【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：2.2函数的表示法(备课资料)（★）

第一篇：【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：2.2函数的表示法(备课资料)

●备课资料

在近几年的高考题中，我们发现考查函数思想方法的题目较多，选用的题目经常源自生产、生活的实际，也经常用到函数的知识、方法及思想，这就要我们在对函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，强化函数的应用意识.1.对函数知识、方法及思想的应用

［例1］经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销

1109t+（t∈N*，0＜t≤100)，在前40天内价格为f（t）3311＝t＋22（t∈N*，0≤t≤40），在后60天内价格为f（t）＝－t＋52（t∈N*，40＜t≤100)，42售量近似地满足关系ｇ（t）＝－求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).分析：弄清“日销量”“价格”“日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式.解：前40天内日销售额为：

11109t＋22）（－t＋）4331271＝－t＋t＋779

1243137849∴S＝－（t－10.5）2＋

1248S＝（后60天内日销售额为：

11109t＋52）（－t＋）

33212135668＝t2－t＋ 663125∴S＝（t－106.5）2－

624S＝（－∴得函数关系式

3784912(t10.5)(0t40且t*)1248S＝

1(t106.5)225(40t100且t*)246由上式可知：对于0＜t≤40且t∈N*，有当t＝10或11时，Smax≈809 对于40＜t≤100且t∈N*，有当t＝41时，Smax＝714.综上所述得：当t＝10或11时，Smax≈809 答：第10天或11天日售额最大值为809元

［例2］某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(注：市场售价和种植成本的单位：元／10 kg，时间单位：天)(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P＝f（t）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

2300t,(0t200)解：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f（t）＝

2t300,(200t300)由图二可得种植成本间接函数关系式为 g（t）＝1（t－150）2＋100，（0≤t≤300）200(2)设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－ｇ（t）

121175tt,(0t200)20022即h（t）＝

1t22t1025,(200t300)72200当0≤t≤200时，得h（t）＝－

1（t－50）2＋100 2001（t－350）2＋100 200∴当t＝50时，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100； 当200＜t≤300时，得h（t）＝－∴当t＝300时，h（t）取得在t∈（200，300]上的最大值87.5 综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0，300]上可以取得最大值是100，此时t＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.评述：（1）以上两例都是考查用数学中函数知识思想、方法去解决实际问题的能力，注意其中关键词的理解，正确找出函数关系式.求最值时配方法是一种常用方法.（2）应用题是高考热点问题，且应用题的具体内容可以多种多样，千变万化，而抽象其数量关系，并建立函数关系式是具有普遍意义的方法.（3）数学应用题因其具有没有固定的背景与题型，难以摸拟分类的特点，也就更接近于我们的生产和实际生活.所以应用题是考查学生创新意识和创新能力的难得的有效题型，同时也不失为提高学生分析问题和解决问题能力的好题型.所以，我们广大师生应加强这一方面的训练，清除心理负面影响，以积极的姿态，迎接数学应用题的挑战，以适应高考的改革要求.二、“应用数学”的能力训练

季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0，16]，t∈N*.试问该服装第几周每件销售利润L最大?

且tN*102t , t[0,5)t[5,10]且tN* 解：(1)P＝ 20, 402t, t[10,16]且tN*(2)因每件销售利润＝售价－进价，即L＝P－Q。

故有：当t∈[0，5)且t∈N*时，L＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12＝即当t＝5时，Lmax＝9.125；

当t∈[5，10)，时t∈N*时，L＝0.125t2－2t＋16，即t＝5时，Lmax＝9.125；

当t∈[10，16]时，L＝0.125t2－4t＋36 即t＝10时，Lmax＝8.5 由以上得，该服装第5周每件销售利润L最大.12

t＋6 8

第二篇：【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：2.2函数的表示法(第一课时)

§2.2 函数的表示法

课时安排 1课时 从容说课

函数是由其定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，并可用抽象符号f(x)来表示，由于f所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故本节介绍了函数的表示方法，除了解析法还有列表法和图象法，这三种表示函数的方法之间具有内在的联系。比如本节例2的数据可以用列表法给出，教学中可引导学生先列表、再求解析式，最后画图象，例3在本质上则是训练由图象求解析式的过程等，认识函数的三种表示方法之间的联系并能相互转化，是对函数概念深化理解的重要步骤。

