表示商品品质的方法教案

第一篇：表示商品品质的方法教案

货物品质的表示方法

一、表示商品品质的方法：

（一）以样品表示商品品质 1.看货买卖

多用于寄售、拍卖和展卖业务中 2.凭样品买卖（Sale by sample）

（1）凭卖方样品成交(Sale by seller’s Sample)由卖方提供样品作为交货的品质依据。卖方提供的样品要具有代表性

卖方向买方寄出样品时，要保留“复样”（Duplicate Sample）或“留样”（Keep Sample）（2）凭买方样品成交（来样成交或来样制作）由买方提供样品作为交货的品质依据。

卖方要制作“对等样品”（Counter Sample）或“确认样品”（Confirming Sample）或“回样”（Return Sample）

卖方根据买方提供的样品加工复制出一个类似的样品交买方确认，这个经确认的样品叫对等样。

对工业产权问题做出规定（3）凭样品成交需注意的问题：

案例分析：我与越南某客商凭样品成交达成一笔出口镰刀的交易。合同中规定复验有效期为货物到达目的港后的60天。货物到目的港经越商复验后，未提出任何异议。但事隔半年，越商来电称：镰刀全部生锈，只能降价出售，越商因此要求我方按成交价格的40%赔偿其损失。我方接电后立即查看我方留存的复样，也发现类似情况。问：我方应否同意对方的要求，为什么？

（二）凭文字说明表示商品质量 1.凭规格买卖（Sale by specification）

凭规格买卖的技巧：卖方只需在合同中列入主要指标，而对商品品质不起重大影响的次要指标不要过多罗列。

例：我国出口大豆的规格：水分(max)15%，含油量(min)17%，杂质(max)1%，不完善粒(max)7% 2.凭等级买卖（Sale by grade)卖方应按规定等级交货,不能以次充好,也不能以好充次 3.凭标准买卖（Sale by standard）援引某个标准时，应载明采用的版本年份 FAQ（Fair Average Quality）良好平均品质：

某年度内的中等货或某季度、某装船月份的中等货，俗称“大路货”。(适用于农副产品)GMQ（上好可销品质）(Good Merchantable Quality)（适用于木材、冷冻鱼虾等商品。标准的内容：DIN BSI GB ISO ISO9000标准系列

4.凭说明书和图样买卖（Sale by descriptions and illustrations）5.凭商标或牌号买卖（Sale by trade mark or brand name）6.凭产地名称买卖（Sale by name of origin）

二、品质条款的规定

（一）可规定一定的品质机动幅度（Quality Latitude）1.交货品质与样品大致相同或类似条款 2.品质公差（Quality Tolerance）3.品质机动幅度(适用于初级产品)当使用品质机动幅度时，为体现按质论价，对农副产品可订立品质增减价条款。

（二）正确运用各种表示品质的方法

能用一种方法表示品质的，一般不要用两种或两种以上的方法来表示

案例分析：我某公司出口纺织原料一批，合同规定水分最高15%，杂质不超过3%，但在成交前曾向买方寄过样品，订约后，我方又电告对方成交货物与样品相似。货到后，买方提出货物的质量比样品低7%的检验证明，并要求我方赔偿损失。问：我方是否该赔？为什么？

（三）品质条件要有科学性和合理性 要从实际生产能力出发确定品质 用词不要绝对化（卖方）必要时，应结合检验条款订立

第二篇：国际贸易合同、交易的磋商程序和商品品质表示方法

国际贸易合同与交易的磋商程序

一 国际贸易合同的成立

构成一项有效的国际贸易合同的必要条件：

（一）合同中的标和内容必须是合法的（二）当事人双方应具有法律行为的资格和能力

如果当事人是“自然人”，必须是公民。未成年人对达成的合同可不负合同的法律责任，精神病患者和醉汉，在发病期和神志不清时达成的合同，也可免去合同的法律责任，如果当事人是“法人”，则认为人应该是企业的代表。非企业负责人代表企业达成合同时，一般应有授权证明书或类似文件。

