11.1平面内点的坐标教案(2课时)大全

第一篇：11.1平面内点的坐标教案(2课时)大全

11．1平面上点的坐标（（2）上电影院看电影，电影票上至少要有几个数据才能确定你的位置？（3）在教室里，怎样确定一个同学的位置？

（二）观察交流，构建新知

观察、交流、思考，回答教科书

引导观察：如左图中点P可以这样表示：由P 向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是-2，点P向y轴作垂线，垂足N在y轴的坐标是3，于是就说点P的横坐标是-2，纵坐标3，把横坐标写在纵坐标前面记作（-2，3），即P点坐标（-2，3）。引导练习：写出点A、B、C的坐标。学生相互交流，得出正确答案。(强调点的坐标的有序性和正确规范书写)教师提问：已知平面内任意一点，可以写出它的坐标；反之，给出一点的坐标，你能在上图中描出吗？

试一试：D（1，3）E（-3，2）F（-4，-1）（注意引导学生进行逆向思维）

教师提问：请同学们想一想：原点O的坐标、x轴和y轴上的点坐标有什么特点？

学生发现：O点坐标（0，0），x轴上点的纵坐标为0，y轴上点横坐标为0。试一试：描点：G（0，1），H（1，0）（注意区别）

（三）观察思考，探究规律

教师讲解：两条坐标轴把坐标平面分成四个部分：右上部分叫

2、能在直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标。坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的。

3、掌握象限点、x轴及y轴上点的坐标的特征：

12．1平面上点的坐标（(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？(2)关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？

教师指出：①关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数（简记“横等纵反”）；关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等（横反 纵等）；关于原点对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数（横反纵反）。（紧 密结合图形进行讲解）；

思考3： 在直角坐标平面内，(1)

1、点A(m-1,2m)在

第二篇：平面向量的坐标运算教案1[定稿]

平面向量的坐标运算教案1

教学目标

1．理解平面向量的坐标表示方法，包括起点是坐标原点的向量坐标表示法，起点不是坐标原点的向量坐标表示法、相等向量的坐标表示法．

2．掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示法．

教学重点和难点

重点：平面向量的坐标表示法，特别是起点不是坐标原点的向量坐标表示法．平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标运算．

难点：起点不是坐标原点的向量的坐标表示．

教学过程设计

(一)复习近平面向量的基本定理：

如果一向量、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任

＝λ

1，有且只有一对实数λ

1、λ2，使、λ

2．这里、表示这一平面内的一组基底．平面向量的基本定理说明：同一平面内任一向量都可沿两个不共线的基底进行分解．

(二)导入新课

1．平面向量的坐标表示

在直角坐标平面内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，由平面向量基本定理，对平面内任一向量对实数x，y，使

＝、，有且只有一

x＋y．我们把(x，y)叫向量

在y轴上的坐标．的(直角)坐标．其中x叫在x轴上的坐标．y叫 ＝(x，y)叫向量的坐标表示．

(1)目前我们已掌握了向量的三种表示方法：

表示法是向量的代数表示法，它有利于向量的运算．

(2)根据向量可以平移的观点，平面内与向量相等的向量的坐标也为(x，y)．

(3)显然： ＝(1，0)，＝(0，1)，＝(0，0)．

(4)在坐标平面内设＝x＋y，向量的坐标为(x，y)，这就是点A的坐标，反过来点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示．

(5)设A点的坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)

2．平面向量的坐标运算

(Ⅰ)向量的加法：已知向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．两向量的和：

＋＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)

＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．

(Ⅱ)向量的减法：已知向量差：

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．两向量的 －＝(x1＋y1)－(x2＋y2)

＝(x1－x2)＋(y1－y2)．

＝(x，y)和实数λ．

(Ⅲ)实数与向量的积：已知向量

λ＝λ(x＋y)＝λx，λy．

(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

(2)根据向量差的坐标运算，我们可以得到起点不是原点的向量的坐标表示．

设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)．

求向量的坐标．

作向量、． ＝－．即＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．

由此得到：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．

(三)学生课堂练习(黑板板演，加课堂练习)