本节由实际问题引出了对分段函数的认识，即对于自变量不同的取值范围，用不同的解析式表示同一个函数关系，故分段函数是一个函数而不是几个函数，教学中可举一些例子帮助学生理解。

根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贵穿于以后的教学过程中。

●课

题

§2.2 函数的表示法 ●教学目标(一)教学知识点 1.函数的表示方法.2.初等函数的图象.3.分段函数的意义.4.函数的应用.(二)能力训练要求

1.使学生掌握函数的三种常用表示方法.2.使学生了解初等函数图象的几种情形.3.使学生理解分段函数的意义.4.使学生初步学会用函数的知识解决具体问题的方法.(三)德育渗透目标

通过本节课的教学，使学生认识到知识无止境，对客观世界的认识也是永无止境的，树立终身学习的思想.●教学重点

1.函数的表示方法.2.函数的应用.●教学难点 函数的应用.●教学方法 指导学生自学法

让学生通过自学的实践，自己获取知识，对提高学生的自学能力是有帮助的，教师必要的指导为学生自学扫除障碍，同时也让学生在扫除障碍的过程中，学会突破难点的方法.●教具准备 幻灯片两张

第一张：P55图2—6(记作§2.2 A)第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§2.2B)●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上节课我们学习了判定两个函数是否相同的方法及映射的概念，哪位同学来回答一下如何判定两个函数是否相同呢？

［生］判定两个函数是否相同，一要看其定义域是否相同，二要看其对应关系是否相同，当两者完全一致时，这两个函数就是相同的函数，当两者有一不同或两者完全不同时，这两个函数就不是相同的函数.［师］好!谁再来回答一下函数与映射的区别呢？ ［生］函数与映射本质的区别是函数的两个集合都是非空数集，而映射的两个集合中的元素是任意的，它可以是数，也可以是点，还可以是图形等等.［师］很好!我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（板书课题）.Ⅱ.指导自学

［师］课下同学们已经进行了自学，函数的表示方法常用的有哪几种，各有什么优点？ ［生］函数的表示方法常用的有三种，分别是解析法、列表法、图象法.解析法是用解析式表示两个变量的函数关系，它的优点是关系清楚，容易求函数值，便于研究函数的性质.列表法是用表格表示两个变量的函数关系，它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值时的函数值.图象法是用图象表示两个变量的函数关系，它的优点是表示函数的变化情况形象直观.［师］好!（再举些例子对各种表示方法进行说明，并强调：中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数）

［师］下面请同学们看课本P54例

1、例2.（学生看课本、教师巡视）

［师］例

1、例2的图象有什么特点呢？

［生］例1的图象是一些孤立的点，例2的图象是几条线段.［师］回答完全正确，在初中，我们学过的函数图象通常是一条光滑的（不打折）曲线（或直线）.例

1、例2告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成，以后我们还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成，从例2看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.［师］例3是生活中的实际问题，对实际问题的解决，要求我们认真分析题意，将其抽象，转化成数学问题，通过解答数学问题，使实际问题得以解决，因此，解决应用问题的关键是将实际问题分析，抽象，转化成数学问题，即将实际问题数学化.下面我们一起对例3进行分析，请大家再仔细看一遍题.（学生看题）

［师］圆形喷水池的直径为20 m，“计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头”告诉了我们什么？

［生］告诉了喷水头的位置，即喷水头距水池中心10 m,其高度与水面一致，视为 OM.［师］“喷出的水柱”其轨迹是什么类型？

［生］由物理学知识可知喷出的水柱轨迹为抛物线型.［师］“各方向喷来的水柱在装饰物处汇合”是什么意思？ ［生］各方向喷出的水柱交汇在水池的中心线上（学生比划，这条中心线实质上是过水池中心水面的垂线），关于水池中心各相对方向喷出的水柱也交汇在水池的中心线上.（学生的回答不可能一下子达到准确的程度，教师要及时予以启示，诱导）

［师］据以上分析，假如我们过水池中心线任意作一个截面，请同学们试画出截面的形状.（几位学生在黑板上试画）

（和同学们一起分析了学生画的图形，打出幻灯片§2.2A）

解：过水池中心任意选取一个竖立的截面如图所示，由物理学知识可知，喷出的水柱轨迹是抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，据已知，水柱上任意一点距中心的水平距离x（m）与此点的高度y（m）之间的函数关系是

a1(x4)26(10x0)y= 2a2(x4)6(0x10)由x=-10,y=0，得a1=-a2=-

1,由x=10,y=0得 61,于是，所求的函数解析式是 612(x4)6,(10x0)6y= 1(x4)26,(0x10)6当x=0时，y=10 310m.3即装饰物的高度应为Ⅲ.课堂练习