（三）必须是当事人双方在自愿基础上一致同意的（四）合同必须有对价或合法的约因

对价和约因属于法律范畴的概念。对价（Consideration）是英美法系的一种制度，是指合同当事人之间所提供的相互给付（Counterpart），即双方互为有偿。国际货物买卖合同是双方合同，有偿的交换是国际货物买卖合同的性质所决定的，双方都拥有权利，又都承担义务，卖方交货是为了取得买方支付的货款，买方支付货款是为了得到卖方提交的货物。买方付款和卖方交货就是双方的相互给付，就是买卖合同中的对价。约因（Cause）是法国法所强制的，它是指当事人签订合同所追求的直接目的。买卖合同只有在对价或约因的情况下，才是有效的，否则得不到法律的保护。

（五）合同的形式必须符合法律规定的要求

二 交易的磋商程序

在进出口业务中，交易磋商的程序一般包括询盘、发盘、还盘、接受四个环节。其中，发盘和接受是达成交易不可缺少的两个基本环节或法律步骤。当一项有效的发盘被对方有效地接受，交易即告达成，就可签订书面合同。

（一）询盘（Inquiry）

询盘又称询价，是交易的一方欲购买或出售某种商品，向另一方询问买卖该项商品的各种交易条件。询盘可通过口头或书面两种形式来表示。卖方询盘又称邀请递价（Invitation to make a bid），买方询盘又称邀请发盘（Invitation to make an offer）。

买方询盘：bookable可预订的 northeast soybean 100m/t please cable lowest price earliest delivery（递送交货 发送）拟订购东北大豆100公吨，请电告最低价格最快交货期

卖方询盘：can supply northeast soybean march shipment cable if interested 可供中国东北大豆，3月份装运，如兴趣请电告

（二）发盘（Offer）

发盘又称发价，是卖方或买方向对方提出一定的交易条

件，并愿意按照这些条件与对方达成交易、订立合同的一种表示。

发盘人offeror受盘人offeree

递盘（Bid）又称购货发盘或买方发盘（Buying Offer）。报盘又称售货发盘或卖方发盘（Selling Offer）。构成一项有效发盘的条件

一项有效发盘应具备如下几个条件：

（1）发盘必须是向一个或一个以上特定的人提出。

（2）清楚地表明愿按发盘内容订立合同的意旨。

（3）主要交易条件是十分肯定的。

（4）送达受盘人。发盘的有效期

如未规定时间，在一段合理的时间内，未曾送到发价人，接受就成为无效。但须适当地考虑到交易的情况，包括发价人所使用的通讯方法的迅速程度。

Offer subject reply may tenth 发盘限5月10日复

Offer valid till may tenth our time 发盘有效至5月10日我方时间

Offer reply in ten days发盘10日内复发盘的撤销和撤回

在发盘有效期内，发盘人不得撤销发盘。订有具体有效期的发盘，在有效期内不能撤销。撤销是指在发盘生效之后，发盘人以一定方式解除发盘的效力。而撤回则是指发盘未生效，发盘人采取行动，阻止其生效。

（三）还盘（Counter Offer）

还盘是指受盘人收到发盘之后，对其内容不完全同意，为了进一步磋商交易，向发盘人提出修改建议或一定限制性的意见，这种口头或书面的表示就是还盘，又称之为还价。

（四）接受acceptance

Yours fifiteenth we accepted 你15日电收悉。我接受

Yours fifiteenth confirmed please advise contract number 你15日电确认，请告合同号码

逾期接受late acceptance

商品的名称 name of commodity

商品的品质 Quality of goods

三 规定品名条款须注意的问题

（1）必须做到内容明确、具体，文字的表达应能确切反映标的物的特点。

（2）必须实事求是，标的物的具体描述一定要切实反映商品的实际情况。

（3）应尽可能使用国际上的通用的名称。

（4）恰当选择商品的不同名称。

（5）必须考虑品名与运费的关系。

四 商品品质的表示方法

（一）实物表示法看货买卖（Sale by Quality）凭样品买卖（Sale by Sample）

（二）文字说明表示法（Sale by Description）凭规格、等级或标准买卖（Sale by Specification、Grade or Standard）凭商标或牌名买卖凭产地名称买卖凭说明书买卖

