《位置的表示方法》教案（最终定稿）

第一篇：《位置的表示方法》教案

数学广场——位置的表示方法

【教学内容】九年义务教育课本数学四年级第二学期P83 【教学目标】

1、知道并学会使用有序整数对（a,b）表示物体在平面中的位置。

2、经历观察、抽象等数学学习过程，体会一一对应、符号化等数学思想。

3、通过数学学习体验数学的实用价值，感受学习数学的快乐。【教学重点】掌握用有序数对（a，b）表示物体在平面中的位置。【教学难点】理解先横后纵的表示方法。【教学准备】多媒体课件 【教学过程】

一、创设情境、激趣引入

1、创设“夏令营征集令”的情境，引入用列行来表示位置的方法。任务开启：寻找小胖，拿到任务卡。

2、出示小胖教室座次图

生：小胖在第x组第x个，第x列第x个，第x列第x行，第x排第x个，纵x横x等。

3、认识列和行

(1)师：我们把竖着的一组一组称为？ 板书：列

(2)师：横着的一排一排我们称为？ 板书：行

4、揭示课题

师：今天老师要和大家一起来探究如何用数学的方法来表示位置。板书：位置的表示方法

二、探索发现、讨论归纳

1．用数对（a，b）表示位置的方法(1)师：小胖到底在什么位置呢？ 生：第2列第3行

师：你们有没有既简单方便又科学合理的方法来表示他的位置呀？ 板书：（2，3）

(2)师：用这种方法表示小胖的位置，我们用到了几个数？ 板书：数对 2．数对的读法

师：（2，3）读作数对二三。3．试一试：

师：小丁丁的位置是在？

任务一：看谁反应快，同学们先确定自己的位置，老师报出数对，相应位置的同学起立。

任务二：从历史中找线索

4．笛卡尔坐标，引出格子图。

5．试一试：根据数对找到小胖他们在格子图中的位置。6．数对是有序的，区别数对（a，b）和数对（b，a）。

小结：这两个数对虽然都是有数字2和5，但表示的意思完全不同，我们在书写的时候不能颠倒，所以数对是有序的。板书：有序

三、巩固练习、实际运用

任务三：寻找小胖藏在英雄岛上的银制徽章。

1、关卡一：失落的藏宝图。（独立）

根据提供的线索找到迷宫中的藏宝图。

2、关卡二：汉字密码墙（同桌合作）

根据数对找到相应藏宝地点的位置。

3、关卡三：对错门（集体手势）

根据题目判断对错。

四、课堂总结、多维评价

1、通过自我评价和同学互评决定银制徽章的归属。

2、总结全课。

第二篇：函数及其表示方法教案

函数及其表示方法

一、目标认知

学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情

境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

1.函数的三种表示法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

知识点

二、映射与函数 1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则t1

ft,f22

2x1x;

2

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x-4x+3.2

【变式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

2，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4

总结升华：求函数解析式常用方法：

f[f(-1)]=f(4)=16.；

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象. yx2

y2x4x30x2 3

思路点拨：1.首先取不同的点，在图像上描出，用一条平滑的线连接各点。

（1）yx22x2x22xx2为分段函数，图象是两条射线；

（2）y2x4x30x3图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：

分段函数：

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.1x0

【变式1】已知fxx0，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.x1x0

解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=； 10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，20x535x10xN 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y410x15515x19

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；

Ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）

采用第二种方式：200=0.6x，x333

∴应采用第一种(全球通)方式.已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()

A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有两个原 C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A与B必须是非空的数 1x1x

已知f，求f(x)的解析式。21x1x1x1x 解：观察已知函数 f

21x1x1y11y1y11y2x1x213（分钟）

222我们可以先令y1x1x，则x1y1y。所以fy2。从而化简得出fy2y1y2，在令y=x，则就可以得出fx。

总结升华：

(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.