1．课本练习3．已知A、B两点的坐标，求、的坐标．

(1)＝(3，4)，＝(－3，－4)．(2)＝(9，－1)，＝(－9，1)．

(3)5，0)．

2．课本练习1

(1)+＝(3，6)，－=(7，－5)

－

=(－7，2)．(2)

+

=(1，11)，＝(0，2)，＝(0，－2)．(4)

＝(5，0)，＝(－

(3)+＝(0，0)，－＝(3，－4)．

3．课本练习2 －

24．课本练习4

∴ AB∥CD．

+

4＝(4，6)．(4)+=(3，4)，－

＝(－6，－8)，4+3＝(12，5)．

＝

．

＝(1，－1)，＝(1，－1)，(四)教师讲解例题，巩固提高

例1 已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求顶点D的坐标．

分析：平行四边形ABCD中，＝

．由此来确定D点的坐标．

解：设D点坐标为(x，y)．

＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．

由＝．(1,2)＝(3－x，4－y)．

∴D点坐标为(2，2)．

例2 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，以为一组基底来表示

分析：向量＋＋＝λ

＋

1、＋＋+λ

2＋． 的坐标可求出，、的坐标可求出．设

．可求出λ

1、λ2．

＝(－4，2)，＝(－5，1)．

解： ＋ ＝(－3，5)，＋

＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．

＝(2，4)． ＝(1，3)，＋＋＝λ

1＋λ

2，(－12，8)＝λ1(1，3)＋λ2(2，4)＝(λ1＋2λ2，3λ1＋4λ2)．

∴ ＋

＋

＝

32－22

．

(五)小结：教师总结重点内容

1．向量的坐标表示

＝(x，y)．

2．起点不是原点的向量的坐标求法，A(xA，yA)，B(xB，yB)，(xB－xA，yB－yA)．

＝

一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

3．向量的坐标运算

＋

＝(x1，y1)，－

＝(x2，y2)．

＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(λx1，λy1)．

(x1－x2，y1－y2)．

λ·

(六)作业习题5．4 1、2、3、4、5．

第三篇：平面构成的点.线.面 2课时

教案设计

平面构成的点.线.面 2课时

主讲人:黄锦芳

一．教学目标

认知：理解平面构成的概念、意义、用途及方法。

操作：按平面构成的要求设计一种构成练习。

情感：体会平面构成的形式美、秩序美。

创造：设计出具有个性的基本形和构成形式。

二．教学重点难点

l．重点： 主要掌握点.线.面的性格特征和构成形式的设计。

2．难点： 如何启发学生运用创造性思维，进行平面构成的设计

三．达标规程

构成概念;造型元素;基本形态;性格特征 综合构成

四.教学方法

举例法 对比感受法 实践操作法

五.教学准备

师：1．收集平面构成在生活中的应用实例、实物、以前学生的优秀作

2．绘制平面构成范画

3．绘制自然界有关生物体的综合构成

生：1．收集生活中点.线.面的实例.2．准备铅笔、圆规、三角尺。

六.教材分析

本节课是为学生学习和体会造型元素规律而设置的，是一种形式美感的训练，设 计才能的训练，让学生体会平面构成的美感。

七．教学指向

认识——练习——欣赏——综合练习

八.教学过程

(一)导入新课（5分钟）

根据唐诗“大漠孤烟直，长河落日圆。”让学生展开想象，抽几位学生上黑板，用点、线、面概括地表现景色。

教师总结：这种用点、线、面抽象形态构成的图形就叫平面构成。(二)实践操作:（5分钟）

利用同学刚才设计的平面构成进行点评,修改成一幅具有特色的平面构成作品,并且引导同学对造型元素的关注!师:我们刚才的作品中,同学们找出下看看有什么形状!生:不规则形.线..曲线.三角形.菱形等)师:是的,刚才我们运用很多形体,用平面构成元素说就是点.线.面.构成了一幅理想的作品.主要是对他们的特征进行了解剖,才能表现如此生动熟!即使是一条线.一个点.同学们想不想也能拥有如此高超的技巧呢?让我们一起来学习造型元素吧!(三)造型元素(点.线.面)(板书)1.点（23分钟）.1点的形态