良好平均品质（fair average quality）FAQ是指一定时期内某地出口商品的平均品质水平，一般指中等货,中等品。

五品质条款gallon

品质的机动幅度:允许卖方所交货物的品质指标在一定幅度内有所灵活。

最大maximummax最小minimummin

品质公差：允许卖方的交货品质可高于或低于一定品质规格的误差。

六 商品的数量

数量条款quantity clause

重量的计算方法：按毛重gross weight

按净重 net weight

按公量计算

公量=商品干量*（1+标准回潮率）

数量机动幅度溢短装条款more or less clause

允许卖方实际交货的数量按一定幅度比合同中的规定的数量多装或少装。

七 包装标志

运输标志shipping mark

俗称唛头，由简单的几何图形，字母数字及简单文字组成 指示性标志 indicative mark

This side up

Handle with care

Keep dry

Protect from heat

Open here

警告性标志warning mark

Exporttrade出口贸易

Importtrade进口贸易

joint ventures合资企业

investment投资

第三篇：函数及其表示方法教案

函数及其表示方法

一、目标认知

学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情

境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

1.函数的三种表示法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

知识点

二、映射与函数 1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则t1

ft,f22

2x1x;

2

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x-4x+3.2

【变式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

2，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4

总结升华：求函数解析式常用方法：

f[f(-1)]=f(4)=16.；

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象. yx2

y2x4x30x2 3

思路点拨：1.首先取不同的点，在图像上描出，用一条平滑的线连接各点。

（1）yx22x2x22xx2为分段函数，图象是两条射线；

（2）y2x4x30x3图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：

分段函数：

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.1x0

【变式1】已知fxx0，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.x1x0

解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=； 10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，20x535x10xN 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y410x15515x19

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；

Ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）

采用第二种方式：200=0.6x，x333

∴应采用第一种(全球通)方式.已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()

A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有两个原 C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A与B必须是非空的数 1x1x

已知f，求f(x)的解析式。21x1x1x1x 解：观察已知函数 f

21x1x1y11y1y11y2x1x213（分钟）

222我们可以先令y1x1x，则x1y1y。所以fy2。从而化简得出fy2y1y2，在令y=x，则就可以得出fx。

总结升华：

(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.

第四篇：函数及其表示方法教案

§1.1集合及其表示法 教学目标 知识与技能目标：

（1）使学生初步了解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义。

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义。（4）.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.（5）通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

过程与方法目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，学会抽象概括和运用逻辑思维的习惯。

（4）通过集合两种表示方法的相互转化培养学生的抽象概括和逻辑思维能力

情感态度与价值观目标：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：集合的基本概念及表示方法。

教学难点：运用集合的常用表示方法，正确表示一些简单的集合。授课方法：讲授法 教学过程： 一．集合的概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东

西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.在本书，一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

3.集合的正例和反例

（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}

我们班的男同学；我们班的团员；

（2）“好心的人”，“著名的数学家”，“我们班级中的高个子同学”……这类对象一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准。{1，1，2}由于出现重复元素，也不是集合的正确表示。

4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺

5.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表

示；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 例如：1∈{1，2，3}； 2.5{1，2，3} 6．常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 例如：1∈Z，1.2Z，0∈N； 例题1：课本P7 7． 有限集和无限集的概念