第三篇：函数及其表示方法教案

§1.1集合及其表示法 教学目标 知识与技能目标：

（1）使学生初步了解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义。

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义。（4）.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.（5）通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

过程与方法目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，学会抽象概括和运用逻辑思维的习惯。

（4）通过集合两种表示方法的相互转化培养学生的抽象概括和逻辑思维能力

情感态度与价值观目标：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：集合的基本概念及表示方法。

教学难点：运用集合的常用表示方法，正确表示一些简单的集合。授课方法：讲授法 教学过程： 一．集合的概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东

西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.在本书，一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

3.集合的正例和反例

（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}

我们班的男同学；我们班的团员；

（2）“好心的人”，“著名的数学家”，“我们班级中的高个子同学”……这类对象一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准。{1，1，2}由于出现重复元素，也不是集合的正确表示。

4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺

5.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表

示；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 例如：1∈{1，2，3}； 2.5{1，2，3} 6．常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 例如：1∈Z，1.2Z，0∈N； 例题1：课本P7 7． 有限集和无限集的概念

自然数集N，{1，2，3，4，5，„„}；{x|2x-3>0}；{钝角三角形}，„„；

无限集：含有无限个元素的集合。有限集：含有有限个元素的集合。{x/x=3 },{我们班的全体同学}，{我们班中年龄小于10岁的同学} 空集：规定空集，不含元素。记作； 二．集合的表示方法

问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3,2,-0.5, 方法1: 方法2: {4.8,2,1,+73,3.1 31,+73,3.1} 3 问题2：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示为:x<3）

问题1中，方法1为图示法，方法2为列举法.1.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开； 一般不必考虑元素之间的顺序；

(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；

例1．用列举法表示下列集合：

第2 / 6页

(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)从51到100的所有整数的集合；(4)小于10的所有自然数组成的集合；(5)方程xx的所有实数根组成的集合；(6)由1~20以内的所有质数组成的集合。

问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。

表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则xA；若xA,则x具有性质p。

说明:(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；(2)应防止集合表示中的一些错误。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示R。

例2．用描述法表示下列集合：(1)由适合x-x-2>0的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)抛物线y=x上的点;(4)抛物线y=x上点的横坐标;(5)抛物线y=x上点的纵坐标;例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x20的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

（二）集合的分类

例4．观察下列三个集合的元素个数

1.{4.8, 7.3, 3.1,-9};2.{xR∣0

有限集:含有有限个元素的集合集合的分类无限集:含有无限个元素的集合

空集:不含有任何元素的集合(emptyset)

（三）文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下： 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：

第3 / 6页

表示任意一个集合A 表示{3，9，27} 说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三．课堂练习一 例1.用“”或者“”填空 0 N 0 Z

2 Z 1* N 2 R 2 例2.用适当的方法表示下列集合：

(1)大于0且不超过6的全体奇数组成的集合；(2)被3除余1的自然数全体组成的结合；(3)方程组xy5的解集； xy1(4)直角坐标系内第一象限的点组成的集合.四．课堂练习二

1.元素与集合的关系用符号表示：

①a属于集合A___________；②a不属于集合A___________.2.常用数集记法：

字母N表示______________；用_______表示正整数集；Z表示_____________；用______ 表示有理数集；R表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合，记作______________.第4 / 6页

4.集合常用的表示方法有 和.【基础训练】

1.列举法表示下列集合：(1)10以内的质数组成的集合.(2){y|yx21,1x3,xZ} 2.已知M为所有大于2且小于1的实数组成的集合，则下列关系式正确的是（M

B.M C.1M D. 2M 3.下列写法正确的是（）

A.0{(0,1)};B.1{(0,1)};C.(0,1){(0,1)};D.(0,1){0,1}.4.在平面直角坐标系中画出集合{(x,y)|xy0,xR,yR}内的点所在的区域.5.用适当的方法表示下列集合：(1)关于x的方程x2ax20,aR的解集;(2)两直线y2x1和yx2的交点组成的集合.6.方程(x2)3(x1)(x3)(x4)0的解集含有________个元素.7.已知方程ax2ax10的解集是空集，则实数a的取值范围是___________.【巩固提高】

