法表示？请同学口头回答。

像这个分段函数，在第一段定义域内，函数解析式是y=x，在第二段定义域内，函数解析式就是y=-x。我们把在定义域内不同部分上，有不同解析表达式的函数称为分段函数。

设计意图：让学生进一步体会数形结合在理解函数概念中的重要性。引出分段函数的特征。

例题讲解：下面我们来看一道分段函数的例题。

（二）函数解析式的求法引入

（衔接）在刚刚所学的三种表示方法中我们讲过，函数表达方式中最常用的是？解析式（大家一起回答），那接下来的重点就是来探究求函数解析式的方法。

（1）由例题引入待定系数法

先看例题，请同学们尝试做题。（在等待同学做题时，不断提醒同学：这是一个二次函数。那二次函数是什么样的形式呢？）

先请同学回答，详细解答过程板书呈现。写完之后，根据板书内容解释待定系数法的名称和总结此方法做法：

首先，这个函数的类型我们已经知道，那顺势我们可以设出这个函数的形式，这个形式中有等待被确定的系数；进而，根据给出的条件，我们可以求出这个形式中等待被确定的系数。所以，我们称这个方法为：待定系数法。

Q：请问，求函数解析式时用待定系数法的前提是什么？ A：已知函数类型。

Q：那么我们学过的哪些函数可以用待定系数法？ A：一次函数、二次函数和反比例函数。

Q：接着这道题，请问，二次函数除了设成顶点式，（如果一开始同学回答的是一般形式，那这里的顶点式和下面的一般形式互换）我们一般还可以设为什么形式？

A：可以设成一般形式。（板书呈现具体形式）（若有同学回答出两点式给予表扬）

Q：若我们已知二次函数的两个交点，我们还可以设为什么形式？ A：两点式。（板书呈现具体形式）

接下来请同学们继续做第二题。我请一位同学上黑板完成。

根据同学的板书解答，指出做题过程中出现的格式问题。详细解答通过ppt呈现。

设计意图：待定系数法是学生们最能接受的一种求函数表达式的方法，通过旁敲侧击引导学生自己做题，感受待定系数法的过程。通过例题引入待定系数法，再马上通过一道习题巩固此方法。并以板书形式呈现给学生，规范学生写作。最后通过师生互动共同总结该方法，提高学生总结与表达能力。

（2）由例题引入换元法 继续看例题，请同学回答。

<1>若同学回答用平移法做，先肯定这种解答。进而引出本质相同的换元法。<2>若同学回答用配凑法做，先肯定这种解答，进而提问第二小题用这种方法可以做吗？试试看。等同学尝试完后会发现第二题用配方法有问题，进而引出普适性更强的换元法。

解释换元法的名称：将括号中整体换成一个新的元，所以就称为换元法。Q：请同学总结换元法的步骤。

A：将括号中看作整体，令为t，接着用t表示x，代入原函数，成为关于t的函数。

教师补充：由于我们习惯将自变量写为x，所以最后还要加一步：将t用x代换。

Q：有没有其它同学要补充？

（若没有，那么请做第二题，之后再来补充；若有，就及时补充）请同学口头陈述过程，ppt一步步呈现过程。Q：请问，函数的三要素是指什么？ A：定义域，对应法则，值域。

Q：那求函数解析式同学们漏掉了最重要的什么？ A：定义域。

Q：那再来考虑一下，为何第一道题目不需要写定义域呢？ A：因为x可以取到一切实数。

Q：很好，那这道题目里面的定义域为多少？

（若有同学回答是原始x的定义域，就指出这是换元法的易错点，也是重点）（若同学回答正确，继续追问他此处x的范围就是什么的范围？和同学解释清楚其中的关系，强调换元法的定义域是重点）

并且在此特别强调：求函数解析式，无论是大题还是填空题，都必须写出定义域，否则就是错的，会扣分。

设计意图：通过例题1引入换元法的时候，学生极有可能用平移法或者配凑法做，这时候先对同学会用以前学过的方法做题进行表扬，接着一定要通过例题2让学生自己意识到那两种方法的局限性，此时教师才引入学生已接触过的整体代换思想的换元法。并且，强调换元法的注意点以及考试易错点是定义域。