自然数集N，{1，2，3，4，5，„„}；{x|2x-3>0}；{钝角三角形}，„„；

无限集：含有无限个元素的集合。有限集：含有有限个元素的集合。{x/x=3 },{我们班的全体同学}，{我们班中年龄小于10岁的同学} 空集：规定空集，不含元素。记作； 二．集合的表示方法

问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3,2,-0.5, 方法1: 方法2: {4.8,2,1,+73,3.1 31,+73,3.1} 3 问题2：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示为:x<3）

问题1中，方法1为图示法，方法2为列举法.1.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开； 一般不必考虑元素之间的顺序；

(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；

例1．用列举法表示下列集合：

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(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)从51到100的所有整数的集合；(4)小于10的所有自然数组成的集合；(5)方程xx的所有实数根组成的集合；(6)由1~20以内的所有质数组成的集合。

问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。

表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则xA；若xA,则x具有性质p。

说明:(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；(2)应防止集合表示中的一些错误。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示R。

例2．用描述法表示下列集合：(1)由适合x-x-2>0的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)抛物线y=x上的点;(4)抛物线y=x上点的横坐标;(5)抛物线y=x上点的纵坐标;例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x20的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

（二）集合的分类

例4．观察下列三个集合的元素个数

1.{4.8, 7.3, 3.1,-9};2.{xR∣0

有限集:含有有限个元素的集合集合的分类无限集:含有无限个元素的集合

空集:不含有任何元素的集合(emptyset)

（三）文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下： 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：

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表示任意一个集合A 表示{3，9，27} 说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三．课堂练习一 例1.用“”或者“”填空 0 N 0 Z

2 Z 1* N 2 R 2 例2.用适当的方法表示下列集合：

(1)大于0且不超过6的全体奇数组成的集合；(2)被3除余1的自然数全体组成的结合；(3)方程组xy5的解集； xy1(4)直角坐标系内第一象限的点组成的集合.四．课堂练习二

1.元素与集合的关系用符号表示：

①a属于集合A___________；②a不属于集合A___________.2.常用数集记法：

字母N表示______________；用_______表示正整数集；Z表示_____________；用______ 表示有理数集；R表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合，记作______________.第4 / 6页

4.集合常用的表示方法有 和.【基础训练】

1.列举法表示下列集合：(1)10以内的质数组成的集合.(2){y|yx21,1x3,xZ} 2.已知M为所有大于2且小于1的实数组成的集合，则下列关系式正确的是（M

B.M C.1M D. 2M 3.下列写法正确的是（）

A.0{(0,1)};B.1{(0,1)};C.(0,1){(0,1)};D.(0,1){0,1}.4.在平面直角坐标系中画出集合{(x,y)|xy0,xR,yR}内的点所在的区域.5.用适当的方法表示下列集合：(1)关于x的方程x2ax20,aR的解集;(2)两直线y2x1和yx2的交点组成的集合.6.方程(x2)3(x1)(x3)(x4)0的解集含有________个元素.7.已知方程ax2ax10的解集是空集，则实数a的取值范围是___________.【巩固提高】

8.已知集合A{2,(a1)2,a23a3}，且1A，求实数a的值.9.已知集合M含有三个元素0,1,x(xR)，且x2M，求实数x的值.(选做)10.(1)已知方程x2px40的解集是A，且6A，）

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求实数p的值；

(2)已知方程x2pxq0的解集是{6}，求实数p,q的值.【课堂例题答案】 例1.;;;;;

例2.(1){1,3,5};(2){x|x3k1,kN};(3){(x,y)|(4){(x,y)|x0,y0,xR,yR} 【知识再现答案】 1.aA;aA 2.自然数集；N或Z；整数集；Q；实数集 *xy5}或者{(2,3)} xy1

3.元素； 4.列举法；描述法 【习题答案】

1.(1){2,3,5,7};(2){1,0,3} 2.D 3.C 4.第一、三象限及坐标轴 y 阴影区域，含边界 a

5.(1)

