高中数学第二讲五与圆有关的比例线段互动课堂学案新人教A版选修

第一篇：高中数学第二讲五与圆有关的比例线段互动课堂学案新人教A版选修

五 与圆有关的比例线段

互动课堂

重难突破

一、相交弦定理

1.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.图2-5-1 2.定理的证明:如图2-5-1,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内的一点P. 求证:PA·PB＝PC·PD.

证明:连结AC、BD,则由圆周角定理有∠B =∠C. 又∵∠BPD =∠CPA, ∴△APC∽△DPB. ∴PA∶PD ＝PC∶PB, 即PA·PB ＝PC·PD.

当然,连结AD、BC也能利用同样道理证得同样结论.3.由于在问题的证明中,⊙O的弦AB、CD是任意的,因此,PA·PB＝PC·PD成立,表明“过定圆内一定点P的弦,被P点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点P的弦有无数多条,然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦,如过点P的最长或最短的弦,通过它们可以找到定值.

图2-5-2

如图2-5-2（1）,考察动弦AB,若AB过⊙O的圆心O,则AB为过点P的最长的弦,设⊙O的半径为R,则PA·PB＝（R－OP）（R＋OP）.

如图2-5-2（2）,考察过点P的弦中最短的弦,AB为过⊙O内一点P的直径,CD为过点P2且垂直于AB的弦,显然,由垂直定理和相交弦定理,应有PA·PB＝PC·PD＝(CD)＝OC－

212OP2＝R2－OP2.

由于⊙O是定圆,P为⊙O内一定点,故⊙O的半径R与OP的长为定值.设OP＝d,比较上

22述两式,其结论是一致的,即PA·PB＝（R-d）(R +d)=R-d,为定值.

于是,相交弦定理可进一步表述为:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积为一定量,它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值,这个定值与点P的位置有关,对圆内不同的点P,一般来说,定值是不同的,即这个定值是相对于定点P与定圆O而言的.

同时,由第二式可直接得到相交弦定理的推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是

它分直径所成的两条线段的比例中项,即PC＝PD＝PA·PB.

二、割线定理与切割线定理

1.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.2.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

2图2-5-3

23.符号语言表述:如图2-5-3,PA·PB=PC·PD =PE.4.定理的证明:连结EC、ED,由于PE为切线,所以∠PEC=∠PDE.又因为∠EPC=∠EPC,于

2是△PEC∽△PDE,因此有PE∶PC =PD∶PE,即PE=PC·PD.

2同理,有PE=PA·PB,所以PA·PB =PC·PD.5.应注意的两点:（1）所有线段,都有一个公共端点P,而另一端点在圆上;（2）等积式左右两边的线段,分别在同一条割线上.三、切线长定理

1.我们知道,过圆外一点可以引两条直线与圆相切,在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一条线段的长,而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线,而切线长是切线上一条线段的长,属于切线的一部分.2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.图2-5-4

3.切线长定理及其应用:因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据.如图2-5-4,PA、PB是⊙O外点P向圆作的两条切线,切点为A、B,那么有PA =PB,∠OAP =∠OBP.4.由切线长定理,可以得到圆外切四边形的一个重要性质:圆的外切四边形的两组对边和相等.利用这一性质可以方便地解决许多问题.

四、刨根问底

问题1相交弦定理、割线定理、切割线定理在表述形式上非常类似,定理中都涉及到两条线段的积相等,那么这些定理有什么内在联系？定理中两条线段的积能确定具体数值吗？

探究:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理统称为圆幂定理,圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于

22切线可看作是两条交点重合的割线）.两条线段的长的积是常数PA·PB＝|R－d|,其中d为

22定点P到圆心O的距离.若P在圆内,d＜R,则该常数为R－d;若P在圆上,d＝R,则该常数为0;若P在圆外,d＞R,则该常数为d2－R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点.

在实际应用中,见圆中有两条弦相交想到相交弦定理;见到切线与一条割线相交则想到切割线定理;若有两条切线相交则想到切线长定理,并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.问题2与圆有关的比例线段问题涉及相似三角形、相交弦定理、切割线定理、比例的性质等若干内容,大都是综合性的问题,那么通常我们怎样证明这些比例式？在证明时有什么诀窍吗？

探究:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其证法大致可分以下几种:(1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题.

2(2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a＝bc时,如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换.

2(3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a＝bc时,如果其中有三条线段共线,不妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试.

(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直接运用有关定理,不妨就寻找“中间比”进行代换试试.