8.已知集合A{2,(a1)2,a23a3}，且1A，求实数a的值.9.已知集合M含有三个元素0,1,x(xR)，且x2M，求实数x的值.(选做)10.(1)已知方程x2px40的解集是A，且6A，）

第5 / 6页

求实数p的值；

(2)已知方程x2pxq0的解集是{6}，求实数p,q的值.【课堂例题答案】 例1.;;;;;

例2.(1){1,3,5};(2){x|x3k1,kN};(3){(x,y)|(4){(x,y)|x0,y0,xR,yR} 【知识再现答案】 1.aA;aA 2.自然数集；N或Z；整数集；Q；实数集 *xy5}或者{(2,3)} xy1

3.元素； 4.列举法；描述法 【习题答案】

1.(1){2,3,5,7};(2){1,0,3} 2.D 3.C 4.第一、三象限及坐标轴 y 阴影区域，含边界 a

5.(1)

当a{}；当a

a

；

2当a时， 6.4 7.0a4 8.a1或0 9.x1 10.(1)p 20;(2)p12,q36 3

第四篇：函数及其表示方法教案

函数及其表示方法

一、目标认知 学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点:

函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．

难点:

对函数符号yf(x)的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

知识点

一、函数的概念

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：yf(x)，xA．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]； ；

.； 知识点

二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点

三、映射与函数 1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.三、规律方法指导 1.函数定义域的求法

(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象

对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析

类型

一、函数概念

(1)1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(不同)

(2)

(不同)

(3)

(4)

(相同)

(相同)

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则法则，其中核心是对应，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：

【变式1】判断下列命题的真假

(1)y=x-1与

(2)

(3)

是同一函数；

与y=|x|是同一函数；

是同一函数；

(4)

与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；

(2)；

(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)

；

(2)；

(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．

解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；

(2)要使函数有意义，须使

所以函数的定义域是

；，(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3³32+5³3-2=27+15-2=40；

举一反三：

；

.；

【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，f()的值；

(3)当a＞0时，求f(a)³f(a-1)的值.2

3解：(1)由；

(2)；

；

(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))

思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．

解：(1)f(2)=2³22-3³2-25=-23；g(2)=2³2-5=-1；

(2)f(g(2))=f(-1)=2³(-1)2-3³(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2³(-23)-5=-51；

(3)f(g(x))=f(2x-5)=2³(2x-5)2-3³(2x-5)-25=8x2-46x+40；

g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2³(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4.求值域(用区间表示)：

(1)y=x2-2x+4；

思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；

.(2)；

(3)；

(4)1)∪(1，+∞).，∴函数的值域为(-∞，类型

二、映射与函数

5.下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?

(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；

(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；

(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．

思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．

解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为

A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；

(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与

之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；

(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无

数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正

三角形便可成为映射．

总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．

举一反三：

【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则

②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；

③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；

④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？

(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；

(2)A中的某个元素在B中可以没有象；

(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；

(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；

(5)B中的元素在A中都有原象；

(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？

(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；

(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；

(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；

(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；

(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6.已知A=R，B={(x，y)|x，yR}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素

解：

∴A中元素的象为的象，B中元素的原象.故.举一反三：

【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中

(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？

(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？

解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为

；

又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；

(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；

又因为由

有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型

三、函数的表示方法

7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则

；

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：

【变式1】(1)已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；

(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax2+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

；

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2²(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.(1)8.作出下列函数的图象.；

(2)

；

(3)；

(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；

(2)为分段函数，图象是两条射线；

(3)

(4)图象是抛物线.为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；

所作函数图象分别如图所示：

类型

四、分段函数

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2³02+1=1

f[f(-1)]=f[2³(-1)+3]=f(1)=2³12+1=3.举一反三：

【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；

f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.举一反三：

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；

Ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）

采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.学习成果测评 基础达标

一、选择题

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()

