函数及其表示方法教案5篇

第一篇：函数及其表示方法教案

函数及其表示方法

一、目标认知 学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点:

函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．

难点:

对函数符号yf(x)的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

知识点

一、函数的概念

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：yf(x)，xA．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]； ；

.； 知识点

二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点

三、映射与函数 1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.三、规律方法指导 1.函数定义域的求法

(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象

对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析

类型

一、函数概念

(1)1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(不同)

(2)

(不同)

(3)

(4)

(相同)

(相同)

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则法则，其中核心是对应，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：

【变式1】判断下列命题的真假

(1)y=x-1与

(2)

(3)

是同一函数；

与y=|x|是同一函数；

是同一函数；

(4)

与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；

(2)；

(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)

；

(2)；

(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．

解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；

(2)要使函数有意义，须使

所以函数的定义域是

；，(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3³32+5³3-2=27+15-2=40；

举一反三：

；

.；

【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，f()的值；

(3)当a＞0时，求f(a)³f(a-1)的值.2

3解：(1)由；

(2)；

；

(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))

思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．

解：(1)f(2)=2³22-3³2-25=-23；g(2)=2³2-5=-1；

(2)f(g(2))=f(-1)=2³(-1)2-3³(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2³(-23)-5=-51；

(3)f(g(x))=f(2x-5)=2³(2x-5)2-3³(2x-5)-25=8x2-46x+40；

g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2³(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4.求值域(用区间表示)：

(1)y=x2-2x+4；

思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；

.(2)；

(3)；

(4)1)∪(1，+∞).，∴函数的值域为(-∞，类型

二、映射与函数

5.下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?

(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；

(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；

(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．

思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．

解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为

A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；

(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与

之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；

(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无

数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正

三角形便可成为映射．

总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．

举一反三：

【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则

②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；

③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；

④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？

(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；

(2)A中的某个元素在B中可以没有象；

(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；

(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；

(5)B中的元素在A中都有原象；

(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？

(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；

(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；

(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；

(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；

(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6.已知A=R，B={(x，y)|x，yR}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素

解：

∴A中元素的象为的象，B中元素的原象.故.举一反三：

【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中

(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？

(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？

解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为

；

又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；

(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；

又因为由

有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型

三、函数的表示方法

7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则

；

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：

【变式1】(1)已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；

(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax2+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

；

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2²(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.(1)8.作出下列函数的图象.；

(2)

；

(3)；

(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；

(2)为分段函数，图象是两条射线；

(3)

(4)图象是抛物线.为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；

所作函数图象分别如图所示：

类型

四、分段函数

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2³02+1=1

f[f(-1)]=f[2³(-1)+3]=f(1)=2³12+1=3.举一反三：

【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；

f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.举一反三：

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；

Ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）

采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.学习成果测评 基础达标

一、选择题

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()

⑴，；

⑵，；

⑶，；

⑷，；

⑸，．

A．⑴、⑵

B．⑵、⑶

C．⑷

D．⑶、⑸

2．函数y=的定义域是()

A．-1≤x≤

1B．x≤-1或x≥1

C．0≤x≤1

3．函数的值域是()

A．(-∞，)∪(，+∞)

B．(-∞，)∪(，+∞)

C．R

D．(-∞，)∪(，+∞)

4．下列从集合A到集合B的对应中：

①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；

②

③

④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；

D．{-1，1}

⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|

其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是()

A． 1

B． 2

C． 3

D． 4

5．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()

A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有两个原象

C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A与B必须是非空的数集

6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象()

A．(，1)

B．(1，3)

C．(2，6)

D．(-1，-3)

7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是()

A．y=

B．y=

C．y=x

D．y=

x2

8．下列图象能够成为某个函数图象的是()

9．函数的图象与直线的公共点数目是()

A．

B．

C．或

D．或 10．已知集合和

A．中的元素对应，则

C．，且的值分别为()

D．，使

中元素

B．11．已知，若，则的值是()

A．

B．或12．为了得到函数

C．，或

D． 的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是()