与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.活学巧用

【例1】过不在⊙O上的一点A作直线,交⊙O于B、C两点,且AB·AC＝64,OA＝10,则⊙O的半径等于.

思路解析:点A不在⊙O上,有两种情况:（1）点A在⊙O内;（2）点A在⊙O外. 答案:分两种情况讨论:

图2-5-5

（1）当点A在⊙O内部时,如图2-5-5(1)所示.作直线OA交⊙O于E、F,设⊙O的半径为r, 则AE＝r－10,AF＝r＋10.由相交弦定理得(r－10)(r＋10)＝64.

解得r1241, r2241(不合题意,舍去).∴r241.（2）当点A在⊙O的外部时,延长AO交⊙O于F,设⊙O的半径为R, 由切割线定理的推论得AB·AC＝AE·AF,即64＝(10－R)(10＋R).解得R1＝6,R2＝－6（不合题意,舍去）.∴R＝6.

综上所述,⊙O的半径为241或6.【例2】如图2-5-6,已知PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点,PD⊥AB于D,PD、AO的延长线相交于E,连结CE并延长交⊙O于F,连结AF.

图2-5-6

（1）求证:△PBD∽△PEC;（2）若AB＝12,tan∠EAF＝

2,求⊙O的半径. 32,所以需构造直3思路解析:在（1）中,要证相似的两个三角形已经有一个角相等,只要再证其夹边对应成比例即可,而这可由△PAD∽△PEA得到;在（2）中,已知tan∠EAF＝角三角形,从而运用三角函数求解.

2(1)证明:由切割线定理,得PA＝PB·PC.

2由△PAD∽△PEA,得PA＝PD·PE,

∴PB·PC＝PD·PE.又∠BPD为公共角, ∴△PBD∽△PEC.

(2)解:作OG⊥AB于G,由△PBD∽△PEC可得∠CEP＝∠F, ∴PE∥AF.又OG⊥AB于G,∴AG ＝

1AB＝6.2262,又=,∴OG＝9.3OG32∴OG∥ED∥FA.∴∠AOG＝∠EAF.Rt△AOG中,tan∠AOG＝22由勾股定理,AG+OG＝AO, ∴AO117＝313. ∴⊙O半径长为313.【例3】 如图2-5-7,∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于D和E,延长AC交过D、E、C三点的圆于点F.

图2-5-7

（1）求证:EF＝ED·EA;

（2）若AE＝6,EF＝3,求AF·AC的值.

2思路解析:（1）要证EF＝ED·EA,只需证△AEF∽△FED.（2）由于AC·AF＝AD·AE,而由（1）可求得DE,因而AD可以求出来,从而计算出AD·AE,即为AC·AF的值.(1)证明:连结CE、DF.

∵∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠1＝∠3,∴∠2＝∠4.

2∵∠AEF＝∠FED,∴△AEF∽△FED.∴EFAE2=.∴EF=ED·EA. EDFE2(2)解:由（1）知EF＝AE·ED.

39.∴AD. 229∴AC·AF =AD·AE =627.2∵EF =3,AE =6,∴ED【例4】 如图2-5-8,已知PA为⊙O的切线,PBD为⊙O的割线,交⊙O于B、D两点,C为AB22中点,PC的延长线交AD于E.求证:PA∶PB=DE∶EA.

图2-5-8

222思路解析:此题涉及平方比问题,我们应设法化去平方比PA∶PB,由于PA=PB·PD,故可以用这一结论直接化去平方比. 证明:过B作BM∥AD,交PC于点M,

PA2PBPDPD∵PA=PB·PD,∴= =. 22PBPBPB2∵C为AB中点,∴BC =AC. ∵BM∥AE,∴AE =BM,且

PDDE=. PBBMPA2DEPDDE∴=.∴=.2PBAEPBAE【例5】 如图2-5-9,已知PA切⊙O于A,割线PCB交⊙O于C、B两点.

图2-5-9 AC2PC(1)求证: =.

PBAB2(2)若Q为弧BC中点,AQ交BC于D点.求证:

PBSABD =. SACDPD思路解析:(1)利用相似三角形面积的关系;(2)利用两个三角形的边DB、DC上的高相等.证明:(1)∵PA切⊙O于A,∴∠CAP=∠B, 又∠APC=∠BPA,∴△ACP∽△BAP.

SACPAC2SACPPA2∴=.又=, 22SBAPABSBAPPBAC2PC且PA=PC·PB,∴=. 2ABPB2(2)∵Q为弧BC中点,∴∠BAD =∠DAC. 又∵∠CAP =∠B,∴∠DAP =∠ADC. ∴PA =PD.

