新课标数学教案·必修1_§1.2.2函数的表示法

第一篇：新课标数学教案·必修1_§1.2.2函数的表示法

课题：§1.2.2函数的表示法

教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．

教学过程：

一、引入课题

1.复习：函数的概念；

2.常用的函数表示法及各自的优点：

（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．

二、新课教学

（一）典型例题

例1．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．

分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．

解：（略）注意： 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意○判断一个图形是否是函数图象的依据； 解析法：必须注明函数的定义域； ○3 图象法：是否连线； ○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． ○巩固练习：

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课本P27练习第1题

例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：

第一次

王

伟

张

城

赵

磊

班平均分 88．2

第二次

76 65 78．3

第三次 91 88 73 85．4

第四次 92 75 72 80．3

第五次 88 86 75 75．7

第六次 95 80 82 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？ 解：（略）注意： 本例为了研究学生的学习情况，○将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点； 本例能否用解析法？为什么？ ○巩固练习： 课本P27练习第2题 例3．画出函数y = | x | ． 解：（略）

巩固练习：课本P27练习第3题 拓展练习：

任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f(|x|)的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系． 课本P27练习第3题

例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站——————————————第 2 页（共 4页）——————————————

才能停车，所以行车里程只能取整数值．

解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*| x≤19}．

由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：

20x535x10*

(xN)y

410x15515x19根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

y54321O注意： 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？ ○

5101519x

实践与拓展：

请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）

说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．

注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

三、归纳小结，强化思想

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理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．

四、作业布置

课本P28习题1．2（A组）第8—12题（B组）第2、3题

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（共

第二篇：新课标数学教案·必修1_§1.2.2 映射

课题：§1.2.2映射

教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；

（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．

教学重点：映射的概念． 教学难点：映射的概念． 教学过程：

一、引入课题

复习初中已经遇到过的对应：

1． 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

2． 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

4． 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 5． 函数的概念．

二、新课教学

1． 我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．

2． 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系

（1）开平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2； 3． 什么叫做映射？

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

记作“f：AB” 说明：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。4． 例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．

思考：

将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： BA是从集合B到集合A的映射吗？ 5． 完成课本练习

三、作业布置

补充习题

第三篇：高一数学教案函数及其表示

高一数学教案：函数及其表示 [1500字]

第一课时： 1.2.1 函数的概念

（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：

1.教学函数模型思想及函数概念：

①给出三个实例：

A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2.B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）

C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见书P17页表）

②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:A?B ③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y?f(x),x?A.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域（range）.④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？

一次函数y?ax?b(a?0)、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的定义域与值域？

⑤练习：f(x)?x2?2x?3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求y?x2?2x?3,x?{?1,0,1,2}值域.2.教学区间及写法：

① 概念：设a、b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a

{x|a≤x

② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” ③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

三、巩固练习： 1.已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)2.探究：举例日常生活中函数应用模型的实例.什么样的曲线不能作为函数的图象？

3.课堂作业：书P21 1、2题.第二课时： 1.2.1 函数的概念

（二）教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：值域求法。

教学过程：

一、复习准备：

3x21.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为x 什么？

2.用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝的定义域与值域.二、讲授新课：

1.教学函数定义域：

①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）f(x)=x?3 x2?2kx；

f(x)=x?1－x 2?x 学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

②练习：求定义域（用区间）→

f(x)

＝x?2 f(x)

x?3③小结：求定义域步骤：列不等式（组）→ 解不等式（组）

2.教学函数相同的判别：

①讨论：函数y=x、y=(x)、y=2x3 x2、y=x4、y=x2有何关系？

②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A.f(x)=(x －1)；g(x)= 1;B.f(x)= x； g(x)= x2 0 C．f(x)= x ；f(x)=(x + 1)22、D.f(x)= | x | ；

②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。

3.教学函数值域的求法：

① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x2－2x＋4；y＝

＝x?2 x?3?5；f(x)＝x2?3x?4 ；f(x)x?3 先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个