(1)分为有规则形(圆点.方形点.长方形点.椭圆形等)(2)无规则形(不受几何形体的约束)1.2点在生活中的运用(乒乓球.珠子.篮球.眼睛.嘴巴.月亮等)1.3点的构成

把同学分成四大组,让同学们讨论以下几张图片,给我们的感受怎样,并且派代表说出他们的组织形式!看哪一组表达得最到位!(1)

(2)(3)

(4)

(5)

(6)

解说备注:(1)不同大小、疏密的混合排列，使之成为一种散点式的构成形式 ,具有自由活泼的特性.(2)将大小一致的点按一定的方向进行有规律的排列，给人的视觉留下一种由点 的移动而产生线化的感觉。给人稳定.严肃的视觉感觉

(3)以由大到小的点按一定的轨迹、方向进行变化,使之产生一种优美的韵律感。(4)把点以大小不同的形式,既密集、又分散的进行有目的的排列,产生点的面化感觉。

(5)将大小一致的点以相对的方向,逐渐重合,产生微妙的动态视觉。(6)不规则点的视觉效果。1.3 学生练习:

除了上面点的组织形态,同学们是不是还能组织其他视觉不一样的效果呢!总结: 通过我们对他们的图片分析,点的练习,了解到了由点组合的作品具有静态感.动态感.线感.面感.远近感.缩涨感,视觉错误感等,合理的运用点的构成,能丰富点的艺术语言!2.线(重点)(板书)（27分钟）线定义—线是点的动轨迹所形成的.(板书)从生活中举例说明:1.雨滴快速落下

2.运动的乒乓球

3.投篮的轨迹

4.学生队伍

(由学生队伍的变化直线,曲线.垂直线.斜线等引入到线的变化)2.1线的形态(板书)(1)直线(水平线.垂直线.斜线.折线等)(2)曲线(圆线.抛物线.双曲线.弧线等)2.2线的性格特征:

(播放几种音乐片段让学生体会其中韵律,并且用线来表达.)学生活动(略)教师讲解: 1.2.3.4.5.6.水平线

:平静.力量.开阔.坚定.稳定等 垂直线

:庄重.肃穆.挺立.向上等 斜线

:不安定.危险.动荡等 折线

:起伏.焦躁.动荡等 曲线

:动感.弹力.柔等

自由曲线:自然流动.随意轻快.轻盈等 总结:每一种线都有它自己独特的性格特征,合理的运用它特征给我们生活带来意想不到的惊喜!2.3线的生活运用:(板书)老师出题,学生回答

1.胖的人应该穿横条纹的衣服还是竖条纹的衣服.2.方形脸的女人应该作直发还是卷发,男人呢? 3.如果用圆形和三角形和方形来表现男人和女人你会选择哪个? 2.4线的构成

