北师大版高一数学必修1教案-函数解析式的求法

第一篇：北师大版高一数学必修1教案-函数解析式的求法

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§2.23函数解析式的求法

教学目标：让学生了解函数解析式的求法。

重点：对f的了解，用多种方法来求函数的解析式

难点：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组法等方法的运用。

教学过程

例1.求函数的解析式

(1)f9[（x+1)=, 求f(x);答案：f(x)=x2－x＋1（x≠1）练习1：已知f(+1)= x+2,求f(x)答案：f(x)=x2－1(x≥1)

(2)f(x)= 3x2+1, g(x)= 2x －1 , 求f[g(x)];答案：f[g(x)]＝12x2－12x 练习2：已知：g(x)=x+1,f[g(x)]=2x2+1,求f(x-1)答案：(3)如果函数f(x)满足af(x)+f()=ax,x∈R且x≠0,a为常数，且f 案：f(x)=(x∈R且x≠0)

练习3： 2f(x)－ f(－x)= lg(x+1), 求 f(x).答案：f(x)=lg(x+1)+lg(1－x)例2.已知f(x)是，并且满足-＝2x+17,求f(x).答案：f(x)=2x+7.练习4：已知f(x)且f(x+1))=x +, 求f(x-1)的表达式.3、已知f(x)=9x+1,g(x)=x,则满足f[g(x)]= g[f(x)] 的x的值为多少？

4、已知f(x)为一次函数且f[f(x)] = 9x+4,求f(x).教后反思：略

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第二篇：函数解析式的七种求法

函 数 第二讲 解 析 式 的 求 法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)

二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例2已知f(x11)x22(x0)，求 f(x)的解析式 xx

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知f(x1)x2x，求f(x1)

四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4设f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)

例5 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)1x1,试求f(x)和g(x)的解析式 x

1六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例6 已知：f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)

第三篇：函数解析式求法总结及练习题

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例

1设解：设

则

xx22xx42，解得：，点M(x,y)在yg(x)上，yxx． yyy6y32f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)．

把xx42代入得：6y(x4)(x4)．

y6yyx27x6，g(x)x27x6． f(x)axb(a0)，则 f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb2整理得

a2a4，a2　或 ． b3b1abb

3五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得

函数解析式．

f(x)2x1 或 f(x)2x3．

二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域． 时，常用配凑法．但要注意所求函数

1f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)．

x11解 f(x)2f()x

①

显然x0,将x换成xxx2解① ②联立的方程组，得：f(x)．

33x例

5设例6 设，得：

11f()2f(x)

②

xx11f(x)x22(x0)，求 f(x)的解析式． xx11122解：f(x)(x)2，x2，f(x)x

2(x2)．

xxx例2

已知

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例

3已知解：令t1,试求f(x)和g(x)的解析式 x11解 f(x)f(x),g(x)g(x)，又f(x)g(x) ①，用x替换x得：

x111

1f(x)g(x)，即f(x)g(x)②，解① ②联立的方程组，得f(x)1，g(x)22x1x1xxx11小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f()；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换

xf(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题

具体化、简单化，从而求得解析式．

例7

已知：f(x1)x2x，求f(x1)．

x1，则t1，x(t1)2 ．

f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)．

f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，f(x1)x2x，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)，f(x1)(x1)21x22x(x0)．

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数

解对于任意实数x、y，等式

不妨令x再令

0，则有f(y)f(0)y(y1)1y(y1)y2y1．

yx 得函数解析式为：f(x)x2x1．

yx2x与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式．

例5：已知

f(0)1,f(ab)f(a)b(2ab1),求f(x)。

解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点．

解析：令a0,则

f(b)f(0)b(1b)b2b

1令bx

则f(x)x2x1

小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条

件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式． 例8

设求

8．（1）若

（五）．特殊值代入法

9．若

f(x)f(x1)1x,求f(x).（2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).xf(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的N a,b 都有f(a)f(b)f(ab)ab，f(x)

f(xy)f(x)f(y),且

f(1)2，求值 解f(a)f(b)f(ab)ab，a,bNf(x)f(1)f(x1)x，不妨令

ax,b1，得：

f(2)f(3)f(4)f(2005).f(1)f(2)f(3)f(2004)

10．已知：

（六）．利用给定的特性求解析式.11．设 又f(1)1,故f(x1)f(x)x

1①

n(n1)，2令①式中的x＝1，2，„，n－1得：f(2)f(1)2，f(3)f(2)3，，f(n)f(n1)n 将上述各式相加得：



三、练习

（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2．若

（二）．配变量法3．已知

（三）．待定系数法5．设求

6．设二次函数

f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)

f(n)f(1)23n，f(n)123nf(x)121xx,xN 22f(x)是偶函数,当x＞0时, f(x)ex2ex,求当x＜0时，f(x)的表达式.1xf()x1x,求

f(x).12．对x∈R，达式.例

6、已知函数11f(x)x22xxf(x)满足f(x)f(x1),且当x∈[－1,0]时, f(x)x22x求当x∈[9,10]时f(x)的表, 求

f(x)的解析式.4．若f(x1)x2x,求f(x).f(x)是一元二次函数, g(x)2xf(x),且g(x1)g(x)2x1x2，f(x)对于一切实数x,y都有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0。(1)求f(0)f(x)与g(x).的值；(2)求

f(x)的解析式。

f(x)满足f(x2)f(x2),且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的表达式.（四）．解方程组法 7．设函数求