②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法

三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：f(x)?2.已知f(x+1)＝2x2－3x＋1，求f(-1)。变：f(x)?1f(x)? 1?1/xx?1，求f(f(x))x?1 解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法）解法二：先求f(x)，利用凑配法；

解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特殊值法）

3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是。

4.求函数y＝－x2＋4x－1，x∈[-1,3)在值域。

解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域

5.课堂作业：书P27 1、2、3题。

第三课时： 1.2.2 函数的表示法

（一）教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：函数的概念？函数的三要素？

2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.二、讲授新课：

1.教学函数的三种表示方法：

① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化趋势。列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值。具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表。

②出示例1.某种笔记本的单价是2元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．

师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）． ③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）.试用三种方法表示此实例

中的函数.④看书P22例4.下表是某班三位同学在高一学几次数学测试的成绩及班级平均分表：

甲

乙

丙

班平均

分 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 90 68 88．2 87 76 65 78．3 91 88 73 85．4 92 75 72 80．3 88 86 75 75．7 95 80 82 82．6 请你对这三们同学在高一学的数学学习情况做一个分析．

提问：分析什么（成绩的变化、成绩的比较）？借助什么进行分析？

小结解答步骤：分别作点→连线→观察→结论

讨论：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？ 2．教学分段函数：

①出示例2：写出函数解析式，并画出函数的图像。

邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元。每封x克（0

（学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正）

②练习：A.写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。批发x千克应付的钱数（元）。

B.画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像。

③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例

3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段

三、巩固练习：1.已知f(x)＝? 7,8，9题

第四课时：1.2.2 函数的表示法

（二）?2x?3,x?(??,0)2?2x?1,x?[0,??)，求f(0)、f[f(-1)]的值。2.作业：P27 教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念． 教学重点：映射的概念．

教学难点：理解概念。

教学过程：

一、复习准备：

1.举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2.讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3.导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.二、讲授新课：

1.教学映射概念：

① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意

A?{1,4,9}, B?{?3,?2,?1,1,2,3}，对应法则：开平方；

A?{?3,?2,?1,1,2,3}，B?{1,4,9}，对应法则：平方；

A?{30?,45?,60?

}, B?{1, 对应法则：求正弦； 2 ② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:A?B” 关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？

④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？

→ 举例一一映射的实例（一对一）

2.教学例题：

① 出示例1.探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；

A={ P | P是平面直角体系中的点}，B?{(x,y)|x?R,y?R}； A={高一某班学生}，B= ？

（师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？ → 小结：A中任意，B中唯一）

② 讨论：如果是从B到A呢？

③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x?2x?1； A?N*,B?{0,1}，对应法则f:x?x除以2得的余数；

A?N，B?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余数； 111设X?{1,2,3,4},Y?{1，,f:x?x取倒数； 234 A?{x|x?2,x?N},B?N，f:x?小于x的最大质数

3.小结：映射概念.三、巩固练习： 1.练习：书P26 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题.第五课时 1.2 函数及其表示（练习课）

教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．

教学难点：函数记号的理解.教学过程：

一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）

1.说出下列函数的定义域与值域： y? 2.已知f(x)?18； y?x2?4x?3； y?2.x?4x?33x?51，求f，f(f(3))，f(f(x)).x?

?0(x?0)?3.f(x)???(x?0)，作

出

f(x)的图

象

已，知求f(1),f(?1),f(0),f{f[f(?1)]}的值.?x?1(x?0)?

二、教学典型例题：

1.函数f(x)记号的理解与运用：

① 出示例1.已知f(x)=x?1 g(x

1求f[g(x)]（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）

② 练习：已知f(x)=x2?x+3 求： f(x+1), f(21)x 已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].③ 出示例2.若f1）?x?求f(x

分析：如何理解f1？ 如何转化为f(x））

解法一：换元法，设t?1，则??