当a{}；当a

a

；

2当a时， 6.4 7.0a4 8.a1或0 9.x1 10.(1)p 20;(2)p12,q36 3

第五篇：函数及其表示方法教案

函数及其表示方法

一、目标认知 学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点:

函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．

难点:

对函数符号yf(x)的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

知识点

一、函数的概念

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：yf(x)，xA．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]； ；

.； 知识点

二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点

三、映射与函数 1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.三、规律方法指导 1.函数定义域的求法

(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象

对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析

类型

一、函数概念

(1)1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(不同)

(2)

(不同)

(3)

(4)

(相同)

(相同)

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则法则，其中核心是对应，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：

【变式1】判断下列命题的真假

(1)y=x-1与

(2)

(3)

是同一函数；

与y=|x|是同一函数；

是同一函数；

(4)

与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；

(2)；

(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)

；

(2)；

(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．

解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；

(2)要使函数有意义，须使

所以函数的定义域是

；，(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3³32+5³3-2=27+15-2=40；

举一反三：

；

.；

【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，f()的值；

(3)当a＞0时，求f(a)³f(a-1)的值.2

3解：(1)由；

(2)；

；

(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))

思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．

解：(1)f(2)=2³22-3³2-25=-23；g(2)=2³2-5=-1；

(2)f(g(2))=f(-1)=2³(-1)2-3³(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2³(-23)-5=-51；

(3)f(g(x))=f(2x-5)=2³(2x-5)2-3³(2x-5)-25=8x2-46x+40；

g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2³(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4.求值域(用区间表示)：

(1)y=x2-2x+4；

思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；

.(2)；

(3)；

(4)1)∪(1，+∞).，∴函数的值域为(-∞，类型

二、映射与函数

5.下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?

(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；

(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；

(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．

思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．

解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为

A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；

(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与

之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；

(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无

数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正

三角形便可成为映射．

总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．

举一反三：

【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则

②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；

③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；

④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？

(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；

(2)A中的某个元素在B中可以没有象；

(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；

(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；

(5)B中的元素在A中都有原象；

(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？

(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；

(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；

(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；

(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；

(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6.已知A=R，B={(x，y)|x，yR}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素

解：

∴A中元素的象为的象，B中元素的原象.故.举一反三：

【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中

(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？

(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？

解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为

；

又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；

(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；

又因为由

有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型

三、函数的表示方法

7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则

；

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：

【变式1】(1)已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；

(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax2+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

；

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2²(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.(1)8.作出下列函数的图象.；

(2)

；

(3)；

(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；

(2)为分段函数，图象是两条射线；

(3)

(4)图象是抛物线.为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；

所作函数图象分别如图所示：

类型

四、分段函数

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2³02+1=1

f[f(-1)]=f[2³(-1)+3]=f(1)=2³12+1=3.举一反三：

【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；

f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.举一反三：

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；

Ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）

采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.学习成果测评 基础达标

一、选择题

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()

⑴，；

⑵，；

⑶，；

⑷，；

⑸，．

A．⑴、⑵

B．⑵、⑶

C．⑷

D．⑶、⑸

2．函数y=的定义域是()

A．-1≤x≤

1B．x≤-1或x≥1

C．0≤x≤1

3．函数的值域是()

A．(-∞，)∪(，+∞)

B．(-∞，)∪(，+∞)

C．R

D．(-∞，)∪(，+∞)

4．下列从集合A到集合B的对应中：

①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；

②

③

④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；

D．{-1，1}

⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|

其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是()

A． 1

B． 2

C． 3

D． 4

5．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()

A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有两个原象

C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A与B必须是非空的数集

6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象()

A．(，1)

B．(1，3)

C．(2，6)

D．(-1，-3)

7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是()

A．y=

B．y=

C．y=x

D．y=

x2

8．下列图象能够成为某个函数图象的是()

9．函数的图象与直线的公共点数目是()