1f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式3f(x)2f()4x,x f(x)的解析式.练习

求函数的解析式

例1．已知f(x)= x22x，求f(x1)的解析式．（代入法 / 拼凑法）

变式1．已知f(x)= 2x1，求f(x2)的解析式．

变式2．已知f(x+1)＝x22x3，求f(x)的解析式．

例2．若f [ f(x)]＝4x＋3，求一次函数f(x)的解析式．（待定系数法）

变式1．已知f(x)是二次函数，且fx1fx12x24x4，求f(x)．

例3．已知f(x)2 f(－x)＝x，求函数f(x)的解析式．

（消去法/ 方程组法）

变式1．已知2 f(x) f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式．

变式2．已知2 f(x)f 1x＝3x，求函数f(x)的解析式．

例4．设对任意数x，y均有fxy2fyx22xyy23x3y，求f（x）的解析式．（赋值法 / 特殊值法）

变式1．已知对一切x，y∈R，fxyfx2xy1y都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式．

第四篇：高一数学必修1函数教案

第二章 函数

§2.1 函数

教学目的：（1）学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 一 函数的有关概念 1．函数的概念：

设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function）． 记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意：

○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x． 2． 构成函数的二要素： 定义域、对应法则

值域被定义域和对应法则完全确定 3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 二 典型例题 求解函数定义域值域及对应法则 课本P32 例1,2,3 求下列函数的定义域

14x2 F(x)= F(x)=

x/x/x1 F(x)=111x F(x)=x24x5

巩固练习P33 练习A中4,5 说明：○1 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○2 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2．判断两个函数是否为同一函数

○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。巩固练习：

○1 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数

（1）f(x)=(x1)0 ；g(x)= 1

（2）f(x)= x； g(x)=x2

（3）f(x)= x；f(x)=(x1)（4）f(x)= | x | ；g(x)= 2x2

三 映射与函数

教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念． 教学重点难点：映射的概念及一一映射的概念． 复习初中已经遇到过的对应：

1． 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P 和它对应； 2． 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 4． 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 5． 函数的概念．

映射 定义：一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”。象与原象的定义与区分

一一对应关系： 如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，就称这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。（结合P35的例7解释说明）

说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

例题分析：下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？

（1）A={P | P 是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={ P | P 是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x 是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）A={x | x 是新华中学的班级}，B={x | x 是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．

思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B→A 是从集合B 到集合A 的映射吗？ 四 函数的表示法

教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；

（2）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 教学重点难点：函数的三种表示方法，分段函数的概念及分段函 数的表示及其图象．

复习：函数的概念；

常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．

（一）典型例题

例 1．某种笔记本的单价是5 元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．

分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表． 解：（略）注意：

○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； ○2 解析法：必须注明函数的定义域； ○3 图象法：是否连线；

○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 例 3．画出函数y = | x | ． 解：（略）

巩固练习： P41练习A 3,6 拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f(|x|)的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．

五 分段函数 定义： 例5讲解

练习P43练习A 1（2），2（2）

注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

第五篇：几种典型函数解析式的求法集合

函数的解析式的求法

一． 换元法

题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.练习1．若f（1x)x

1x,求f(x).二．配变量法

题2．已知f(x1

x)x21

x2, 求f(x)的解析式.练习2．若f(x1)x2x,求f(x).三．待定系数法

题3．设f(x)是一元二次函数, g(x)2xf(x),且g(x1)g(x)2x1x2,求f(x)与g(x).练习3．设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2),且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的表达式.四．解方程组法

题4．设函数f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式

13f(x)2f()4x,求f(x)的解析式.x

x1)1x,求f(x).练习4．若f(x)f(x

五．特殊值代入法

题5．对于一切实数x,y有f(xy)f(x)(2xy1)x都成立，且f(0)1.求f(x).f(x)1练习5．设f(x)是定义在N上的函数,且f(1)2,f(x1)，求f(x)的2解析式.练习

1．设f(x)是定义在N上的函数,若f(1)1,且对任意的x,y都有：

1f(x)f(y)f(xy)xy, 求f(x).(f(x)(x21))22、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。

3、求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+74、已知f(x+1)=x+2x，求f(x)的解析式

5、已知f(x-1)= x2-4x，解方程f(x+1)=06、已知f(x+1)= x2+1，求f(x)解析式。

7、设函数F(x)=f(x)+g(x)其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x2的反比例函数，又F(2)= F(3)=19,求F（x)的解析式。

8、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。

9、设f(x)=2x2-3x+1,g(x-1)=f(x),求g(x)及f [g(2)].10． 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x6，求f(x)．

（f(x)2x2或f(x)2x6）

11． 若f(1)x

x1x,求f(x)．（f(x)1

x1）

12．若f(x1

x)x21

x2，求f(x)．（f(x)x22）

13．若f(1

x)2f(x)x,求f(x)．(f(x)2x21

3x)

14．若f(3x2)x2x，求f(2)．（f(2)＝4

9）

15．已知f(x)3f(x)2x6,求f(x)．（f(x)1

2x3）