解法二：配元法，f1）?x?1)2?1，则?? 解法三：代入法，将x用(x?1)2(x?1)代入，则?? 讨论：f(x）中，自变量x的取值范围？

1x④ 练习：若f()?，求f(x）.x1?x 2.函数应用问题：

①出示例3.中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元.若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y（元）.Ⅰ.写出y1,y2与x之间的函数关系式？ Ⅱ.2 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

（师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？ → 小结：简单函数应用模型）

1三、巩固练习：1.已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x).x 112.若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)f(x?)44 3.设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.荐荐小初学二

数数

学学

教教

案案案

[1000(800 [1000

字字

])荐生活中的数学教字] 荐人教版初一上数学教案(全册)[1500字] 荐工程数学教案(500字)

第四篇：函数的表示法教学设计

“函数的表示法”教学设计

南京师大附中 陶维林

一、内容和内容解析

函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的．同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程．

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识．在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法．函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．

解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数．

图象法的优点是，直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．

列表法的优点是，不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．

在研究函数时，根据问题的特点，往往需要同时借助几种不同的函数表示法研究函数，如同时采用解析法和图象法表示函数，加强数形结合，这是研究函数的常用方法．

分段函数是一类重要的函数．所谓分段函数，就是在同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．这类似于，同一个国家的不同地区可以实行不同的社会制度．

二、目标和目标解析

1．掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

通过具体的实例，在不同的表示法的选择、转化中，逐步学会用恰当的方法表示一个函数，逐步养成用不同方法表示一个函数的习惯，尤其是增强数与形结合的意识．

2．了解简单的分段函数，并能简单的应用．

通过具体实例（如出租车资费、邮件资费等），以及画出含绝对值函数的图象，或者求含绝对值的函数的值域，认识分段函数是一种普遍存在的函数．

3．会用列表、描点、连线的三步作图法画一些简单函数的图象，并能通过几何直观得到函数的有关信息（性质）．

三、教学问题诊断分析

1．初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方法．因此，教学中应该多给出一些具体问题，让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的．

（2）让学生用借助计算器，列表描点，画出给出解析式的函数的图象，加强各种表示法之间的联系．有条件的，可使用信息技术，利用计算机软件画出图象，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数概念及其表示法．如可补充如下函数：

上述四个函数的图象如图1所示，依次为：

图1

（3）分段函数大量存在，但比较繁琐．一方面，要加强用分段函数模型刻画实际问题的实践，另一方面，可以画含绝对值号的函数的图象，促使学生根据绝对值的意义把函数分段写出来，然后分段画出图象．还可以通过求分段函数的值域，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合．这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔．

四、教学基本流程

五、教学过程设计

1．用三种表示法表示同一个函数

我们在初中就已经知道函数的三中表示法：解析法，图象法，列表法．

问题1 某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）本笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）．（教科书第19页例3）

设计意图：通过具体例子，让学生用三种不同的表示方法来表示的同一个函数，进一步理解函数概念． 这个函数的图象由一些离散的点组成，与以前学习过的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线不同．通过本例，进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体．函数y＝5x不同于函数y＝5x（x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的图象是（连续的）直线，而后者是5个离散的点．

由此认识到：“函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等．”（教科书例3的边空）

让学生体会到三种表示方法各自的优点．为“问题2”（教科书第20页）提供一个具体的事例．

解：这个函数的定义域是{1，2，3，4，5}．（1）用解析法表示为

y＝5x，x∈｛1，2，3，4，5｝．（2）用列表法表示为

（3）用图象法表示，函数y＝f（x）的图象如图2所示．

图2

问题2（教科书第20的“思考”）

（1）比较函数的三种表示法，各自的有哪些优、缺点？

（2）所有的函数都能用解析法表示吗？举出一个函数，并分别用三种表示法表示． 设计意图：通过比较，明确各种表示法的优点；通过举例，让学生通过自己的例子说明怎样用适当的表示法来表示某些函数．

不是所有的函数都能用解析法表示，如心电图．

讨论中，还可以问学生“函数图象可以是折线吗”让学生举例说明．（如y＝|x|）问题3 图3能表示某个函数的图象吗？为什么？

图3

设计意图：这是例3边空的内容“那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？”通过讨论，进一步理解函数概念中“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”． 组织学生讨论后，归纳出判断方法“平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点”． 2．选择适当方法表示函数，以便分析其特点