A．沿轴向右平移个单位

B．沿轴向右平移个单位

C．沿轴向左平移个单位

D．沿轴向左平移

二、填空题

个单位

1．设函数则实数的取值范围是_______________．

2．函数的定义域_______________．

上的值域是_________． 的图象与x轴交于，且函数的最大值

3．函数f(x)=3x-5在区间

4．若二次函数为，则这个二次函数的表达式是_______________．

5．函数

6．函数

三、解答题 的定义域是_____________________． 的最小值是_________________．

1．求函数

2．求函数的定义域． 的值域．

3．根据下列条件，求函数的解析式：

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；

(4)已知；

(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升

一、选择题

1．设函数

A．

B．

C．，则的表达式是()

D．

2．函数

A．3

B．-3

C．

满足

D．

则常数等于()

3．已知

A．15

B．1

C．3

D．30

4．已知函数

定义域是，那么等于()，则的定义域是()

A．

5．函数

A．

B．

C． 的值域是()

D．

B．

C．

D．

6．已知，则的解析式为()

A．

二、填空题

B．

C．

D．

1．若函数

2．若函数，则，则

=_______________． =_______________．

3．函数的值域是_______________．

4．已知

5．设函数，则不等式，当的解集是_______________．

时，的值有正有负，则实数的范围________．

三、解答题

1．设是方程的两实根，当

为何值时，有最小值?求出这个最小值．

2．求下列函数的定义域

(1)

3．求下列函数的值域

；(2)．

(1)；(2)．

综合探究

1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是()

2.如图所表示的函数解析式是()

A.B.C.D.3．函数的图象是()

4.如图，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.答案与解析：

基础达标

一、选择题

1．C．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；(5)定义域不同．

2．D．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或 x≥1，∴x=±1，选D．

3．B．法一：由y=，∴x= ∴y≠，应选B．

法二：

4．C．提示：①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件．

5．D．提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．

6．A．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=，y=1，应选A．

7．C．∵0≤x≤4，∴0≤

8．C．

x≤=2，应选C．

9．C．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于

10．D．按照对应法则

而，∴，仅有一个函数值．

．，而

11．D．该分段函数的三段各自的值域为

∴

∴

．

12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即

二、填空题，左移．

1．.当，这是矛盾的；当

.2．

设

.提示：，对称轴

.3．，当

时，.4．

..5．

三、解答题

1．解：∵..6．.．，∴定义域为

2．解：∵ ∴，∴值域为

3．解：(1).提示：利用待定系数法；

(2).提示：利用待定系数法；

(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；

(4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设

；

(5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得

能力提升

一、选择题

1．B.∵

∴

；

2．B.3．A.令

4．A.；

5．C.；

6．C.令

二、填空题

1．2．.令..．

.3．..4．.当

当，∴.5．

得

三、解答题

1．解：.2．解：(1)∵∴定义域为；

(2)∵∴定义域为．

3．解：(1)∵，∴值域为；

(2)∵

∴值域为

.∴

综合探究

1.D．因为纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，所以当

时，纵轴表示家到学校的距离，不能为零，故排除A、C；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，所以刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D.2.B．本题考查函数图象与解析式之间的关系.将x=0代入选项排除A、C，将x=1代入选项排除D，故选B.3.D．.，就需准确揭示x、y之间的变化关系.依题意，4.思路点拨：要求函数的表达式可知随着直线MN的移动，点N分别落在梯形ABCD的AB、BC及CD边上，有三种情况，所以需要分类解答.解析：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，依题意，则有

(1)当M位于点H的左侧时，由于AM=x，∠BAD=45°.(2)当M位于HG之间时，由于AM=x，；

(3)当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.综上：

总结升华：

(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.

第二篇：函数及其表示方法教案

函数及其表示方法

一、目标认知

学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情

境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

1.函数的三种表示法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

知识点

二、映射与函数 1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则t1

ft,f22

2x1x;

2

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x-4x+3.2

【变式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

2，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4

总结升华：求函数解析式常用方法：

f[f(-1)]=f(4)=16.；

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象. yx2

y2x4x30x2 3

思路点拨：1.首先取不同的点，在图像上描出，用一条平滑的线连接各点。

（1）yx22x2x22xx2为分段函数，图象是两条射线；

（2）y2x4x30x3图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：

分段函数：

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.1x0

【变式1】已知fxx0，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.x1x0

解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=； 10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，20x535x10xN 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y410x15515x19

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；

Ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）

采用第二种方式：200=0.6x，x333

∴应采用第一种(全球通)方式.已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()

A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有两个原 C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A与B必须是非空的数 1x1x

已知f，求f(x)的解析式。21x1x1x1x 解：观察已知函数 f

21x1x1y11y1y11y2x1x213（分钟）

222我们可以先令y1x1x，则x1y1y。所以fy2。从而化简得出fy2y1y2，在令y=x，则就可以得出fx。

总结升华：

(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.

