选修2-2
1.1
第1课时
变化率问题
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx()
A．大于零
B．小于零
C．等于零
D．不等于零
[答案] D
[解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为()
A．3
B．0.29
C．2.09
D．2.9
[答案] D
[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为＝＝2.9，故应选D.4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为()
A．2
B．2.3
C．2.09
D．2.1
[答案] B
[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.∴kAB＝＝＝2.3，故应选B.5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为()
A．2－Δx
B．－2－Δx
C．2＋Δx
D．(Δx)2－2·Δx
[答案] B
[解析] ∵f(2)＝－22＋2×2＝0，∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)
＝－2Δx－(Δx)2，∴＝－2－Δx，故应选B.6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于()
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
[答案] C
[解析] ＝
＝＝2＋Δx.故应选C.7．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()
A．6.3
B．36.3
C．3.3
D．9.3
[答案] A
[解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速度＝＝＝6.3，故应选A.8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是()
A．④
B．③
C．②
D．①
[答案] B
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是()
A．v0
B.C.D.[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.10．已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()
A.B.C.D.[答案] C
[解析] 点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝(Δx＋1)2，故应选C.二、填空题
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.[答案](Δx)2＋6Δx＋12
[解析] ＝
＝
＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
[答案] －
[解析] ＝＝－＝－.13．函数y＝在x＝1附近，当Δx＝时的平均变化率为________．
[答案] －2
[解析] ＝＝＝－2.14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx＝1时，割线AB的斜率
k1＝＝＝＝5.当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
k2＝＝＝4.1.三、解答题
15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
[解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为
＝2.函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
＝－2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为
＝－2.16．过曲线f(x)＝的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx＝时割线的斜率．
[解析] 割线AB的斜率k＝＝
＝＝＝－.17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？
[解析] 在x＝2附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.对任意Δx有，k1＜k2＜k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大．
18．(2010·杭州高二检测)路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．
[解析](1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝f(x)＝x.(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为
x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝.所以＝＝.即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为.
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