问题4（教科书第20页例4）下表是高一（3）班三位同学在高一学6次数学测试的成绩及班级平均分表．

请你对这三位同学在高一学的数学学习情况做一个分析．

设计意图：这里有三个用表格法给出的函数．要“对这三位同学在高一学的数学学习情况做一个分析”不太方便，因此需要改变函数表示的方法，选择图象法比较恰当．

教学中，先不必直接把图象法告诉学生，可以让学生说说自己是如何分析的，选择了什么样的方法来表示这三个函数．通过比较各种不同的分析方法，达成共识：用图象法比较好．培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力．

能够从图象中读出哪些信息也不要直接告诉学生，让学生经过观察、思考获得结论．比如总体水平（王伟成绩好）、变化趋势（赵磊的成绩在逐步提高）、与班级平均分的比较，等等．培养学生的观察能力、获取有用信息的能力．

图4

解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况（学习情况）．如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如图4，那么就能比较直观地看到成绩变化情况．这对我们进行分析学习情况是有利的．

从图4中可以看到，王伟同学的学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况稳定，而且成绩优秀．张城同学的学习成绩不够稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度也比较大．赵磊同学的学习成绩低于班级平均水平，但是他的成绩呈上升趋势，表明他的成绩在稳步提高．

必须提醒学生，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，直观感受三个函数的图象具有整体性，也便于分析学习情况，加以比较． 3．分段函数及其表示

问题5 某市出租车资费规定如下：（1）3公里以内（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加2.4元（不足1公里按1公里计算）．

某线路总里程为6公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并画出函数的图象．

设计意图：让学生尝试选择适当表达方式来表示实际问题；学习分段函数及其表示．

解：设资费为y元，里程为x公里．由题意，自变量x的取值范围是（0，6．

根据解析式画出的图象如图5所示．

图5

象问题5这样的函数称为分段函数． 所谓分段函数，就是在函数的同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．类似于大陆、台湾是同一个国家的不同地区，社会制度可以不同．

生活中有许多需要分段表示的函数，请你举出几个分段函数的例子，并画出它的图象．

如分期付款，邮件资费等．再如 y＝|x|＝

4．课堂练习

教科书第23页，练习，1，2，3．

5．小结

通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？

大致有：函数的表示方法有三种，各有优、缺点；应该根据不同的问题、不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函数某些性质．还学习了什么样的函数是分段函数．

6．课后作业

教科书第24页，习题1.2，7，8．

第五篇：备课资料(函数的表示法)

备课资料

［备选例题］

【例1】2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,8区间[0,m]在映射f:x→2x+m所得的象集区间为[a,b],若区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大5,则m等于()

A.5B.10C.2.5D.1

分析:函数f(x)=2x+m在区间[0,m]上的值域是[m,3m],则有[m,3m]=[a,b],则a=m,b=3m,又区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大5,则有b-a=(m-0)+5,即b-a=m+5,所以3m-m=m+5,解得m=5.答案：A

【例2】2005湖南数学竞赛,11设x∈R,对于函数f(x)满足条件f(x2+1)=x4+5x2-3,那么对所有的x∈R,f(x2-1)=_________.分析:(换元法)设x2+1=t,则x2=t-1,则f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=f(t)=t2+3t-7,即f(x)=x2+3x-7.所以f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9.答案：x4+x2-9

［知识总结］

1.函数与映射的知识记忆口诀:

函数新概念,记准要素三;定义域值域,关系式相连;

函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见;

对应变映射,只是变唯一;映射变函数,集合变数集.2.映射到底是什么？怎样理解映射的概念？

剖析:对于映射这个概念,可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等;(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的;(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应,而这个与之对应的元素是唯一的,这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心;(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应;(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”;(6)映射是特殊的对应,函数是特殊的映射.3.函数与映射的关系

函数是特殊的映射,对于映射f:A→B,当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数,所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.(设计者：林大华)