在△ABC中,∵∠BAD =∠DAC, ∴

ABBDABBDS=.∴ABD= =.

ACDCACSACDDCABPB=. ACPA又△ACP∽△BAP,∴∴ABPBPBS=.∴ABD=.ACPDSACDPD

第二篇：高中数学平行线分线段成比例定理教案 新人教A版选修4

海南省文昌中学高中数学选修四：平行线分线段成比例定理 教案

教学目的：

1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。

教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。教学过程：

（一）旧知识的复习

利用投影仪提出下列各题使学生解答。1．求出下列各式中的x：y。（1）3x=5y；（2）x=2y；（3）3：2=：；（4）3：=5：。32．已知

zxyz7,求。3．已知,求。

2342x3yz2其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。

（二）新知识的教学

1．提出问题，使学生思考。

在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？ 而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E是AB中点，EF//BC，交AC于F点，AEAF1，并EBFC1AE1，指出此定理也可谓：如果E是△ABC的AB边上一点，且

EB1AEAE1。EF//BC交AC于F点，那么

EBFC1则AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出

2．引导学生探索与讨论。

就着上述结论提出，在△ABC中，EF//BC这个条件不变，但时，AE1AE2不等于，譬如=EB1EB3AF应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑FC板上画出的相应图观察、明确。

而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。

继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1的定理，学生答出定理——过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出问题：

在梯形ABCD中，EF//BC的条件不变，但E不是AB的中点，仍如AE2DF2=，那么是否也等于？ EB3FC3而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图3）。

就图3的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含EF的延长线），也得到AE2AF==（补足图3中的比例式）。EB3FC3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明，首先引导学生就图

1、图2回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题：对于图3的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图3中梯形的各线段，得出图4，并使观察、试述出：

三条平行线l1//l2//l3在直线k1、k2上截出线段A1A2、A2A3、B1B2、B2B3，如果A1A22BB2AABB=，那么12=，即12=12。A2A33B2B33A2A3B2B3

继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。进一步提出：并概括为：

三条平行线l1//l2//l3在直线k1、k2上截出线段A1A2、A2A3、B1B2、B2B3，那么A1A2mBBm=（m、n为自然数），那么怎样证明12=？并使学生试证，A2A3nB2B3nA1A2B1B2=。A2A3B2B3在此基础上，教师提出问题：由

A1A2B1B2=，利用比例的性质还可得到哪些比例式？A2A3B2B3（A2A3B2B3AABB=，12=12，等）A1A2B1B2A1A3B1B3引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。

最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应线段”的使用，并以正反之例予以明确。

（三）应用举例

例1（1）已知：如图5，l1//l2//l3，AB=3，DF=2，EF=4，求BC。（2）已知：如图6，l1//l2//l3，AB=3，BC=5，DB=4.5，求BF。

（3）已知：如图7，l1//l2//l3，AB=3，BC=5，DF=10，求DE。（4）已知：如图8，l1//l2//l3，AB=a，BC=b，DF=c，求EF。

其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其口答。

例2．已知线段PQ，PQ上求一点D，使PD：DQ=4：1。

先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足，最后使他们实践。

（四）小结

1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行线等分线段定理来解决的。

2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应线段，否则就会产生错误。

（五）布置作业

第210页第1题；第216页第1题；第218页第3题；

补充（1）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PD：PQ=4：1；（2）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PQ：DQ=4：1

教案说明

1． 教学内容的编排，是在参照课本编排的基础上，作了适当变动，参照课本中的反映的由特殊到一般的精神，结合学生对“过三角一边中点且平行另一边的直线平分第三边”这个定理已有深刻印象，以及常不把1：1归结为“比”中的缺陷，便以经例的观点分析学生熟知的这个定理出发，而后由1：1发展到2：3问题；再由三角形发展到梯形问题；再继而发展到一般的“平行线分线段成比例”定理；最后再作“初步证明”，以取得更加符合认知规律以及学习心理特征的“由近及远”的教学效果。

2．教学过程是以《大纲》中“重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养”，“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心”，“坚持启发式，反对注入式”等规定的精神，结合教材特点，以及学生的学习基础和学习特征而设计的，由于内容较为简单，经过适当引导，便可使学习充分参与认知过程，由于“新”知识与有关的“旧”知识的联系较为直接，并且是特殊与一般的关系，在教学中则着力引导联想和概括的过程。

