2015高中数学选修2-2导学案：《变化的快慢与变化率》

第一篇：2015高中数学选修2-2导学案：《变化的快慢与变化率》

致远中学高二数学学案第1课时 变化的快慢与变化率

1.通过实例,明白变化率在实际生活中的应用,探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念,体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法.借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员夺得女子冠军的视频.我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?

问题1:根据以上情境,设运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:(1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度=.(2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度=.问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx表示,平均变化率的公式是.问题3:如何求函数的瞬时变化率? 对一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是==.而当Δx趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.问题4:平均变化率与瞬时变化率的关系是什么?(1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢.(2)联系:当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.1.函数f(x)=x2在区间[-1,3]上的平均变化率是().A.4 B.2

C.D.2.在曲线y=x2+2的图像上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则等于().A.Δx++2 B.Δx--2 C.Δx+2

D.2+Δx-

3.函数f(x)=x+在区间[1,2]上的平均变化率为.4.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,求第二年婴儿体重的月平均变化率.平均变化率

已知函数f(x)=2x2+3x-5.(1)求当x1=4且Δx=1时,函数增量Δy和平均变化率;(2)求当x1=4且Δx=0.1时,函数增量Δy和平均变化率.瞬时变化率

一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动,估计汽车在t=3 s时的瞬时速度.(时间单位:s;位移单位:m)

变化率的意义

圆的面积S随着半径r的变化而变化.试分析圆的面积随半径r增大而增大的快慢情况.已知函数f(x)=x2+x,计算f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的瞬时变化率.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx的值为,哪一点附近的平均变化率最大?

1.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为().A.0.41 B.3 C.4

D.4.1 2.函数y=2x2-x在x=2附近的平均变化率是().A.7 B.7+Δx C.7+2Δx D.7+2(Δx)2

3.一质点按规律s(t)=2t3运动,则t=1时的瞬时速度为.4.求函数f(x)=ln x在区间[,]上的平均变化率.若一物体运动方程如下:s=(位移单位:m,时间单位:s),求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.考题变式(我来改编):

答案

第二章 变化率与导数

第1课时 变化的快慢与变化率

知识体系梳理

问题1:(1)问题2:问题3:基础学习交流 1.B 2.C 3.=4.05 m/s(2)

=-8.2 m/s ====2.==.=2+Δx.4.解:由图可知,第二年婴儿体重的平均变化率为

==0.25(千克/月).即第二年婴儿体重的月平均变化率为0.25(千克/月).重点难点探究

探究一:【解析】f(x)=2x2+3x-5, ∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2

+3x1-5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.(1)当x1=4,Δx=1时,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,==21.(2)当x1=4,Δx=0.1时,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=1.92,=【小结】求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);(2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1;(3)得平均变化率==19.2..探究二:【解析】当时间从3变到3+Δt时, ===3Δt+18, 当Δt趋于0时,趋于常数18.∴这辆汽车在t=3 s时的瞬时速度为18 m/s.【小结】要求瞬时速度可先求平均速度,Δt趋于0,则平均速度趋于瞬时速度,理解求法中的逼近思想.探究三:【解析】圆的面积S随着半径r的平均变化率为

===2πr+πΔr, 由=2πr+πΔr可知瞬时变化率2πr(很有意思,这竟是圆的周长!)随半径增大而增大,因此圆的面积增大加快.【小结】变化率是反映变化快慢的一个数学量,可以通过求变化率来看变化的快慢情况.思维拓展应用

应用一:函数f(x)=x2+x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为

===2x0+1+Δx.当x0=2,Δx=0.1时, 函数f(x)=x2+x在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2+1+0.1=5.1.应用二:∵====-Δx-1，∴当Δx趋于0时,趋于-1.即函数f(x)在x=2处的瞬时变化率为-1.应用三:在x=1附近的平均变化率为

k1===2+Δx;在x=2附近的平均变化率为

k2===4+Δx;在x=3附近的平均变化率为

k3===6+Δx.若Δx=,则k1=2+=, k2=4+=,k3=6+=, 由于k1

解:(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=48, ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为==24(m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.∵物体在t=0附近的平均变化率为 ==

=3Δt-18, ∴当Δt趋于0时,趋于-18, ∴物体在t=0处的瞬时变化率为-18, 即物体的初速度为-18 m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.∵物体在t=1附近的平均变化率为 ==

=3Δt-12, ∴当Δt趋于0时,趋于-12, ∴物体在t=1处的瞬时变化率为-12, 即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.