第三篇：函数及其表示方法教案

§1.1集合及其表示法 教学目标 知识与技能目标：

（1）使学生初步了解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义。

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义。（4）.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.（5）通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

过程与方法目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，学会抽象概括和运用逻辑思维的习惯。

（4）通过集合两种表示方法的相互转化培养学生的抽象概括和逻辑思维能力

情感态度与价值观目标：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：集合的基本概念及表示方法。

教学难点：运用集合的常用表示方法，正确表示一些简单的集合。授课方法：讲授法 教学过程： 一．集合的概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东

西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.在本书，一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

3.集合的正例和反例

（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}

我们班的男同学；我们班的团员；

（2）“好心的人”，“著名的数学家”，“我们班级中的高个子同学”……这类对象一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准。{1，1，2}由于出现重复元素，也不是集合的正确表示。

4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺

5.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表

示；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 例如：1∈{1，2，3}； 2.5{1，2，3} 6．常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 例如：1∈Z，1.2Z，0∈N； 例题1：课本P7 7． 有限集和无限集的概念

自然数集N，{1，2，3，4，5，„„}；{x|2x-3>0}；{钝角三角形}，„„；

无限集：含有无限个元素的集合。有限集：含有有限个元素的集合。{x/x=3 },{我们班的全体同学}，{我们班中年龄小于10岁的同学} 空集：规定空集，不含元素。记作； 二．集合的表示方法

问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3,2,-0.5, 方法1: 方法2: {4.8,2,1,+73,3.1 31,+73,3.1} 3 问题2：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示为:x<3）

问题1中，方法1为图示法，方法2为列举法.1.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开； 一般不必考虑元素之间的顺序；

(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；

例1．用列举法表示下列集合：

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(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)从51到100的所有整数的集合；(4)小于10的所有自然数组成的集合；(5)方程xx的所有实数根组成的集合；(6)由1~20以内的所有质数组成的集合。

问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。

表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则xA；若xA,则x具有性质p。

说明:(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；(2)应防止集合表示中的一些错误。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示R。

例2．用描述法表示下列集合：(1)由适合x-x-2>0的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)抛物线y=x上的点;(4)抛物线y=x上点的横坐标;(5)抛物线y=x上点的纵坐标;例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x20的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

（二）集合的分类

例4．观察下列三个集合的元素个数

1.{4.8, 7.3, 3.1,-9};2.{xR∣0

有限集:含有有限个元素的集合集合的分类无限集:含有无限个元素的集合

空集:不含有任何元素的集合(emptyset)

（三）文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下： 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：

第3 / 6页

表示任意一个集合A 表示{3，9，27} 说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三．课堂练习一 例1.用“”或者“”填空 0 N 0 Z

2 Z 1* N 2 R 2 例2.用适当的方法表示下列集合：

(1)大于0且不超过6的全体奇数组成的集合；(2)被3除余1的自然数全体组成的结合；(3)方程组xy5的解集； xy1(4)直角坐标系内第一象限的点组成的集合.四．课堂练习二

1.元素与集合的关系用符号表示：

①a属于集合A___________；②a不属于集合A___________.2.常用数集记法：

字母N表示______________；用_______表示正整数集；Z表示_____________；用______ 表示有理数集；R表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合，记作______________.第4 / 6页

4.集合常用的表示方法有 和.【基础训练】

1.列举法表示下列集合：(1)10以内的质数组成的集合.(2){y|yx21,1x3,xZ} 2.已知M为所有大于2且小于1的实数组成的集合，则下列关系式正确的是（M

B.M C.1M D. 2M 3.下列写法正确的是（）

A.0{(0,1)};B.1{(0,1)};C.(0,1){(0,1)};D.(0,1){0,1}.4.在平面直角坐标系中画出集合{(x,y)|xy0,xR,yR}内的点所在的区域.5.用适当的方法表示下列集合：(1)关于x的方程x2ax20,aR的解集;(2)两直线y2x1和yx2的交点组成的集合.6.方程(x2)3(x1)(x3)(x4)0的解集含有________个元素.7.已知方程ax2ax10的解集是空集，则实数a的取值范围是___________.【巩固提高】

