平面向量平行的坐标表示教案（精选五篇）

第一篇：平面向量平行的坐标表示教案

8.3.2平面向量平行的坐标表示

教学目标：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。

教学重点：平行向量充要条件的坐标表示，解决向量平行（共线）的有关问题 教学难点：充要条件的推导，共线条件的判断 教学过程：

一、复习：1．平行向量基本定理

2．平面向量的坐标运算法则



二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb（b0），那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

2．推导：设a=(x1, y1)b=(x2, y2)其中ba

xx2由a=λb(x1, y1)=λ(x2, y2)1 消去λ：x1y2-x2y1=0

y1y2结论：a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0，∵b0

∴x2, y2中至少有一个不为0 2充要条件不能写成y1y2 ∵x1, x2有可能为0 x1x2ab3从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b0)

x1y2x2y10

三、应用举例

例一，判断下列两个向量是否平行

（1）a=（-1,3），b=（5，-15）（2）AB=（2,0），CD=（0,3）

解：（1）（-1）（-15）=35 a与b平行（2）2300 AB与CD不平行

点评：利用坐标表示可以判断两个向量是否平行 两个课后练习巩固

例二 若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x

解：∵a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线

∴(-1)×2-x•(-x)=0 ∴x=±2

∵a与b方向相同

∴x=2

定评：如果两个向量共线 根据公式可以求出未知数

完成课后第二第三两题

例三 已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的关系.解：AB11,312,4，AC21,513,6又26340，故AB//AC，直线AB、直线AC有公共点A，所以A、B、C三点共线.同时引导学生如何证明三点不共线 点评：如何证明三点共线 主要是证明两个有公共点的两个向量平行，变式．已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)（1）向量AB与CD平行吗？（2）直线AB与平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)又：∵2×2-4-1=0 ∴AB∥CD 又：AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)AB=(2, 4)2×4-2×60 ∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD

四、练习：

1．已知平面向量a(1,2)，b(2,m)，且a∥b，则2a3b的坐标为 ． 2.已知点A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求证：AB∥CD

五、高考链接

(1,2),b(2,3)4,7)共⑴（08全国2）设向量a,若向量ab，与向量c(线，求值．

,m)，c(1,2)，若(ab)∥c，则⑵（10陕西11）已知向量a(1,2)，b(1m=.五、小结：1.向量平行的充要条件（坐标表示）• 2．利用向量共线求未知数

• 3． 利用向量思想证明点共线的方法

六、作业：P64 练习8-6 《同步训练》P38、39

七、课后反思

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————



第二篇：平面向量的坐标表示教案范文

平面向量共线的坐标表示

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).2．平面向量的坐标运算 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

二、讲解新课：

a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中ba.x1x2由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0

yy21探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵b0∴x2，y2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成y1y2∵x1，x2有可能为0 x1x2(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b0)ab

x1y2x2y10

三、讲解范例：

例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，求x

解：∵a=(-1，x)与b=(-x，2)共线∴(-1)×2-x•(-x)=0 a∴x=±2∵与b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×60 ∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD

四、课堂练习：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结

第三篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．课题：平面向量概念

二、教学目标

1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣

三．教学类型：新知课

四、教学重点、难点

1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。

五、教学过程

（一）、问题引入

1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？

2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？

3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。

（二）讲授新课

1、向量的概念

练习1 对于下列各量：

①质量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨体积 ⑩温度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的几何表示

请表示一个竖直向下、大小为5N的力，和一个水平向左、大小为8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？

（1）有向线段及有向线段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，记作＿＿＿＿；（5）单位向量

练习2 边长为6的等边△ABC中，＝＿＿，与 相等的还有哪些？

总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量与共线向量（1）相等向量的定义（2）共线向量的定义

六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记

第四篇：平面向量教案

平面向量教案

课

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二、复习要求

、向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运算图形语言符号语言坐标语言

加法与减法

=

-=

记=,=

则=

-==

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈R记=

则λ=两个向量

的数量积

·=||||

cos<,>

记=,=

则·=x1x2y1y2

3、运算律

加法:=,=

实数与向量的乘积:λ=λλ;=λμ,λ=

两个向量的数量积:·=·;·=·=λ,·=··

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对一一对应,称为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义为向量的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A,则=;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A,B,则=

两个向量平行的充要条件

符号语言:若∥,≠,则=λ

坐标语言为:设=,=,则∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

两个向量垂直的充要条件

符号语言:⊥·=0

坐标语言:设=,=,则⊥x1x2y1y2=0

线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设P,P1,P2

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式: ，实际上,对于起点相同,终点共线三个向量，,总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