师:摆出几种直线,让同学想像延伸,自己构成.(提示:宽度.等距.疏密等)然后得出总结:(1)线排列（等距的密集排列）严肃整洁视觉效果

(2)疏密变化的线（按不同距离排列）透视空间的视觉效果(3)粗细变化空间,虚实空间的视觉效果

(4)错觉化的线（将原来较为规范的线条 排列作一些切换变化）(5)立体化的线

(6)不规则的线

总结:合理的运用线的特性和构成能丰富构成的视觉效果.3.面

(板书)（20分钟）3.1面的定义:面是线移动的轨迹.3.2面的形态

(板书)(1)几何形的面，表现规则、平稳、较为理性的视觉效果

(2)自然形的面，不同外形的物体以面的 形式出现后，给人以更为生动、厚实的 视觉效果(3)徒手的面

(4)有机形的面，得出柔和、自然、抽象的面的形态(5)偶然形的面，自由、活泼而富有 哲理性(6)人造形的面，较为理性的人文特点 3.3面的构成

教师:让同学回忆,方才我们所学的知识能不能构成面?又有那些呢? 学生:能.他有以下几种(1)点的面化

(相对论)(2).线的面化.密集排列.纵横交错.(相对论)(3).实面与虚面.4.点.线.面的综合构成定义

(板书)（4分钟）

5．欣赏作品（情感表达 形式表现 故事背景）

（6分钟）

（延伸课题）练习布置: 点.线.面综合构成作业两张.分别已”宁静”,”喧闹”为内容.要求:1.规格:20CM*20CM

2.注意形的长短.位置.方向.数量.明暗.空间等因素

6．总结：通过对平面设计点 线 面设计造型元素的学习，同学们掌握了一定的知识和造型元素的个性特征，能比较灵活处理整与局部的关系！为今后的构成学习奠基了基础！九．学生练习，教师辅导。十．达标测评和小结

概括本课内容，强调点 线 面的个性特征，挑选一部分作品作展示，邀请两名学生互评，然后教师讲评。

十一．板书设计

(三)造型元素(点.线.面)1.点.1点的形态 1.2点在生活中的运用 1.3点的构成 1.3 学生练习: 2.线

2.1线的形态 2.2线的性格特征: 2.3线的生活运用 2.4线的构成

3.面

3.1面的定义:面是线移动的轨迹.3.2面的形态 3.3面的构成

4.点.线.面的综合构成定义 5．欣赏作品（延伸课题）

第四篇：平面向量的坐标表示教案范文

平面向量共线的坐标表示

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).2．平面向量的坐标运算 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

二、讲解新课：

a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中ba.x1x2由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0

yy21探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵b0∴x2，y2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成y1y2∵x1，x2有可能为0 x1x2(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b0)ab

x1y2x2y10

三、讲解范例：

例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，求x

解：∵a=(-1，x)与b=(-x，2)共线∴(-1)×2-x•(-x)=0 a∴x=±2∵与b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×60 ∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD

四、课堂练习：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结

第五篇：平面向量的坐标运算 教案

平面向量的坐标运算 教案

一、教学目标

1、知识与技能：

掌握平面向量的坐标运算；

2、过程与方法：

通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。3情感态度与价值观：

学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。

二、教学重点与难点

教学重点：平面向量的坐标运算。

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确.三、教学设想

（一）导入新课

思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？

思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗? ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论? 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

图1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量AB的模与向量OP的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: |AB|=|OP|=(x1x2)2(y1y2)2.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题

①如何用坐标表示两个共线向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y2是向量a、b共线的什么条件? x1x2活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2), xx2,即1消去λ后得x1y2-x2y1=0.y1y2.这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与

y1y2是不等价的.因x1x2为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy2均无意义.因此12是向量a、bx1x2x1x2共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题

a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb, 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，x1x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.y1y2.讨论结果:a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.教师应向学生特别提醒感悟: 1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成y1y2(∵x1、x2有可能为0).x1x2ab3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0)

x1y2x2y10.（三）应用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全国高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b„()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

图2 例2 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得13x,(1,2)=(3-x,4-y).∴

24x.x2,∴ y2.∴顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知

BDBAADBABC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练

图3 如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直线AB、直线AC有公共点A, ∴A、B、C三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当

P1P=λPP2时,点P的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，x1x2x,xx1(x2x)1即 yy1(y2y)yy1y2.1这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4 解:(1)如图4,由向量的线性运算可知

xx2y1y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以点P的坐标是（x1x2y1y2,.)22(2)如图5,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

图5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1x22y1y2,).332x1x22y1y2,).33即点P的坐标是(同理,如果

x2x2y12y2P1P,.=2,那么点P的坐标是133PP2点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练

在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.解:(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上, 设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得

3xy50,0, 22∴x=-3,y=-5, 即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+tAB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).3t1021若点P在第二象限,则t

333t2021,).33点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.变式训练 故t的取值范围是(已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范围.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范围是［2,6］.222 7

（四）课堂小结

1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.（五）作业