8.已知集合A{2,(a1)2,a23a3}，且1A，求实数a的值.9.已知集合M含有三个元素0,1,x(xR)，且x2M，求实数x的值.(选做)10.(1)已知方程x2px40的解集是A，且6A，）

第5 / 6页

求实数p的值；

(2)已知方程x2pxq0的解集是{6}，求实数p,q的值.【课堂例题答案】 例1.;;;;;

例2.(1){1,3,5};(2){x|x3k1,kN};(3){(x,y)|(4){(x,y)|x0,y0,xR,yR} 【知识再现答案】 1.aA;aA 2.自然数集；N或Z；整数集；Q；实数集 *xy5}或者{(2,3)} xy1

3.元素； 4.列举法；描述法 【习题答案】

1.(1){2,3,5,7};(2){1,0,3} 2.D 3.C 4.第一、三象限及坐标轴 y 阴影区域，含边界 a

5.(1)

当a{}；当a

a

；

2当a时， 6.4 7.0a4 8.a1或0 9.x1 10.(1)p 20;(2)p12,q36 3

第四篇：函数的表示方法

宜宾市翠屏区龙凤教育培训学校主讲人：杨老师

函数的概念及表示方法

重点、难点：

1.对应、函数、映射

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3.定义域、值域计算的基本方法

4.计算的基本方法

5.分段函数与复合函数

1.函数

设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:

A到集合B的一个函数，记作：yf(x),xA.AB为从集合其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域；与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域。

[注意] ①构成函数的三要素：__________、_________、_________。②A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。

③函数符号f(x)的含义：f(x)表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看做是对“x”施加某种法则（或运算），如f(x)x22x3，当x2时，可看做对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；

当x为某一个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如f(2x1)(2x1)22(2x1)3[g(x)]22g(x)3等等。

④f(x)与f(a)的区别于联系。教师寄语：亲爱的同学，学习路上雷厉风行，没有什么不可能，老师相信你能行的，祝你学习轻松愉快！

电话：0831-***195553地址：翠屏区上江北红丰东路20号地财大厦二楼

f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特征值。如一次函数f(x)3x5，当x8时，f(x)38529是一个常量。

⑤定义域，在实际问题中受到实际意义的制约。如函数y的定义域为x|x0；圆半径r与圆面积S的函数关系为Sr2的定义域为r|r0。

例1 已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-

例2函数

同一函数的判断：

两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相等时，才是同一个函数，这说明：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应关系不同，两个函数也是不同；

(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数。因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。例如，y=2x+1与y=x+1 例3 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A.f(x)=(x －1)0；g(x)= 1B.f(x)= x； g(x)=

C．f(x)= x 2；f(x)=(x + 1)2D.f(x)= | x | ；

g(x)=

[注意]00无意义！

x23x2y＝x2)、f(a)、f(a+1)与y＝3x是不是同一个函数？为什么？

2.区间及写法

设a、b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间；{x|a

①符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” ②区间左端点值要小于区间右端点值；区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开；

例4 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

例5 用区间表示：函数y＝x的定义域，值域是。（观察法）

3.由函数的解析式求定义域

例6 求下列函数的定义域（用区间表示）

f(x)=

例7 f(x)

＝x2x3 x3x22；

f(x)=x1－x2xf(x)

例8

f(x)；f(x)1 11/x

4.函数的值域

例9 求值域（用区间表示）：yx22x4；y

【方法、技巧】求函数值域的方法：

(1)观察法。一些简单的函数，可通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域。

例10 求下列函数的值域：(1)f(x)2x1,x1,2,3,4,5；

(2)y1

(2)配方法。通过函数解析式配方，由非负实数的意义确定函数的值域。

例11 求函数yx24x6的值域

[解析]yx24x6定义域为R，是二次函数，首先考虑配方法。

函数的定义域为R，∵yx24x6(x2)22,xR时，(x2)20∴该函数的 值域为y|y2[2,)