第二篇：§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案

sx-14-(2-2)-01

5§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案

编写：袁再华审核：沈瑞斌编写时间:2014.4.25

班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

【学习目标】

1.通过实例，了解变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；

2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想方法；

3.在了解瞬时速度的基础上抽象出瞬时变化率，建立导数的概念,掌握用导数的定义求导数的一般方法.【学习重难点】

重点：导数的概念。难点：平均变化率、瞬时变化率的理解。

【知识链接】：

请阅读本章导言

【学习过程】：

一、知识点一.变化率

阅读教材 P2-3页内容，回答下列问题：

问题1：在气球膨胀率问题中，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系

是

__________.如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.(1)当V从0增加到1时,气球半径r增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.由以上可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系为h(t)=-4.9t+6.5t+10, 计算运动员在下列各时间段的平均速度v 2（1）在0t0.5这段时间里，=_______________________________

（2）在1t2这段时间里，v=__________________

二、知识点二.平均变化率概念

问题1：函数f(x)从x1到x2的平均变化率用式子表示为。问题2：设xx2x1,yf(x2)f(x1)，这里x看作是对于x1的一个“增量”

可用

x1+x代替x2,同样yf(x2)f(x1))，则平均变化率为

问题3：观察课本P4图1.1-1函数f(x)的图象，平均变化率y___________.xyf(x2)f(x1)表示什么?____________________________.xx2x1

问题4：求函数平均变化率的一般步骤：

① 求自变量的增量Δx=；

② 求函数的增量Δy=；

③求平均变化率yx

2问题5：已知质点运动规律为st3，求时间在（3，3+t）中相应的平均速度

温馨提醒：①x是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2= x1+Δx，Δy=y2-y1；③Δx

可正可负

但不能为零。

思考：在高台跳水运动中,计算运动员在0t65这段时间里的平均速度，并思考以49

下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

三．知识点三.导数的概念

问题1：阅读教材P4-5内容.我们把物体在某一时刻的速度称为____________。一般地，若物体的运动规律为sf(t)，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到tt这段时间内，当t_________时的平均速度，即vlims=___________________ t0t

问题2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单

位：s）存在函数关系为ht4.9t6.5t10，运动员在t0=2的瞬时速度怎2

样表示？

问题3：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率表示为我们称它为函数yf(x)在xx0处的______，记作f'(x0)或________，即

温馨提示：

函数y=f(x)在x=x0处的导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,其定义的代数形式：f'(x0)=limf(x)f(x0)ylim；xx0xxx0xx0

2问题4：求函数y=2x在x=-1,x=-2时的导数,并说说你对所求结果的认识。

温馨提示：求函数yfx在xx0处的导数步骤：

(1)求增量yf(x0x)f(x0);

yf(x0x)f(x0);xyx

.x0时）x(2)算比值(3)求yxx0

问题5：阅读教材P6页例1，计算 21mv2。求物体开始运动后第5s时的动能。2

第三篇：社会生活的变化导学案

潜山县卫民中学高效课堂自主学习型历史导学案

___八年级___历史___（科目）编号：__001____主备人：____储高明____指导教师：___________教研组长：___________教导处：__________课题：中国人民站起来了

学习目标：1.了解第一届中国人民政协会议的具体情况。2.了解开国大典的史实，认识新中国成立的历史意义。3.简述西藏和平解放的基本史实。重点：第一届中国人民政治协商会议和开国大典

难点：新中国成立的历史意义

学习过程：

（一）自主学习：我学习，我快乐

第一届政治协商会议于1949年在________召开，目的：为______________。

1、建国筹备 ①大会通过了《___________》，它起着_________________的作用。

主要内容②大会选举中央人民政府主席是_________；

③大会决定新中国的名称为____________；

大会确定国旗是______；代国歌是《_______》；首都是______（把北平改为北京）；

纪年方式是______________；

开国大典④大会还决定建立____，以表示对先烈的崇敬。

2、开国大典：________年＿＿月＿＿＿日下午三点，毛泽东等国家领导人登上天安门城楼，首都30万军民齐集天安门广场，隆重举行。毛泽东向全世界庄严宣告：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。____________ 标志着中华人民共和国的正

式成立，中国开始由________________向_________过渡。

时间 ： _______年，人物： 西藏地方政府派出以＿＿＿＿＿＿＿＿＿为

3、西藏和平解放首席代表的代表团到达北京，与中央人民政府谈判，结果：双方达成了＿＿＿＿西藏的协议，西藏获得和平解放。

意义：_________________________________________。

（二）合作探究1、1949年3月23日上午，毛泽东率领中共中央机关离开西柏坡前往北平，为什么毛泽东和周恩来说是“进京赶考”？你能结合当时的国内国际形势谈谈你的理解吗？