⑴，；

⑵，；

⑶，；

⑷，；

⑸，．

A．⑴、⑵

B．⑵、⑶

C．⑷

D．⑶、⑸

2．函数y=的定义域是()

A．-1≤x≤

1B．x≤-1或x≥1

C．0≤x≤1

3．函数的值域是()

A．(-∞，)∪(，+∞)

B．(-∞，)∪(，+∞)

C．R

D．(-∞，)∪(，+∞)

4．下列从集合A到集合B的对应中：

①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；

②

③

④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；

D．{-1，1}

⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|

其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是()

A． 1

B． 2

C． 3

D． 4

5．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()

A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有两个原象

C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A与B必须是非空的数集

6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象()

A．(，1)

B．(1，3)

C．(2，6)

D．(-1，-3)

7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是()

A．y=

B．y=

C．y=x

D．y=

x2

8．下列图象能够成为某个函数图象的是()

9．函数的图象与直线的公共点数目是()

A．

B．

C．或

D．或 10．已知集合和

A．中的元素对应，则

C．，且的值分别为()

D．，使

中元素

B．11．已知，若，则的值是()

A．

B．或12．为了得到函数

C．，或

D． 的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是()

A．沿轴向右平移个单位

B．沿轴向右平移个单位

C．沿轴向左平移个单位

D．沿轴向左平移

二、填空题

个单位

1．设函数则实数的取值范围是_______________．

2．函数的定义域_______________．

上的值域是_________． 的图象与x轴交于，且函数的最大值

3．函数f(x)=3x-5在区间

4．若二次函数为，则这个二次函数的表达式是_______________．

5．函数

6．函数

三、解答题 的定义域是_____________________． 的最小值是_________________．

1．求函数

2．求函数的定义域． 的值域．

3．根据下列条件，求函数的解析式：

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；

(4)已知；

(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升

一、选择题

1．设函数

A．

B．

C．，则的表达式是()

D．

2．函数

A．3

B．-3

C．

满足

D．

则常数等于()

3．已知

A．15

B．1

C．3

D．30

4．已知函数

定义域是，那么等于()，则的定义域是()

A．

5．函数

A．

B．

C． 的值域是()

D．

B．

C．

D．

6．已知，则的解析式为()

A．

二、填空题

B．

C．

D．

1．若函数

2．若函数，则，则

=_______________． =_______________．

3．函数的值域是_______________．

4．已知

5．设函数，则不等式，当的解集是_______________．

时，的值有正有负，则实数的范围________．

三、解答题

1．设是方程的两实根，当

为何值时，有最小值?求出这个最小值．

2．求下列函数的定义域

(1)

3．求下列函数的值域

；(2)．

(1)；(2)．

综合探究

1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是()

2.如图所表示的函数解析式是()

A.B.C.D.3．函数的图象是()

