空间图形在平面内的表示方法教案

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第一篇:空间图形在平面内的表示方法教案

空间图形在平面内的表示方法教案

教学目标:会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。教学重点:画水平放置的平面图形的直观图。教学过程:

一、复习:

确定平面的三个推论

推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面。

二、新授:

1.水平放置的平面图形的直观图

直观图:表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图。

画空间图形的直观图,一般都遵守统一的规则 例

1、画水平放置的正六边形的直观图。画法:略

2、画水平放置的正六边形的直观图。画法:略

3、画棱长为2厘米的正方体的直观图。画法:略

2.上面画直观图的画法叫做斜二测画法。

这种画法的规则是:

(1)在已知图形中取水平平面,取互相垂直的轴Ox、Oy,再取Oz轴。使∠xOz=90,且∠yOz=90;

(2)画直观图时,把它们画成对应的轴Ox、Oy、Oz,使xOy45(或135),xOz90。xOy所确定的平面表示水平平面; 00

0

00(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段;

(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半。

3.说明:应用斜二测画法画直观图时,为了简便,如果要求不太严格,那么长度和角度可“适当地”选取,只要有一定的立体感就可以了。例如,三角形的直观图可“适当地”画成三角形,长方形地直观图可“适当地”画成平行四边形。但习题中要求用斜二测画的,还应该按要求画。

三、做练习:第10页第1、2、3题 小结:1.直观图的概念 2.斜二测画法的规则

五、布置作业:习题9.1第8、9题。

第二篇:空间图形的基本知识教案

空间图形的基本知识

一.考纲要求

1.了解平面的概念、画法及表示法,平面的基本性质,直线 和平面、平面和平面的垂直及其应用. 2.会画长方形的直观图;会画立方体、长方体的直观图. 3.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、高线、母线、轴截面等概念.

通过画长方体等的直观图,以此为基本模型,来研究直线与平面,平面与平面的垂直与否,逐步培养学生空间想象能力。圆柱、圆锥、圆台的轴截面及其在生产生活中的实际应用不可忽视。二.基础回顾

1.下面说法中,正确的是()(A)一点能确定的一个平面(B)两点能确定的一个平面

(C)任意三点能确定一个平面(D)任意三点不一定能确定一个平面

2.如图,长方体中,和平面AD1垂直的棱是_______,和棱的BB1垂直的平面是________.3.如图,长方体中,过点A1和平面A1C1垂直的平面有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 4.画一个水平放置的边长为3cm的正方形的直观图.(要求正确画出图形,画图工具不限)

5.等腰三角形以底边上的高线为轴旋转,其余各边旋转所围成的几何体是()(A)一个圆锥(B)二个圆锥(C)三个圆锥(D)四个圆锥 三.典型例题

例1.要画立方体(即正方体)的直观图,甲、乙两位同学分别画出了以下两个表示立方体上底面A1B1C1D1的直观图,请你选择其中画得正确的一个,将它画成立方体的直观图,并标上顶点字母.(画图工具不限,不要求写画法)

例2.在半径为30m的圆形广场的中心上空,设置一个照明光源,射向地面的光束呈圆锥形,它的轴截面顶角为120°,要使光源照到整个广场,求光源的高度至少要多少m.(精确到0.1m)

例3.如图,圆锥的底面半径为R,用一个平行于底面的平面去截这个圆锥,把圆锥分成一个小圆锥和一个圆台,设小圆锥的底面半径为r,母线长为x,圆台的母线长为l. xr(1)求证; = lR-rx1(2)若 =,R=8,l=13,求圆台的高线长h.l3

例4.如图,平面ABC与平面BCD是空间两个相交平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D是平面ABC外的一点,CD⊥AC,试判断平面ABC与平面BCD是否垂直,并说明理由

例5.某纸晶加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒(如图),利用边角废料裁出正方形和长方形两种硬纸片,长方形的宽与正方形的边长相等(如图),现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全都用于制作两种小盒,可以各做多少个?

四.反馈练习

1.画出长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体的直观图. 2.巳知圆锥的轴截面周长32cm,底面积为36πcm,求轴截面的面积.

3.在长方体ABCD--A1B1C1Dl中,如果AA1=1,AB=BC=2,求A1C的长.

