第一篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第17讲 线段与角
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
全国数学竞赛辅导(八年级)教学案全集-第十一讲 线段与角
线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用．
小明做作业需要买一些文具．在他家的左边200米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？
在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？
钟表是大家熟悉的计时工具，你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与分针成90°角？
我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会．
例1 已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米(cm)，求AD的长(如图1－6)．
分析 线段EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD的长了．
解 因为AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD 9等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位，则AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而
EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，例2 在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图1－7)．
分析 因为是在直线上取C点，因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左侧．
解 若C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为AC=2厘米，N为 AC中点，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5厘米．则
MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图1－7(a))．
若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上)，此时
MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 1－7(b))．
线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短．
例3 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？
分析 将河流看作直线l(如图1－9所示)．设羊群在河边的饮水点为C＇，则羊群行走路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇，由对称性知C＇A＇=C＇A．
因此，羊群行走的路程为
A＇C＇+C＇B．
线段A＇C＇与 C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点A＇与点B之间的线中，线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点．
解 作A关于直线l的对称点A＇．连结B，A＇，并设线段BA＇与l交于C．设C＇是l上不同于C的另外一点，只要证明
AC＇+C＇B＞AC+CB ①
即可．
利用线段基本性质及点关于直线的对称性知
AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇，所以
AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B，AC+CB=CA＇+CB=A＇B．
而C＇A＇与C＇B是连结A＇，B的折线，而A＇B则是连结这两点之间的线段，所以
C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB，从而①成立，即选择C点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短．
例4 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．
分析 设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图 1－10)，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，因此，AB＜BC+CD+DE+EA．
如果AB是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围．
解 设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为(10-x)厘米．由线段基本性质知x＜10-x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．
例5 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．
分析 这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念，概念清楚了，问题不难解决．
解 设这个角为α，则这个角的余角为90°-α，这个角的补角为180°-α．依照题意，这两个角的比为
(90°-α)∶(180°-α)=2∶7．
所以
360°-2α=630°-7α，5α=270°，所以α=54°．从而，这个角的邻补角为
180°-54°=126°．
例6 若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？
分析 解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动
解 在2点30分时，时钟的分针指向数字6；在2点50分时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了
4×30°=120°．
在钟表中，有很多有关分针、时针的转角问题．解决这类问题的关
倍)．
例7时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图1－11)？
分析 在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差 5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度(是它的12倍)，因此，总有一刻，分针“追上”时针(即两者重合)．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．
解 如分析，在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了(150°+α)．因为分钟转速是时针的12倍，所以
150°+α=12α，说明 钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度．
下面再看一例．
例8 在4点与5点之间，时针与分针在何时
(1)成120°(图1－12)；
(2)成90°(图1－12)．
分析与解(1)在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合(夹角为0°)．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大(此时，分针在时针的前面)．
直到两针夹角又一次成为120°，这个时间正是我们所要求的．
设时针顺时针转过a角后，时针与分针(分针在时钟前)成120°，则
12a=120°+a+120°，由于时针每转过30°(如从指向数字4转到指向数字5)相当于1
经过了
(2)如图1－13(a)，(b)所示．
由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况 ：
(i)时针在分针之前(如图1－13(a))．设时针转了a角，分针转了12a角，有
120°+α=90°+12α，所以
11α=30°，用时
(ii)时针在分针之后(如图1－13(b))，此时，有关系
12α-α=120°+90°，11α=210°，用时
时，时针与分针成90°．
间
说明 由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解．
练习十一
1．如图1－14所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．
2．如图1－15所示．A2，A3是线段A1A4上两点，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求线段A1A4上所有线段之和．
3．如图1－16所示．两个相邻墙面上有A，B两点，现要从A点沿墙面拉一线到B点．问应怎样拉线用线最省？
4．互补的两角之差是28°，求其中一个角的余角．
5．如图1－17所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4．
6．在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？
7．在4点到6点之间，时针与分针何时成120°角？
第二篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第32讲 自测题
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第三十二讲 自测题
自测题一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c为三角形的三边长，且满足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，试确定这个三角形的形状．
3．已知a，b，c，d均为自然数，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整数，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的两个根为a和b，求a＋b＋c的值．
5．设E，F分别为AC，AB的中点，D为BC上的任一点，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四边形ABCD中，如果一组对角(∠A，∠C)相等时，另一组对角(∠B，∠D)的平分线存在什么关系？
7．如图2-194所示．△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如图2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．
9．某服装市场，每件衬衫零售价为70元，为了促销，采用以下几种优惠方式：购买2件130元；购满5件者，每件以零售价的九折出售；购买7件者送1件．某人要买6件，问有几种购物方案(必要时，可与另一购买2件者搭帮，但要兼顾双方的利益)？哪种方案花钱最少？
自测题二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．对于集合
p={x丨x是1到100的整数}
中的元素a，b，如果a除以b的余数用符号
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的个数；
(2)用列举法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，试求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有两个整数根．
(1)求证：这两个整数根一个是奇数，一个是偶数；
(2)求证：a是负偶数；
(3)当方程的两整数根同号时，求a的值及这两个根．
5．证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．
7．如图2-196所示．AD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE是角平分线，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求证：
8．如图2-197所示．AD是锐角△ABC的高，O是AD上任意一点，连BO，OC并分别延长交AC，AB于E，F，连结DE，DF．求证：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要课外图书200本，乙校需要课外图书240本，某书店门市部A可供应150本，门市部B可供应290本．如果平均每本书的运费如下表，考虑到学校的利益，如何安排调运，才能使学校支出的运费最少？
自测题三
2．对于任意实数k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．
4．如图2-198．ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q，R．求证：
5．如图2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．
6．如图2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周8．求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y-1．
9．某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．
(1)现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？
(2)若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？
(3)若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？
自测题四
1．求多项式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．设
试求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如图2-201所示．在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O，过O作边BC，AB的平行线交AB，BC于F，E，又在 EO上取一点P．CP与OF交于Q．求证：BP∥DQ．
4．若a，b，c为有理数，且等式成立，则a=b=c=0 ．
5．如图2-202所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．
6．证明：由数字0，1，2，3，4，5所组成的不重复六位数不可能被11整除．
7．设x1，x2，…，x9均为正整数，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