第三篇：高中数学《数学归纳法》学案1 新人教A版选修2-2

数学归纳法的典型例题分析

例1 用数学归纳法证明等式

时所有自然数 都成立。

证明（1）当

（2）假设当

时，左式，右式

时等式成立，等式成立。

即

则

则

时，等式也成立。

均成立。

时等式成立时，注意分析

与的两

由（1）（2）可知，等式对

评述 在利用归纳假设论证

个等式的差别。

变到

时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由

应与

合并，才能得到所证式。因而，因此在证明中，右式中的在论证之前，把

时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。

用心爱心专心 1

由例1可以看出，在数学归纳法证明过程中，要把握好两个关键之外：一是

系；二是

与的关系。

与 的关

例2 用数学归纳法证明

对任意自然数，证明（ⅰ）当

时，能被17整除，命题成立。

（ⅱ）设

则

时，由归纳假设，能被17整除，也能被17整除，所以

都能被17整除。

用

表示。上例中的能被17整除。

时，能被17整除。

都能被17整除。

由（ⅰ）（ⅱ）可知，对任意

评述 用数学归纳法证明整除问题，常常把

还可写成，易知它能被17整除。例3 用数学归纳法证明

…

用心爱心专心 2

证明（ⅰ）当

时，左式

右式

∵

∴

即

时，原不等式成立。

（ⅱ）假设

（）时，不等式成立，即

则

时，左边

右边

要证左边 右边

只要证

只要证

只要证

而上式显然成立，所以原不等式成立。即

时，左式 右式

由（ⅰ）（ⅱ）可知，原不等式对大于1的自然数均成立。用心爱心专心 3

评述 用数学归纳法证明不等式时，应分析

与的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式的方法。如上题，关键是证明不等式

。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。

例4 在数列

中，若它的前 项和

（）

1）计算，，；

2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论。

解（1）由题意，即

∴

即

∴

即

∴

∴

（2）猜想

证明 ⅰ）

时，命题成立。

ⅱ）假设

时，命题成立，即

当

时，∴

用心爱心专心 4

又

因而

解得

即

时，命题也成立。

由ⅰ）ⅱ）可知，命题对

均成立。

用心爱心 专心5

第四篇：高中数学 《几何证明选讲》测试题 新人教A版选修4-1

人教（A）版选修4-1《几何证明选讲》综合复习

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作

圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()

A.15B.30C.45D.60

【解析】由弦切角定理得DCAB60,又ADl,故DAC30,FGHG11，∴FGCG．∴CF3FG． CGDG22

在Rt△FBC中，∵CF3FG，BFFG，由勾股定理，得CF2BF2BC2．

．∴FG3． ∴(3FG)2FG22．解得FG3（负值舍去）

［或取CG的中点H，连结DH，则CG2HG．易证△AFC≌△DHC，∴FGHG，CDCG2FG2CF3FG．D∥FB∴．故CG2FG，由G，易知△CDG∽△CBF，CBCF3FG3

2，解得BDRt△CFB中，由勾股定理，得

3解得BD

∴BDFH∵．］(3FG)2FG22，∴FG3（舍去负值）

22.(本小题满分14分)

ACBC如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分．ABAC

割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,SS如果12,那么称直线l为该图形的黄金分割线.SS1

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗?为什么?

(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.5

S四边形AFGDS△DGES△AEF，S△BDCS四边形BEFC． S△ADCS△BDCS△AEFS四边形BEFC又因为，所以S△ABCS△ADCS△ABCS△AEF因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（6

第五篇：高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案 新人教A版选修1-2

§2.2.1综合法和分析法(二)

.2.根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.4850

复习1：综合法是由导;

复习2：基本不等式:

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：分析法

问题：

ab如何证明基本不等式(a0,b0)

2新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示

要点：逆推证法；执果索因

※ 典型例题

例

1变式：求证

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体SABC中,SA面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AFSC.变式：设a,b,c为一个三角形的三边,s1

2(abc),且s22ab,试证s2a.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※ 动手试试

练1.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2.设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab

三、总结提升

※ 学习小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立.※ 知识拓展

证明过程中分析法和综合法的区别:

在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.,其中最合理的是

A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法

ba2.不等式①x233x;②2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正确

3.已知yx0,且xy1,那么

xyxyA.xy2xyB.2xyxy 22

xyxyC.x2xyyD.x2xyy 22

2224.若a,b,cR,则abcabbcac.5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(ba0),则其浓度为;若再加入m千克的白糖(m0),糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式:.1.已知ab0,(ab)2ab(ab)2

求证

:.8a28b

2.设a,bR,且ab,求证:a3b3a2bab2