五.作业

1.若圆台的上、下底面面积分别为16π,36π经过高线的中点画平行于底面的截面,求这个截面的面积。

2.圆锥的母线长是3cm,轴截面的顶角是45°,用于平行于圆锥底面的截面截圆锥,截面过高线的三等分点,求截面圆的面积.

3.下列各图是由全等的正方形组成的图形,能围成一个立方体的图形是()

4.一个正方体的六个面上分别标有2、3、4、5、6、7中的一个数字;如图所示,表示这个正方体的三种不同的放置方法,则这三种放置方法中,三个正方体下底面上所标数字之和是()5.观察图中的正方体,AC为上底的对角线,A'C'、B'D',为下底的对角线.AC与A'C'相互______;且C与B'D'相互_________.(填人下面的标即可)(1)平行;(2)相交但不垂直;(3)垂直但不相交;(4)垂直相交.

第三篇:平面向量的坐标表示教案范文

平面向量共线的坐标表示

教学目的:

(1)理解平面向量的坐标的概念;(2)掌握平面向量的坐标运算;

(3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线.教学重点:平面向量的坐标运算

教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型:新授课 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程:

一、复习引入: 1.平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得axiyj

把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i(1,0),j(0,1),0(0,0).2.平面向量的坐标运算 若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x,y).若A(x1,y1),B(x2,y2),则ABx2x1,y2y1

二、讲解新课:

a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)其中ba.x1x2由a=λb得,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,x1y2-x2y1=0

yy21探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1,y2有可能为0,∵b0∴x2,y2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成y1y2∵x1,x2有可能为0 x1x2(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b (b0)ab

x1y2x2y10

三、讲解范例:

例1已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.例2已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.例3设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.例4若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,求x

解:∵a=(-1,x)与b=(-x,2)共线∴(-1)×2-x•(-x)=0 a∴x=±2∵与b方向相同∴x=2

例5已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线AB与平行于直线CD吗?

解:∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),AB=(2,4),2×4-2×60 ∴AC与AB不平行

∴A,B,C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD

四、课堂练习:

1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y=()A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为()

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j,DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线,则x、y的值可能分别为()A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4 4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=.5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则x=.五、小结

第四篇:函数及其表示方法教案

函数及其表示方法

一、目标认知

学习目标:

(1)会用集合与对应的语言刻画函数;会求一些简单函数的定义域和值域,初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法:解析法,列表法和图象法.了解每种方法的优点.在实际情

境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;

(3)求简单分段函数的解析式;了解分段函数及其简单应用.

重点: 函数概念的理解,函数关系的三种表示方法.分段函数解析式的求法. 难点: 对函数符号的理解;对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析,什么才算“恰当”?分段函数解析式的求法.

二、知识要点梳理

1.函数的三种表示法:

解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明,给自变量求函数值.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值.2.分段函数:

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.

知识点

二、映射与函数 1.映射定义:

设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从A到B的映射;记为f:A→B.象与原象:如果给定一个从集合A到集合B的映射,那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象,a叫做b的原象.注意:

(1)A中的每一个元素都有象,且唯一;

(2)B中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一;

(3)a的象记为f(a).2.函数:

设A、B是两个非空数集,若f:A→B是从集合A到集合B的映射,这个映射叫做从集合A到集合B的函数,记为y=f(x).注意:

(1)函数一定是映射,映射不一定是函数;

(2)函数三要素:定义域、值域、对应法则;

(3)B中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯一;

(4)原象集合=定义域,值域=象集合.7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2,求f(x);

(2)若f(x+1)=2x2+1,求f(x).思路点拨:求函数的表达式可由两种途径.解:(1)∵f(2x-1)=x2,∴令t=2x-1,则t1

ft,f22

2x1x;

2

(2)f(x+1)=2x2+1,由对应法则特征可得:f(x)=2(x-1)2+1

即:f(x)=2x-4x+3.2

【变式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2,求f(x);

(2)已知:

2,求f[f(-1)].解:(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1;

(法2)令x+1=t,∴x=t-1,∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1;

(法3)设f(x)=ax+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1<0,∴f(-1)=2·(-1)+6=4

总结升华:求函数解析式常用方法:

f[f(-1)]=f(4)=16.;