（3）通过例题引入解方程组法

Q：这个例题，同学们想想还能不能用上面两种方法作答？ A：不能

教师引导：遇到这种既不知道函数类型，也不知道一些函数相关形式的题目，我们不妨试一试把x看作整体，所有的x都用1/x替代，同学们动手做做看。

解释方法名称：通过题目解答过程，我们会发现这是利用解方程组的方法求函数解析式。所以把这种方法称为解方程组法。

Q：请问同学们，这种方法适用于什么情况呢？让学生总结。ppt上强调这种方法的适用范围：

设计意图：解方程组法对高一学生来说是一种新解题思路，若完全让学生自我探索是很难做到的，所以尽可能地引导学生去充分理解此方法，并且由学生总结适用情况，增强学生对此方法的认识与应用。

（3）课堂小结

今天这节课我们主要学习了两个内容：函数的三种表示方法和求函数解析式的三种方法。那么请问同学们：

1.函数的表示方法是哪些？

2.函数解析式的求法有哪些？注意点分别是什么？

（4）课后作业

1.预先准备好的三道练习题，若有时间则课堂讲解；若无时间，则作为课后作业；

2.《功到自然成》函数的表示方法这一节作业； 3.课时训练函数的表示方法这一节作业。

八、板书设计

九、教学反思

第四篇：1.2 函数及其表示 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1、知识与技能：

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依

赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．

2、过程与方法：

（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；

3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.2.教学重点/难点

重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

3.教学用具

多媒体

4.标签

函数及其表示

教学过程

（一）创设情景，揭示课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点；

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

（二）研探新知

1、函数的有关概念（1）函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

（2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域（3）区间的概念

①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间； ③区间的数轴表示．

（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ 通过三个已知的函数：y=ax+b

(a≠0)

y=ax2+bx+c

(a≠0)

y=

(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.师：归纳总结

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。

1、如何求函数的定义域 例1：已知函数f(x)=（1）求函数的定义域；（2）求f（－3），f（）的值；

+

（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 例

2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.分析：由题意知，另一边长为x，且边长x为正数，所以0＜x＜40.所以s= =（40－x）x

（0＜x＜40）

引导学生小结几类函数的定义域：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

（5）满足实际问题有意义.巩固练习：课本P19第1

2、如何判断两个函数是否为同一函数 例

3、下列函数中哪个与函数y=x相等？

分析： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。解： 课本P18例2

（四）归纳小结

①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念.（五）设置问题，留下悬念

1、课本P24习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题

2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系.课堂小结

课后习题

板书

第五篇：备课资料(函数的表示法)

备课资料

［备选例题］

【例1】2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,8区间[0,m]在映射f:x→2x+m所得的象集区间为[a,b],若区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大5,则m等于()

A.5B.10C.2.5D.1

分析:函数f(x)=2x+m在区间[0,m]上的值域是[m,3m],则有[m,3m]=[a,b],则a=m,b=3m,又区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大5,则有b-a=(m-0)+5,即b-a=m+5,所以3m-m=m+5,解得m=5.答案：A

【例2】2005湖南数学竞赛,11设x∈R,对于函数f(x)满足条件f(x2+1)=x4+5x2-3,那么对所有的x∈R,f(x2-1)=_________.分析:(换元法)设x2+1=t,则x2=t-1,则f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=f(t)=t2+3t-7,即f(x)=x2+3x-7.所以f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9.答案：x4+x2-9

［知识总结］

1.函数与映射的知识记忆口诀:

函数新概念,记准要素三;定义域值域,关系式相连;

函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见;

对应变映射,只是变唯一;映射变函数,集合变数集.2.映射到底是什么？怎样理解映射的概念？

剖析:对于映射这个概念,可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等;(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的;(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应,而这个与之对应的元素是唯一的,这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心;(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应;(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”;(6)映射是特殊的对应,函数是特殊的映射.3.函数与映射的关系

函数是特殊的映射,对于映射f:A→B,当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数,所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.(设计者：林大华)