课本P56练习

1，2，3 Ⅳ.课时小结

［师］本节课我们学习了哪些知识呢？请同学们总结一下.[生甲]函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线，还可以是一些弧立的点.[生乙]还可以是若干条线段.[生丙]学习了函数知识的应用.[生丁]应用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题数学化.[生戊]实际问题数学化就是要认真分析题意，将实际问题抽象，转化成数学问题.[师]好!同学们总结了本节课所学习的知识，重要的在于掌握尤其是函数知识的应用，更要多练，才能运用自如.Ⅴ.课后作业

（一）课本P56习题2.2 1~6.（二）1.预习内容：函数的单调性.2.预习提纲：

（1）增函数、减函数的定义是什么？（2）函数单调区间的定义是什么？

（3）证明函数单调的方法步骤是怎样的？（4）单调性是个整体概念还是个局部概念？ ●板书设计 §2.2 函数的表示法

分段函数是一个函

例3 数而不是几个函数

函数的图象可以是

练习一些孤立的点或几

段线段

小结

第三篇：备课资料(函数的表示法)

备课资料

［备选例题］

【例1】2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,8区间[0,m]在映射f:x→2x+m所得的象集区间为[a,b],若区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大5,则m等于()

A.5B.10C.2.5D.1

分析:函数f(x)=2x+m在区间[0,m]上的值域是[m,3m],则有[m,3m]=[a,b],则a=m,b=3m,又区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大5,则有b-a=(m-0)+5,即b-a=m+5,所以3m-m=m+5,解得m=5.答案：A

【例2】2005湖南数学竞赛,11设x∈R,对于函数f(x)满足条件f(x2+1)=x4+5x2-3,那么对所有的x∈R,f(x2-1)=_________.分析:(换元法)设x2+1=t,则x2=t-1,则f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=f(t)=t2+3t-7,即f(x)=x2+3x-7.所以f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9.答案：x4+x2-9

［知识总结］

1.函数与映射的知识记忆口诀:

函数新概念,记准要素三;定义域值域,关系式相连;

函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见;

对应变映射,只是变唯一;映射变函数,集合变数集.2.映射到底是什么？怎样理解映射的概念？

剖析:对于映射这个概念,可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等;(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的;(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应,而这个与之对应的元素是唯一的,这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心;(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应;(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”;(6)映射是特殊的对应,函数是特殊的映射.3.函数与映射的关系

函数是特殊的映射,对于映射f:A→B,当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数,所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.(设计者：林大华)

第四篇：【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：1.7四种命题(备课资料)

●备课资料

一、《教师教学参考书》《中学数学教学》

二、参考例题

［例1］写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题，逆否命题.并判断其真假.分析：应注意分析清楚原命题的条件与结论，并充分利用四种命题的定义，还要注意条件和结论中“或”“且”“非”的否定的语句表述的准确性.解：原命题：“若x≥2且y≥3则x＋y≥5”为真命题.逆命题为：“若x＋y≥5，则x≥2且y≥3”，为假命题.否命题是：“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5.”其为假命题.逆否命题是：“若x＋y＜5，则x＜2或y＜3”其为真命题.评述：本题应注意理解掌握“p且q”的否定为“p或q”，“p或q”的否定为“p且q”.［例2］写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.2(1)若x＝1，则x＝1.(2)对顶角相等.(3)等腰三角形的两腰相等.2(4)x＋2x＋8＞0的解集为空集.分析：应先将原命题改写成“如果„„，那么„„的形式”然后再构造它的逆命题.2解：(1)逆命题是“若x＝1，则x＝1.” 原命题为假命题，逆命题是真命题.(2)逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”.原命题为真命题，逆命题为假命题.(3)逆命题是“如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形.” 原命题为真命题，逆命题也为真命题.2(4)逆命题是“空集是x＋2x＋8＞0的解集”.原命题和逆命题都是假命题.［例3］写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假.(1)如果x＞－3，那么x＋8＞0.(2)如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形的三角都相等.(3)矩形的对角线互相平分且相等.(4)相似三角形一定是全等三角形.分析：将原命题的条件和结论同时加以否定，便得到其否命题.解：(1)否命题是：“如果 x≤－3，那么x＋8≤0”.原命题为真命题，否命题为假命题.(2)否命题是：“如果一个三角形的三边不都相等，那么这个三角形的三角不都相等.原命题为真命题，否命题也为真命题.(3)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”.原命题是真命题，否命题也是真命题.(4)否命题是“不相似的三角形一定不是全等三角形.” 原命题是假命题，否命题是真命题.评述：一个命题的否定应当包含除了本身以外的所有情况.如：“都相等”的否定应为“不都相等”，即至少有两个元素不相等；“p或q”与“p且q”互为否定；“一定是”的否定是“一定不是”.三、参考练习题