4.如图，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.答案与解析：

基础达标

一、选择题

1．C．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；(5)定义域不同．

2．D．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或 x≥1，∴x=±1，选D．

3．B．法一：由y=，∴x= ∴y≠，应选B．

法二：

4．C．提示：①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件．

5．D．提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．

6．A．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=，y=1，应选A．

7．C．∵0≤x≤4，∴0≤

8．C．

x≤=2，应选C．

9．C．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于

10．D．按照对应法则

而，∴，仅有一个函数值．

．，而

11．D．该分段函数的三段各自的值域为

∴

∴

．

12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即

二、填空题，左移．

1．.当，这是矛盾的；当

.2．

设

.提示：，对称轴

.3．，当

时，.4．

..5．

三、解答题

1．解：∵..6．.．，∴定义域为

2．解：∵ ∴，∴值域为

3．解：(1).提示：利用待定系数法；

(2).提示：利用待定系数法；

(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；

(4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设

；

(5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得

能力提升

一、选择题

1．B.∵

∴

；

2．B.3．A.令

4．A.；

5．C.；

6．C.令

二、填空题

1．2．.令..．

.3．..4．.当

当，∴.5．

得

三、解答题

1．解：.2．解：(1)∵∴定义域为；

(2)∵∴定义域为．

3．解：(1)∵，∴值域为；

(2)∵

∴值域为

.∴

综合探究

1.D．因为纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，所以当

时，纵轴表示家到学校的距离，不能为零，故排除A、C；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，所以刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D.2.B．本题考查函数图象与解析式之间的关系.将x=0代入选项排除A、C，将x=1代入选项排除D，故选B.3.D．.，就需准确揭示x、y之间的变化关系.依题意，4.思路点拨：要求函数的表达式可知随着直线MN的移动，点N分别落在梯形ABCD的AB、BC及CD边上，有三种情况，所以需要分类解答.解析：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，依题意，则有

(1)当M位于点H的左侧时，由于AM=x，∠BAD=45°.(2)当M位于HG之间时，由于AM=x，；

(3)当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.综上：

总结升华：

(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.

第五篇：用数对表示位置教案

用数对表示位置

（七个星镇中心学校 麦尼沙古丽·毛拉依明）教学内容：P19例1及做一做相关练习。教材分析：

教材通过确定多媒体教室中学生的座位这个情景,充分利用学生已有的生活经验引出本单元内容的学习.首先通过让学生找出坐在第2列、第3行的张亮同学，使学生明确“列”“行”的含义及确定第几列、第几行的一般规则。接下来又给出了用数对表示第几列第几行的方法，使学生掌握用数对确定位置的方法。

学情分析：

学生对确定位置的方法有一定的生活经验，对班级座位图很熟悉，这些都有利于知识的迁移。教师在教学过程中可以通过教师座位图这一情景展开，先放手让学生尝试用已有的经验来确定位置，在教学生用数对来确定位置的方法，并让学生感受知识间的内在联系。

教学目标：

1、在具体情境中认识列、行的含义，知道确定第几列、第几行的规则。

2、初步理解数对的含义，会用数对表示具体情景中物体的位置。

情感态度价值观：

1、让学生深刻体会社会主义核心价值观“爱国”。

2、发展学生的数学思考及空间观念，增强其运用所学知识解决实际问题的能力。

教学重难点：能在具体情景中用数对表示位置。教学准备：多媒体课件、A4纸 教学过程：

一、导入(社会主义核心价值观----爱国)

师：同学们，你们看，这个会议室的布置漂亮吧！这么漂亮的会议室、明亮干净的教室、优美的校园环境里，你们是不是开心、快乐的学习？你们的数学、语文等教科书是你们自己掏钱买的吗？（生：不是，是免费的）

师：好，同学们，你们有没有想过是谁给我们营造优美的校园环境？(学生回答)是谁给你们免费提供教科书？是谁免去了我们的学杂费？(学生回答)是谁帮助我们精准扶贫的孩子上学的呢？(学生回答)对，是我们的祖国，那我们是不是应该感谢祖国呢？(学生回答)我们每个人必须有一颗感恩的心，要爱国，用自己实际行动来报答祖国。我们应该好好学习，用科学知识来武装自己，为建设祖国的美好未来出一份力量好吗？！