2、阅读人民英雄纪念碑碑文，回顾有关的事件：三年以来指什么？三十年以来指什么？为什么要上溯到1840年？站在人民英雄纪念碑前你想到了什么？

3、中国人民政治协商会议决定以《义勇军进行曲》为国歌，为什么？

4、毛泽东在中国人民政治协商会议开幕词中说：“中国人民从此站起来了。”你能向同学们具体阐释一下吗？

5、为什么解放西藏要一方面进军，一方面力争和平解放？

第四篇：1-1物质的变化与性质导学案

 预习导学

一、物理变化和化学变化：

1、物理变化：没有生成 的变化。特征： 新物质生成。

伴随的现象是物质的 或 的改变。日常生活中的、、等都是物理变化。

2、化学变化（又叫）：生成 的变化。

特征： 新物质生成。日常生活中的、、等都是化学变化。在化学变化中通常伴有、、、、等现象。

3、二者之间的区别和联系：

区别：是否有 物质生成。

联系：化学变化中 伴随物理变化，物理变化中 伴随化学变化。

二、物理性质和化学性质：

1、化学性质：物质在 中表现出来的性质。如物质的 性、性、性、性、性、性等。

2、物理性质：物质不需要发生 就表现出来的性质。如物质的、、、、、、、、、等。

3、二者区别：此性质是否通过化学变化体现出来。

4、物质的变化和性质的区别：

叙述中有“能、会、易、是、具有”等一般叙述的是物质的性质；叙述中有“了、在”的一般为物质的变化。

 基础过关

1、下列变化是物理变化的是，是化学变化的是.①钢筋弯曲 ②钢铁生锈 ③食物腐烂 ④鞭炮爆炸 ⑤车胎爆炸 ⑥雪融化 ⑦灯泡通电 ⑧绿色植物的光合作用 ⑨人和动物的呼吸作用。

２、厨房里发生的下列变化不属于化学变化的是（）

Ａ煤气燃烧

Ｂ铁锅生锈

Ｃ开水沸腾

Ｄ蔬菜腐烂

３、我国有着丰富灿烂的民族文化，古诗词是古人为我们留下的宝贵精神财富。下列诗句描述的变化有化学变化的是（）

A.千里冰封，万里雪飘 B.野火烧不尽，春风吹又生 C.只要功夫深，铁棒磨成针 D.夜来风雨声，花落知多少

4、下列变化中，有一种与其它不同的是（）

A．消化食物

B．焚烧垃圾

C．冰块融化

D．西瓜腐烂

5、判断一种变化是不是化学变化的依据是（）Ａ看是否生成气体

Ｂ看是否放热发光

Ｃ看是否出现颜色变化

Ｄ看是否生成新物质

6、下列各物质性质中，属于物理性质的是（）A.酒精可以燃烧

B.白糖可溶于水 C.生石灰与水反应能变成熟石灰

D.铁在潮湿的空气中能生锈

7、下列性质属于化学性质的是（）

A氧气不易溶于水 B氮气是无色无味的气体 C纸张能在空气中燃烧 D酒精易挥发

8、下列四种性质中，有一种与其他三种有本质区别，这种性质是（）A.颜色 B.状态 C.硬度 D.可燃性

9、下列描述属于物理变化的是 ；是化学变化的是 ；是物理性质的是 ；是化学性质的是。

①二氧化碳能使澄清的石灰水变浑浊 ②钢铁生锈 ③电灯发光 ④冰雪融化 ⑤煤气燃烧 ⑥铜器上出现铜绿 ⑦镁能燃烧 ⑧氧化铜是黑色粉末

 能力提升

1、化学上把“生成新物质的变化叫做化学变化”，下面对化学变化中“新物质”的解释，正确的是（）

A．“新物质”就是在组成或结构上与变化前的物质不同的物质

B．“新物质”就是与变化前的物质在颜色、状态等方面有所不同的物质 C．“新物质”就是与变化前的物质在元素组成上不同的物质 D．“新物质”就是自然界中不存在的物质

2、下列四个短语中，其原意一定包含化学变化的是（）A.花香四溢 B.海市蜃楼 C.蜡烛成灰 D.木已成舟

3、阅读下列材料，用物理变化、化学变化、物理性质、化学性质四个概念填空。

硫是一种淡黄色的固体（属_______）；把块状的硫研碎（属_______）；取少量放入燃烧匙中，将其加热，硫融化成淡黄色液体（属_______），继续加热，硫在空气中燃烧（属_______），说明硫具有可燃性；硫在空气中易燃烧（属）。