1.命题“能被4整除的数一定是偶数”，等价命题是（）A.偶数一定能被4整除

B.不能被4整除的数一定不是偶数 C.不能被4整除的数不一定是偶数 D.不是偶数一定不能被4整除 答案：D 2.命题：“若a∈A，则{a}A”的逆命题是（）

A.若a∈A，则{a}A B.若{a}A，则a∈A C.若{a}A，则aA D.若aA，则{a}A 答案：B 3.命题：“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题（）A.是假命题

B.与原命题同真或同假

C.与原命题的逆否命题同真同假 D.与原命题的逆命题同真同假 答案：D 4.若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的_______命题.答案：逆否 5.命题“若a＞0，则什么命题：

(1)若a≤0，则(2)若

3a3＝”的相关命题如下，在题后括号内注明它是这一命题的4a43a3≠.（）4a43a3＝，则a＞0()4a43a3(3)若≠，则a≤0()4a4答案：（1）否命题(2)逆命题(3)逆否命题 6.写出下列命题的逆命题的逆否命题：(1)若a＞4则a＋3＞6(2)若x与y成正比关系，则y＝kx.答案：(1)若a≤4则a＋3≤6(2)x与y不成正比关系，则y≠kx.7.把下列命题改写成“若p则q”的形式：(1)15是5的倍数.(2)正方形四边相等.答案：(1)若a＝15，则a是5的倍数.(2)若一个四边形是正方形，那么这一四边形的四边相等.8.写出命题：“若ab＝0，则a、b中至少有一个为0”的逆否命题.答案：若a、b都不为零，则ab≠0.●备课资料

一、《教师教学用书》

二、参考例题

222［例1］写出命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则c＝a＋b”的逆命题，否命题和逆否命题，并指出它们的真假.解：原命题是真命题.222逆命题为“在△ABC中，若c＝a＋b，则∠C＝90°.为真命题.222否命题为：“在△ABC中，若∠C≠90°，则c≠a＋b”，是真命题.222逆否命题为：“在△ABC中，若c≠a＋b，则∠C≠90°，是真命题.评述：此题的原命题中“在△ABC中”是大前提，在写这类命题的逆命题、否命题和逆否命题时一般保持不变.［例2］写出命题“x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.分析：本题中原命题的条件是复合条件.因此解好本题的关键是准确地写出“p且q”的否定.解：原命题是真命题.逆命题是：“x＋y≥5则x≥2且y≥3”为假命题.否命题是：“x＜2或y＜3，则x＋y＜5”为假命题.逆否命题是：“x＋y＜5则x＜2或y＜3”为真命题.评述：注意“p或q”的否定是“p且q”，“p且q”的否定是“p或q”.在否命题中的准确运用.［例3］写出下列命题的逆命题，并判断其真假.2(1)当x－3x＋2＝0时x＝2(2)ac＞bca＞b.2解：(1)逆命题为：“当x＝2时，x－3x＋2＝0”，为真命题.(2)逆命题为：“a＞bac＞bc”其为假命题.三、参考练习题

1.在下列命题中，真命题是（）

①“在同一个三角形中，大边对大角”的否命题.2②“若m≤1，则x－2x＋m＝0有实根”的逆命题.③“菱形的对角线互相垂直平分”的否命题.④“若A∩B＝B，则AB”的等价命题.A.①②④ B.③④ C.①②