(1)换元法;(2)配凑法;(3)定义法;(4)待定系数法等.注意:用换元法解求对应法则问题时,要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象. yx2

y2x4x30x2 3

思路点拨:1.首先取不同的点,在图像上描出,用一条平滑的线连接各点。

(1)yx22x2x22xx2为分段函数,图象是两条射线;

(2)y2x4x30x3图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示:

分段函数:

9.已知,求f(0),f[f(-1)]的值.思路点拨:分段函数求值,必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解:f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.1x0

【变式1】已知fxx0,作出f(x)的图象,求f(1),f(-1),f(0)的值.x1x0

解:由分段函数特点,作出f(x)图象如下:

∴如图,可得:f(1)=2;f(-1)=-1;f(0)=; 10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定:

(1)乘坐汽车5公里以内,票价2元;

(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算),已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.解:设票价为y元,里程为x公里,20x535x10xN 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:y410x15515x19

根据这个函数解析式,可画出函数图象,如下图所示:

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务:“全球通”,月租50元,每通话1分钟,付费0.4元;“神州行”不缴月租,每通话1分钟,付费0.6元,若一个月内通话x分钟,两种通讯方式的费用分别为y1,y2(元),Ⅰ.写出y1,y2与x之间的函数关系式?

Ⅱ.一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同?

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元,应选择哪种通讯方式?

解:Ⅰ:y1=50+0.4x,y2=0.6x;

Ⅱ: 当y1=y2时,50+0.4x=0.6x,∴0.2x=50,x=250

∴当一个月内通话250分钟时,两种通讯方式费用相同;

Ⅲ: 若某人预计月付资费200元,采用第一种方式:200=50+0.4x,0.4x=150 ∴x=375(分钟)

采用第二种方式:200=0.6x,x333

∴应采用第一种(全球通)方式.已知映射f:A→B,在f的作用下,下列说法中不正确的是()

A. A中每个元素必有象,但B中元素不一定有原象

B. B中元素可以有两个原 C. A中的任何元素有且只能有唯一的象

D. A与B必须是非空的数 1x1x

已知f,求f(x)的解析式。21x1x1x1x 解:观察已知函数 f

21x1x1y11y1y11y2x1x213(分钟)

222我们可以先令y1x1x,则x1y1y。所以fy2。从而化简得出fy2y1y2,在令y=x,则就可以得出fx。

总结升华:

(1)由实际问题确定的函数,不仅要确定函数的解析式,同时要求出函数的定义域(一般情况下,都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域,使之必须有实际意义.

第五篇:函数及其表示方法教案

§1.1集合及其表示法 教学目标 知识与技能目标:

(1)使学生初步了解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法(2)使学生初步了解“属于”关系的意义。

(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义。(4).掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)。.(5)通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。

过程与方法目标:

(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养;(2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;

(3)通过教师指导发现知识结论,学会抽象概括和运用逻辑思维的习惯。

(4)通过集合两种表示方法的相互转化培养学生的抽象概括和逻辑思维能力

情感态度与价值观目标:

激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点:集合的基本概念及表示方法。

教学难点:运用集合的常用表示方法,正确表示一些简单的集合。授课方法:讲授法 教学过程: 一.集合的概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东

西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.在本书,一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集。

3.集合的正例和反例

(1){2,3,4},{(2,3),(3,4)},{三角形},{ x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},{51,52,53,…,100},{2,4,6,8,…}

我们班的男同学;我们班的团员;

(2)“好心的人”,“著名的数学家”,“我们班级中的高个子同学”……这类对象一般不能构成数学意义上的集合,因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准。{1,1,2}由于出现重复元素,也不是集合的正确表示。

4.关于集合的元素的特征

(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。(3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯的由小到大的数轴顺

5.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表

示;

(1)如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA 例如:1∈{1,2,3}; 2.5{1,2,3} 6.常用数集及其记法

非负整数集(或自然数集),记作N 整数集,记作Z 有理数集,记作Q 实数集,记作R 例如:1∈Z,1.2Z,0∈N; 例题1:课本P7 7. 有限集和无限集的概念

自然数集N,{1,2,3,4,5,„„};{x|2x-3>0};{钝角三角形},„„;

无限集:含有无限个元素的集合。有限集:含有有限个元素的集合。{x/x=3 },{我们班的全体同学},{我们班中年龄小于10岁的同学} 空集:规定空集,不含元素。记作; 二.集合的表示方法