二、揭示课题、出示目标：

过渡语：好，这节课老师就要看你们的表现，接下来，我们用最饱满的热情和精神来学习今天的新知识好吗？（板书课题）

我们一起来看今天的学习目标：（学生齐读）

1、在具体情境中认识列与行，理解数对的含义。

2、能用数对表示具体情景中物体的位置。

过度语：目标明确了吗？要想达到今天的学习目标，要靠大家的认真的自学，同学们有信心吗？怎样自学呢，有请自学指导帮助我们学习，请看大屏幕。（课件出示自学指导）

三、出示自学指导：（指名学生读）认真看课本第19页例1的座位图及蓝色方框的示意图，并完成书中的问题。

思考：

1、什么是列？什么是行？怎样数对表示张亮同学的位置？（注意看小精灵的表示方法）

2、认真思考王艳同学和赵雪同学的位置用数对表示，有什么相同处？有什么不同处？（同桌两人互相说一说）

（5分钟后，比谁的自学最认真，坐姿最端正，比谁检测题做得最好！）

四、先学：

1、学生认真看书，教师可以巡视，督促学生进行紧张的自学。

2、检测：

1）什么是列？什么是行？怎样确定第几列第几行呢？请同学们想一想自己所做的位置。（老师板书：列 行）

2）老师想靠一靠大家，你用数对表示自己教室的位置吗？

学生根据自己所坐的位置，写出自己位置的数对。（写在练习本上）老师指1名学生说，后写在黑板上（老师不知道他说的话，谁来帮帮老师写在黑板上呢？）（老师板书：数对）

五、后教：

1、纠错改正。

2、讨论：

（1）让学生回答什么是列？什么是行？（2）由学生的回答明确数对的含义：

通常竖排叫“列”，横排叫“行”，列是从左往右数，行是从前往后数，一般是先列后行。

明确如何用数对表示位置：比如张亮的位置用（2,3）来表示，2表示第二列，3表示第三行。用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间写个逗号隔开。（2，3）读作：第二列第三行。

（3）请学生用数对表示自己的位置，并认真观察，发现了什么？

小结：前后同学的位置的“数对”的第一个数字不变，第二个数字变了，因为列不变，行变了；左右同学的“数对”第一个数字变了，第二个数字没变，因为列变了，行不变。

六、当堂训练

1、我会填。

1）用数对表示物体的位置，要先确定（），再确定（），确定第几列一般（）数，确定第几行一般（）数。

2）小军坐在教室的第3列第4行，用数（3，4）表示，小红坐在第1列第6行，用（）来表示；用（5，2）表示的小丽同学坐在第（）列第（）行。

2、老师找朋友。

过渡语：今天老师很荣幸给你们班上课，希望你们成为我的朋友。你们想和老师交朋友吗？老师想认识下面的几位同学，请你们帮助老师找找他们吗？

老师用课件分别出示数对（2，5）（5，2），让学生找一找老师的好朋友。

1）请（2，5）这位同学站起来。你说，你为什么站起来呢？你根据什么确定这是你呢？（第2列，第5行）

2）请这位同学站起来，你来帮助老师找出这位同学好 吗？你说，你是根据什么确定他是我的朋友？（学生回答）

讨论：这两组数对有什么相同之处？有什么不同之处？ 结论：虽然这两组数对都由2和5组成，但是这两组数对的列数和行数不同，因此所表示的位置也不同。

3、做游戏

过渡语：同学们，在班里你们有没有最好的朋友？（学生回答）你们喜不喜欢做游戏呀？

接下来是我们的做游戏环节，请大家注意听游戏规则： 同学们想一想，在纸上用数对表示你好朋友的位置。

请一名男生和一名女生给大家介绍自己的好朋友。(希望你们的友谊越来越深厚。)

（四）全课总结

1、通过这节课的学习，你们有什么收获？

2、作业：

1）完成小练习册第9页第1、2题。

3、你知道数对是谁发明的吗？介绍笛卡尔

笛卡尔是法国著名的哲学家、数学家、物理学家。有一天，笛卡尔生病了，躺在床上，突然，看见墙角上的一只蜘蛛在上边左右拉丝。他想，可以把蜘蛛看做一个点，蜘蛛的每个位置就能用一组数确定下来。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔用一对有顺序的数表示平面上的一个点，创建了数对与直角坐标系。（过渡语：同学们，笛卡尔是一个特别善于观察、乐于思考的人。我们应该向他学习，从小热爱学习，养成爱思考、爱动脑筋的好习惯，老师相信你们就未来的数学家！）

结束语：同学们，今天你们开心吗？我也很开心。我相 信，在不久的将来，祖国的明天在你们的建设下更加繁荣富强！