D.①②③ 答案：D 2.命题“若a＞b，则am＞bm”与它的逆命题、否命题，逆否命题中真命题共有____个.答案：0 3.写出命题“对角线不互相垂直的平行四边形不是菱形.”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假.答案：逆命题为：“不是菱形的平行四边形，对角线不互相垂直”，为真命题.否命题为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，为真命题.逆否命题为“平行四边形是菱形，其对角线互相垂直”，为真命题.4.判断下列命题的否命题的真假.(1)正方形四条边相等.(2)已知a＜0，如果x＝－a，那么x＜0(3)一个锐角的补角是钝角.答案：(1)否命题为假命题.(2)否命题为假命题.(3)否命题为真命题.●备课资料

一、《教师教学用书》

二、参考例题

［例1］用反证法证明：若｜a－b｜＞a－b，则a＜b 分析：反证法证题的关键是对命题的结论进行否定——推理——矛盾——肯定.证明：假设a≥b

则有a－b≥0即｜a－b｜＝a－b.但这与已知中｜a－b｜＞a－b矛盾.故a＜b 评述：反证法证明过程中必须对结论的反面的各种情况一一加以否定，才能证明原命题的正确性.2［例2］用反证法证明：｜a｜＜3则a＜9.2证明：假设a≥9，两边同时开方取算术根得：｜a｜≥3.这与已知条件中｜a｜＜3相2矛盾.故a＜9.［例3］如果一个整数n的平方是偶数，那么这个整数n本身也是偶数，试证之.分析：由“整数n的平方是偶数”这个条件，很难直接证明“这个整数n本身也是偶数”这个结论成立，因此考虑用反证法证明.证明：假设整数n不是偶数，那么n可写成：n＝2k＋1（k∈Ｚ）, 2222则n＝（2k＋1）＝4k＋4k＋1＝2（2k＋2k）＋1.22∵k∈Ｚ ∴2k＋2k∈Z，则2（2k＋2k）为偶数.2那么2(2k＋2k）＋1为奇数.2∴n为奇数.但这与已知条件矛盾.则假设不成立，故n是偶数.评述：否定结论是反证法的第一步，能否导致矛盾是反证法的关键，一般通过推理导致以下矛盾之一即可：

①与条件矛盾；②与定义、定理、公理矛盾；③与客观事实矛盾；④自相矛盾.三、参考练习题

1.用反证法证明命题的第二步中，得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的()①命题已知 ②数学定义 ③定理，公理 ④推理、演算的规律

A.① B.①③

C.②

D.①②③④ 答案：D 2.用反证法证明“一个三角形内，不能有两个钝角或直角”.证明：假设可以有两个钝角或直角，那么这两个角与任意大小的第三个角的和必大于180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾.故一个三角形内，不能有两个钝角或直角.3.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A.有一解

B.有两解 C.有三解

D.至少有两解 答案：C 4.否定下列各结论，并写出由此可能出现的情况：(1)a＝b（2）AB∥CD（3）点A在直线a上 答案：(1)a≠b，即a＞b或a＜b

(2)AB与CD不平行，即AB与CD相交，或AB与CD重合.(3)点A在直线a外，即点A在直线a的一侧或另一侧.5.用反证法证明：若a2＝－a，则a≤0 证明：假设a＞0，可得a2＝｜a｜＝a，这与已知a2＝－a相矛盾.故a≤0.6.假设p、q都是奇数，求证：关于x的方程x＋px＋q＝0无整数根.分析：此题中含有否定用“无”，可考虑用反证法，另外关于有无整数根，可从已知方程的判别式与根和系数的关系入手分析证明.222证法一：只有在Δ＝p－4q＝（p－m）时((p－m)表示完全平方数,其中由－4q＝－2pm＋m可知m应为偶数)才可能有整数根.化简上式得出p与q的关系：q＝p·因p是奇数，不论2

mm2

－（），22m是怎样的整数，都可得q为偶数，这与已知q为奇数相矛盾，则判别2式Δ的值不会是一个完全平方数，故方程无整数根.2证法二：假设方程有整数根α，无论α是奇数还是偶数，都必有α＋pα＋q为奇数，2这与α＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.