(3)分离常数法。当自变量有一定的取值范围时，利用不等式的性质求出因变量的取值集合。

2x1(1x2)的值域。x1

3[解析] ∵y2，又1x2,2x13,1x15x2；f(x) ；f(x) x

3x3例12 求函数y331yx122，故所求值域~~.(4)换元法。通过换元化简函数解析式，从而顺利地求出函数的值域。

例13

求函数yx【较难】

t211t2[解析]

设t则x且t0，问题转化为求yt(t0)的值域。22

1t211yt(t1)2(t0)，又∵t0,(t1)21,∴y值的范围为y 222

[注意]辅助元的取值范围，如在本例题中，要确定t的取值范围，如忽视了这一点，就会错误。

5.练习一

1.函数f(x)1(xR)的值域1x2

A.（0,1）B.(0，1]C.[0，1）D.[0，1]

2.求函数yx3的值域

x2x3.求函数y2的值域为xx1

4.求函数yx

5.已知函数f(x)x2，求f(x1)；

6.已知函数f(x1)x2，求f(x)；（换元法）

7.若xR,f(x)是y2x2,yx这两个函数中教小者，则f(x)的最大值________

A.2B.1C.-1D.无最大值

8.若函数yf(x)的定义域是x|0x1，则yf(x2)的定义域是________

A.(-1,0)B.（-1,0）∪（0,1）C.(0,1)D.[0,1]

9.若函数yf(3x1)的定义域是[1,3]，则yf(x)的定义域是_____

A.[1,3]B.[2,4]C.[2,8]D.[3,9]

10.求下列函数的定义域(1)y23；

(2)y；x2

(3)y(x1)0

11.12.求函数yx24x6(0x5)的值域。[2,11)下列四组中的函数f(x)与g(x)，表示相同函数的一组为________.A.f(x)|x|,g(x)2；

B.f(x)g(x)C.f(x)x0,g(x)；

D.f(x)x,g(x)

xx

第五篇：函数的表示方法教案

函数的表示法 一．教学目标

了解函数的三种表示方法(解析法、图象法、列表法);知道三种表示法各自的优缺点;会根据不同的实际情境选择恰当的方法表示函数.二．教学重难点

教学重点：函数的三种表示方法.教学难点：在实际情境中，函数表示方法的恰当选择.三．教学过程(一)导入新课

以提问的方式复习函数的概念, 来揭示函数概念的内涵(尽量让学生自己总结出来).只要有一个对应关系, 使得取值范围中的每一个值都有唯一确定的y 和它对应即可, 不用管这个对应关系是以何种形式给出.让学生阅读课本15至16页的三个引例, 学生很容易就可以发现其对应关系分别以解析式、图象、表格的形式.与之对应, 函数常用的三种表示法为解析法、图象法、列表法.设计意图:帮助学生回忆出初中就已经接触过的函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法.(二)讲解新课

设计思路:围绕课本15至16页的三个引例讲解函数的三种表示法, 以下内容均通过这三个例子进行讲解.1.三种表示法的定义(了解即可)解析法:用数学表达式表示两个变量之间对应关系的方法.图象法:用图象表示两个变量之间对应关系的方法.列表法:列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法.2.函数用不同方法表示时定义域、值域的不同求法(1)函数定义域的求法

①当函数y =f(x)用解析式给出时, 函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合;②当函数y =f(x)用图像给出时, 函数的定义域是指图像在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合;③当函数y =f(x)用表格给出时, 函数的定义域是指表格中实数x 的集合.(2)函数值域的求法

①当函数y =f(x)用解析式给出时, 函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;②当函数y =f(x)用图像给出时, 函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;③当函数y =f(x)用表格给出时, 函数的值域是指表格中实数y 的集合.3.函数三种表示法优缺点的对比

(1)解析法的优点:一是简明, 全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.缺点:不够形象, 直观, 具体, 而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来.(2)图像法的优点:能形象直观地表示出函数的变化情况.缺点:只能近似地求出自变量的值所对应的函数值, 而且有时误差较大.(企业生产图、股市走势图等)(3)列表法的优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.缺点:它只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系.(银行利率表、列车时刻表等)(四)巩固练习课本练习小结

1.函数的三种表示法: 解析法、图象法、列表法.2.函数用不同方法表示时定义域、值域的不同求法.3.函数三种表示法优缺点的对比, 这也是选择函数表示法的标准.