A．

B．

C．或

D．或 10．已知集合和

A．中的元素对应，则

C．，且的值分别为()

D．，使

中元素

B．11．已知，若，则的值是()

A．

B．或12．为了得到函数

C．，或

D． 的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是()

A．沿轴向右平移个单位

B．沿轴向右平移个单位

C．沿轴向左平移个单位

D．沿轴向左平移

二、填空题

个单位

1．设函数则实数的取值范围是_______________．

2．函数的定义域_______________．

上的值域是_________． 的图象与x轴交于，且函数的最大值

3．函数f(x)=3x-5在区间

4．若二次函数为，则这个二次函数的表达式是_______________．

5．函数

6．函数

三、解答题 的定义域是_____________________． 的最小值是_________________．

1．求函数

2．求函数的定义域． 的值域．

3．根据下列条件，求函数的解析式：

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；

(4)已知；

(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升

一、选择题

1．设函数

A．

B．

C．，则的表达式是()

D．

2．函数

A．3

B．-3

C．

满足

D．

则常数等于()

3．已知

A．15

B．1

C．3

D．30

4．已知函数

定义域是，那么等于()，则的定义域是()

A．

5．函数

A．

B．

C． 的值域是()

D．

B．

C．

D．

6．已知，则的解析式为()

A．

二、填空题

B．

C．

D．

1．若函数

2．若函数，则，则

=_______________． =_______________．

3．函数的值域是_______________．

4．已知

5．设函数，则不等式，当的解集是_______________．

时，的值有正有负，则实数的范围________．

三、解答题

1．设是方程的两实根，当

为何值时，有最小值?求出这个最小值．

2．求下列函数的定义域

(1)

3．求下列函数的值域

；(2)．

(1)；(2)．

综合探究

1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是()

2.如图所表示的函数解析式是()

A.B.C.D.3．函数的图象是()

4.如图，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.答案与解析：

基础达标

一、选择题

1．C．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；(5)定义域不同．

2．D．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或 x≥1，∴x=±1，选D．

3．B．法一：由y=，∴x= ∴y≠，应选B．

法二：

4．C．提示：①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件．

5．D．提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．

6．A．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=，y=1，应选A．

7．C．∵0≤x≤4，∴0≤

8．C．

x≤=2，应选C．

9．C．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于

10．D．按照对应法则

而，∴，仅有一个函数值．

．，而

11．D．该分段函数的三段各自的值域为

∴

∴

．

12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即

二、填空题，左移．

1．.当，这是矛盾的；当

.2．

设

.提示：，对称轴

.3．，当

时，.4．

..5．

三、解答题

1．解：∵..6．.．，∴定义域为

2．解：∵ ∴，∴值域为

3．解：(1).提示：利用待定系数法；

(2).提示：利用待定系数法；

(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；

(4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设

；

(5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得

能力提升

一、选择题

1．B.∵

∴

；

2．B.3．A.令

4．A.；

5．C.；

6．C.令

二、填空题

1．2．.令..．

.3．..4．.当

当，∴.5．

得

三、解答题

1．解：.2．解：(1)∵∴定义域为；

(2)∵∴定义域为．

3．解：(1)∵，∴值域为；

(2)∵

∴值域为

.∴

综合探究

1.D．因为纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，所以当

时，纵轴表示家到学校的距离，不能为零，故排除A、C；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，所以刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D.2.B．本题考查函数图象与解析式之间的关系.将x=0代入选项排除A、C，将x=1代入选项排除D，故选B.3.D．.，就需准确揭示x、y之间的变化关系.依题意，4.思路点拨：要求函数的表达式可知随着直线MN的移动，点N分别落在梯形ABCD的AB、BC及CD边上，有三种情况，所以需要分类解答.解析：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，依题意，则有

(1)当M位于点H的左侧时，由于AM=x，∠BAD=45°.(2)当M位于HG之间时，由于AM=x，；

(3)当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.综上：

总结升华：

(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.