第五篇：【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：1.8充分条件与必要条件(备课资料)

●备课资料

一、《教师教学用书》《中学数学教学》

二、参考例题

［例1］已知两个命题：p：2x＋3＝x，q：x2x3＝x，则p是q的（）

22A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.既充分又必要条件

D.不充分也不必要条件 分析：注意到本题的两个命题实际上是所表示方程的解集，因此可运用集合的观点解决.命题p就是x∈{x｜2x＋3＝x}＝{－1，3}，q就是x∈{x｜x2x3＝x}＝{0，3}.22则p q，又有q p，则p是q的不充分也不必要条件.答案：D ［例2］(1)xy＞0的一个充分而不必要条件是_______.(2)x＜0的一个必要而不充分条件是_______.分析：对于(1)要找命题q：xy＞0的一个充分而不必要条件就是要找一个命题p满足：pq且q p，这样的命题p易找到的，且不唯一；对于(2)可仿(1)解决.(1)xy＞0的一个充分而不必要条件是：x＞0且y＞0.(2)x＜0的一个必要不充分条件是x＜2.评述：由于其答案不唯一，本例实际上是一个开放性命题.［例3］已知：p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4且ab＞4.则p是q的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

解析：由a＞2且b＞2可得a＋b＞4且ab＞4.则p是q的充分条件.反之，若取a＝2，且b＝3.则有a＋b＝5＞4，且ab＝6＞4，但a＝2不满足p.即：q

p；故p是q的充分不必要条件.答案：A 评述：这个问题具有典型性，学生由于形式上受：a＞0且b＞0a＋b＞0且ab＞0的影响，往往出现错误：a＞2且b＞2a＋b＞4且ab＞4.三、参考练习题

1.如果甲是乙的必要而不充分条件，丙是乙的既充分又必要条件，那么丙是甲的()A.充分必要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.不充分也不必要条件 解析：由题设乙甲，丙乙 则丙乙甲，即有丙甲.答案：C 2.填空：

设A是B的充分不必要条件，则A是B的_____________条件.解析：由A是B的充分不必要条件得：AB，即BA，则A是B的必要不充分条件.答案：必要不充分 ●备课资料

一、参阅资料：《教学参考书》、《中学数学教学与研究》

二、参考例题

［例1］若已知A是B的充分条件，C是D的必要条件，而B是D的充要条件，则D是C的_______条件；D是A的_______条件；A是C的_______条件，D是B的_______条件.分析：运用充分条件，必要条件和充要条件的定义考虑本题条件.易知存在下面的关系：ABDC，然后再回到定义，本题可解.答案:充分 必要 充分 充要

评述：如果pq，则p是q的充分条件.同时q是p的必要条件，说明充分条件和必要条件是相对的.［例2］已知p：｜5x－2｜＞3，q：

1＞0.则p是q的什么条件? 2x4x5分析：先确定命题p和q，然后再作判断；或者先直接判断p和q的关系，然后再判断p和q的关系.解：p：｜5x－2｜≤3，即：－

1≤x≤1 5q：－5≤x≤1，则pq；

而q p.则p是q的充分而不必要条件.评述：要注意准确把握一个命题的否定.特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常用.［例3］设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜的充要条件是xy≥0.分析：充分性即证：xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证： ｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0.证明：①充分性

若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0.此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.若xy＞0，则x，y同号.当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜；

当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜ 综上所述，xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.②必要性

∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R

22∴(x＋y)＝（｜x｜＋｜y｜）

2222 即x＋2xy＋y＝x＋2｜x｜｜y｜·yxy＝｜xy｜xy≥0.因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0.故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”.也就是需证明充分性：qp；必要性pq不能颠倒证反”.注：本题也可用绝对值的概念证明：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜ ｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2 x2＋2xy＋y2 22＝x＋2｜xy｜＋y ｜xy｜＝xy xy≥0.故xy≥0｜x＋y｜

＝｜x｜＋｜y｜

三、参考练习题

2(1)一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和负根的充要条件是（）A.ab＞0

B.ab＜0

C.ac＞0

D.ac＜0 答案：D 22(2)x＞y是x＞y的_______条件.答案：既不充分也不必要

(3)设A、B是非空集合，则A∩B＝A是A＝B的_______条件.答案：必要不充分

32(4)已知p：x（2x＋3）＝x，q：2x＋3＝x，试判断p是q的什么条件，并说明理由.解：∵p：x＝－1或x＝0或x＝3； q：x＝－1或x＝3.∴p q而qp.则p是q的必要而不充分条件.2(5)设集合a＝{a｜a＋a－6＝0}，b＝{b｜mb＋1＝0}，试写出BA的一个充分不必要条件.答案：m＝－11（或m＝）

32(6)A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D也是B的充分条件.则D是C的什么条件?A是B的什么条件? 解：由题设得AC，BCDB，则CD，CB.则D是C的充要条件，A是B的充分不必要条件.