4、酒精是一种无色、透明、具有特殊气味的液体，易挥发，能与水以任意比互溶。酒精易燃烧，因此常被用作酒精灯和汽车燃料，是一种绿色能源。当点燃酒精灯时，酒酒精在灯芯上汽化，且边汽化边燃烧，发出淡蓝色火焰，放出热量，生成水和二氧化碳。据上述描述，请你回答下列问题：

1)酒精的物理性质有。

2)酒精的化学性质有。

3)酒精发生的物理变化有。

4)酒精发生的化学变化有。

5)文中描述酒精发生化学反应现象有。

第五篇：高中物理 1.5速度变化快慢的描述——加速度学案

1.5速度变化快慢的描述——加速度(2)学案

【学习目标】

1.通过习题对加速度概念的进一步理解 2.通过v-t图像理解加速度

【重点难点】 从v-t图像看加速度 【知识梳理】

从v-t图像看加速度，右图中a、b两个物体哪个物体运动的加速度比较大？为什么？

【典型例题】

1.升降机提升重物时重物运动的，v-t 图象如图所示，利用该图象分析并求解以下问题：⑴物体在0s一8s，的时间内是怎样运动的？

⑵0-2s与5s一8s。内的加速度大小之比是多少？

2.如图所示为某物体做直线运动的v-t图象。试分析物体在各段时间内的运动情况并计算各阶段加速度的大小和方向。

3.如图所示，实线为两个在同一直线上运动的物体a和b的速度一时间图象，由图可以知道（）

A.两物体的速度方向相反，加速度方向也相反，a的加速度小于b的加速度

B.两物体的速度方向相反，加速度方向也相反，a的加速度大于b的加速度 C.两物体的速度方向相同，加速度方向相反，a的加速度大于b的加速度 D.两物体的速度方向相同，加速度方向相同，a的加速度大于b的加速度 【当堂训练】

1.如图所示的是质点A、B的速度-时间图像，根据图像判断下列说法正确（）

A．在t1 –t2 这段时间内，质点A比质点B速度增加的大，则aA＞aB

B．质点的速度由v1 增加到v2 ,质点A比质点B所用的时间少，则 aA ＜aB C．在任一时刻，质点A的速度都比质点B的速度大

D．质点A和B同时从静止开始沿同一方向做加速直线运动

2.某物体沿直线运动，其v-t图像如图所示，则下列说法中正确的是（）A．第3秒内和第5秒内速度方向相反 B．第3秒内和第5秒内加速度方向相反

C．第5秒内速度和加速度方向相反 D．第7秒内速度和加速度方向相反

3.如右图所示，是某质点运动的v-t图像，请回答：

⑴质点在图中各段的过程中做什么性质的运动？

4s 内、8 – 12s 内质点的加速度各是多少？

⑶ 质点在5 s 末的速度是多大？

4．小球V1 = 3 m/s 的速度水平向右运动，碰一墙壁经Δt = 0.01s后以V2= 2m/s 的速度沿同一直线反向弹回（如右图所示），求： 小球在这0.01s内的平均加速度 ？

5．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s,1s后速度的大小变为10m/s,在这1s内该物体的（）

A.速度变化的大小可能小于4 m/s B.速度变化的大小可能大于10m/s C．加速度的大小可能小于4 m/s2 D．加速度的大小可能大于10 m/s2 6．关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是（）

A.速度变化的越大，加速度就越大 B．速度变化的越快，加速度就越大

C．加速度方向保持不变，速度方向也保持不变 D．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小 7．由加速度的定义式a=Δv/Δt可知（）A．加速度表示速度的增加量

B．加速度的方向就是速度变化的方向 C.加速度的大小表示速度变化的快慢

D．加速度的大小表示单位时间内速度变化的大小，又叫速度变化率

8．足球以8 m/s的速度飞来，运动员把它以12m/s的速度反向踢出，踢球时间为0.2s，设球飞来的方向为正方向，求足球在这段时间内的平均加速度？

9．有些国家的交管部门为了交通安全，特意制定死了死亡加速度为500g（g为重力加速度，取值为10 m/s）,以警示世人，意思是如果汽车的加速度超过此值，将有生命危险。这么大的加速度，一般车辆正常行驶时是达不到的，但是如果发生交通事故时，将会达到这一数值。若两辆摩托车各以36㎞/h 的速度相向行驶，发生碰撞，碰撞时间为1.2×10-3 s.试判断驾驶员是否有生命危险。2