平移公式:

①点平移公式,如果点P按=平移至P',则

分别称,为旧、新坐标,为平移法则

在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标

②图形平移:设曲线c:y=f按=平移,则平移后曲线c'对应的解析式为y-k=f

当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移

利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理变形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。

四、典型例题

例

1、如图，为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。

分析:

以,为邻边,为对角线构造平行四边形

把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0

则=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc边上的高为AD,求点D和向量坐标。

分析:

用解方程组思想

设D,则=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求与向量=,-1)和=夹角相等,且模为的向量的坐标。

分析:

用解方程组思想

法一:设=,则·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:从分析形的特征着手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB为等腰直角三角形,如图

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c为AB中点

∴c

说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。

例

4、在△oAB的边oA、oB上分别取点m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与Bm交于点P,记=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共线

∴记=s

∴①

同理,记

∴=②

∵,不共线

∴由①②得解之得:

∴

说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。

例

5、已知长方形ABcD,AB=3,Bc=2,E为Bc中点,P为AB上一点

利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;

若∠PED=450,求证:P、D、c、E四点共圆。

分析:

利用坐标系可以确定点P位置

如图,建立平面直角坐标系

则c,D,E

设P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴点P为靠近点A的AB三等分处

当∠PED=450时,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四点共圆

说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。

同步练习

选择题、平面内三点A,B,c,若∥,则x的值为:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c点满足,连Dc并延长至E,使||=||,则点E坐标为:

A、B、c、D、或

2、点沿向量平移到,则点沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,则此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等边三角形D、以上均有可能

5、设，是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:

①-=0

②||-||<|-|

③-不与垂直

④·=9||2-4|2中，真命题是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,则∠c度数是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在

A、∠AoB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上

c、AB边所在直线上D、AB边的中线上

8、正方形PQRS对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且=,=,则=

A、B、c、D、填空题

9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。

1、设,是两个单位向量,它们夹角为600，则·=____________。

2、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。

解答题

3、设=,=,⊥,∥,试求满足=的的坐

14、若=,-=,求、及与夹角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。

参考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 课

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A

第五篇：平面向量教案

平面向量的综合应用 执教人： 执教人：易燕子
考纲要求： “从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使 考纲要求：
对数学基础知识的考查达到必要的深度”。向量以其独特的数形结合和坐标运算，成为衔接代数与几何的最佳纽带，故以向量知识与三角函数、解析几何、数列、不等式等多项内容的交汇作为设计综合性试题考查考生的综合能力，是高考的一 个热点，也是重点。教学目标（1）进一步理解平面向量的有关知识； 教学目标：（2）了解在平面向量与其他知识交汇点设计试题的几种形式；（3）能综合运用平面向量和相关知识解决问题。教学重点： 教学重点：平面向量与其他知识的相互联系。教学难点： 教学难点：平面向量与其他知识的相互转化。

评述：通过平面向量的运算得出二次不等式，利用恒成立解决。

“ 训练：（2010 北京）a、b 为非零向量，a ⊥ b ”是“函数 f(x)=(xa + b) xb − a)为一次(函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 四．与三角知识的交汇 例 4．（2009 湖北）已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(− 1,0)（1）求向量 b + c 的长度的最大值；（2）设 a =

r

r

r

r

r

r

r r

r r

π

4

，且 a ⊥(b + c)，求 cos β 的值.

r

r r

教学设计： 教学设计：
一．与集合的交汇 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R}，Q = {b | b =(1,1)+ n(−1,1), n ∈ R} 是两个向量集合，则 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝(B.｛ 〔-1，1〕 ｝)C.｛ 〔1，0〕 ｝

r r

r r

评述：以平面向量(三角函数)为载体，与三角函数(平面向量)的交叉与综合，是高考命题的一个 重要考点，其解法是利用向量的数量积和模的概念等脱去向量的“外衣”，转化为三角函数问 题，即可解决。训练：（2009 江苏）设向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , −4 sin β)（1）若 a 与 b − 2c 垂直，求 tan(α + β)的值；（2）求 | b + c | 的最大值；

r

r

r

D.｛ 〔0，1〕 ｝

r

r

r

r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0，且 PA • PB = PB • PC = PC • PA, 则点 O，N，P 依 次是 ∆ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心

变式：若将 Q 集合中的 n 改为 m，结果又如何呢？ 评述：借助平面向量的坐标运算，把集合的交集运算转化为向量相等，考查了方程思想和等价 转化的思想。二．与平面几何的交汇 例 2.（2009 宁夏海南）已知 O，N，P 在 ∆ABC 所在平面内，且

r r

（3