问题1:在初中学正数和负数时,是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3,2,-0.5, 方法1: 方法2: {4.8,2,1,+73,3.1 31,+73,3.1} 3 问题2:在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?(可表示为:x<3)

问题1中,方法1为图示法,方法2为列举法.1.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明:(1)书写时,元素与元素之间用逗号分开; 一般不必考虑元素之间的顺序;

(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时,可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替;

例1.用列举法表示下列集合:

第2 / 6页

(1)小于5的正奇数组成的集合;

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)从51到100的所有整数的集合;(4)小于10的所有自然数组成的集合;(5)方程xx的所有实数根组成的集合;(6)由1~20以内的所有质数组成的集合。

问题6:能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。

表示形式:A={x∣p},其中竖线前x叫做此集合的代表元素;p叫做元素x所具有的公共属性;A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的,即若x具有性质p,则xA;若xA,则x具有性质p。

说明:(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示;(2)应防止集合表示中的一些错误。

如,把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2},用{实数集}或{全体实数}表示R。

例2.用描述法表示下列集合:(1)由适合x-x-2>0的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)抛物线y=x上的点;(4)抛物线y=x上点的横坐标;(5)抛物线y=x上点的纵坐标;例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x20的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

(二)集合的分类

例4.观察下列三个集合的元素个数

1.{4.8, 7.3, 3.1,-9};2.{xR∣0

有限集:含有有限个元素的集合集合的分类无限集:含有无限个元素的集合

空集:不含有任何元素的集合(emptyset)

(三)文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,叙述如下: 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如图所示:

第3 / 6页

表示任意一个集合A 表示{3,9,27} 说明:边界用直线还是曲线,用实线还是虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行,但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三.课堂练习一 例1.用“”或者“”填空 0 N 0 Z

2 Z 1* N 2 R 2 例2.用适当的方法表示下列集合:

(1)大于0且不超过6的全体奇数组成的集合;(2)被3除余1的自然数全体组成的结合;(3)方程组xy5的解集; xy1(4)直角坐标系内第一象限的点组成的集合.四.课堂练习二

1.元素与集合的关系用符号表示:

①a属于集合A___________;②a不属于集合A___________.2.常用数集记法:

字母N表示______________;用_______表示正整数集;Z表示_____________;用______ 表示有理数集;R表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合,记作______________.第4 / 6页

4.集合常用的表示方法有 和.【基础训练】

1.列举法表示下列集合:(1)10以内的质数组成的集合.(2){y|yx21,1x3,xZ} 2.已知M为所有大于2且小于1的实数组成的集合,则下列关系式正确的是(M

B.M C.1M D. 2M 3.下列写法正确的是()

A.0{(0,1)};B.1{(0,1)};C.(0,1){(0,1)};D.(0,1){0,1}.4.在平面直角坐标系中画出集合{(x,y)|xy0,xR,yR}内的点所在的区域.5.用适当的方法表示下列集合:(1)关于x的方程x2ax20,aR的解集;(2)两直线y2x1和yx2的交点组成的集合.6.方程(x2)3(x1)(x3)(x4)0的解集含有________个元素.7.已知方程ax2ax10的解集是空集,则实数a的取值范围是___________.【巩固提高】

8.已知集合A{2,(a1)2,a23a3},且1A,求实数a的值.9.已知集合M含有三个元素0,1,x(xR),且x2M,求实数x的值.(选做)10.(1)已知方程x2px40的解集是A,且6A,)

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求实数p的值;

(2)已知方程x2pxq0的解集是{6},求实数p,q的值.【课堂例题答案】 例1.;;;;;

例2.(1){1,3,5};(2){x|x3k1,kN};(3){(x,y)|(4){(x,y)|x0,y0,xR,yR} 【知识再现答案】 1.aA;aA 2.自然数集;N或Z;整数集;Q;实数集 *xy5}或者{(2,3)} xy1

3.元素; 4.列举法;描述法 【习题答案】

1.(1){2,3,5,7};(2){1,0,3} 2.D 3.C 4.第一、三象限及坐标轴 y 阴影区域,含边界 a

5.(1)

当a{};当a

a

2当a时, 6.4 7.0a4 8.a1或0 9.x1 10.(1)p 20;(2)p12,q36 3

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