当x1+x2+…+x5的值最大时，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙两个工作部门，假日去不同景点旅游，总共有m人参加，甲部门平均每人花费120元，乙部门每人花费110元，该公司去旅游的总共花去2250元，问甲乙两部门各去了多少人？
9．(1)已知如图2-203，四边形ABCD内接于圆，过AD上一点E引直线EF∥AC交BA延长线于F．求证：
FA·BC=AE·CD．
(2)当E点移动到D点时，命题(1)将会怎样？
(3)当E点在AD的延长线上时又会怎样？
自测题五
2．关于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．设x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC内，∠B=2∠C．求证：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，则4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a，b，c是三个自然数，且满足
abc＝a＋b＋c，求证：a，b，c只能是1，2，3中的一个．
7．如图2-204所示．AD是△ABC的BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD．求证：AC=2AE．
8．设AD是△ABC的中线，(1)求证：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)当A点在BC上时，将怎样？
按沿河距离计算，B离A的距离AC=40千米，如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸上的D点，从B点筑一条公路到D，才能使A到B的运费最省？
第三篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第31讲 复习题
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第三十一讲复习题
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
为任意正数，证明1＜s＜2.7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．
8．求分式 的值．
9．已知：
求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知实数x，y满足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．
15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．
16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．
17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．
18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．
19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．
20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：
CD=CE．
21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：
22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四边形ABCD中，求证：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：
25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性质的最小正整数n：
(1)它以数字6结尾；
(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．
27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，„，81这 81个数任意排列为：a1，a2，a3，„，a81．计算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，„，丨a79-a80＋a81丨；
再将这27个数任意排列为b1，b2，„，b27，计算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，„，丨b25-b26＋b27丨．
如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．
32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．
34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．
35．求证：当p，q为奇数时，方程
x2＋px＋q=0
无整数根．
36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．
37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？
40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？
41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=4mn，又将怎样？
42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？
43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写“有票”，3个签上写“无票”，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？
45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：
白日依山尽，黄河入海流． 欲穷千里目，更上一层楼．
按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．
46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？
47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？
48．要在一条河边修一座水塔，以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？
49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？
50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：
(1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；
(2)求出关于x的函数y的表达式，(3)求当x＝500克时，y的长度．
第四篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第08讲平行四边形
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第八讲平行四边形
平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．
由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
(1)平行四边形对角相等；
(2)平行四边形对边相等；
(3)平行四边形对角线互相平分．
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例1 如图2-32所示．在EF与MN互相平分．
ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：
分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．
证 因为ABCD是平行四边形，所以
AD
BC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①
又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②
由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．
分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．
证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而
△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面证明四边形EHCF是平行四边形．
因为AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
从而
EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以
FC=EH=AE．
说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．
人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．
例3 如图2-34所示．∠EMC=3∠BEM．
ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．
证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知
∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，则
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
从而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．
分析 只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．
证 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：
分析 作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．
证 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，从而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，从而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．
分析 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．
证 因为DEBD=FD，所以
BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
练习十二
1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．
3．如图2-40所示．CB于E．求证：BE=CF．
ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交
4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．
5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
第五篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第21讲 分类与讨论
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第二十一讲 分类与讨论
分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始．
有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？
因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论．
任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个．
上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论．
分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论．
例1 求方程
x2-│2x-1│-4=0 的实根．
x2+2x-1-4=0，x2-2x＋1-4=0，x1＝3，x2=-1．
说明 在去绝对值时，常常要分类讨论．
例2 解方程x2-[x]=2，其中[x]是不超过x的最大整数．
解 由[x]的定义，可得
x≥[x]=x2-2，所以 x2-x-2≤0，解此不等式得
-1≤x≤2．
现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解．
(1)当-1≤x≤0时，原方程为
x2-(-1)=2，所以x=-1(因x=1不满足-1≤x＜0)．
(2)当0≤x＜1时，原方程为
x2=2．
(3)当1≤x＜2时，原方程为
x2-1=2，所以
(4)当x=2时，满足原方程．
例3 a是实数，解方程
x│x+1│+a=0．
分析 方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更加复杂化了．对这种问题，宜讨论x的取值范围来求解．
解(1)当x＜-1时，原方程变形为
x2＋x-a=0．①
当△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0时，①的解为
(2)当x≥-1时，原方程为
x2＋x＋a=0．②
又x≥-1，即
综上所述，可得：当a＜0时，原方程的解为
例5 已知三角形中两角之和为n，最大角比最小角大24°，求n的取值范围．
解 设三角形的三个角度数分别是α，β，γ，且有α≥β≥γ． 由题设α-γ=24．
(1)若β+γ=n，则α=180°-n，γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．
所以
156°-n≤2n-156°≤180°-n，所以 104°≤n≤112°．
(2)若α＋γ=n，则β=180°-n，于是
所以
所以 112°≤n≤128°．
(3)若α＋β=n，则γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-α=2n-204°．于是
180°-n≤2n-204°≤204°-n，所以 128°≤n≤136°．
综上所述，n的取值范围是104°≤n≤136°．
例6 证明：若p是大于5的质数，则p2-1是24的倍数．
分析 关于整数的问题，我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论，有时也把整数按模3分成三类：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根据问题的需要，把整数按模n来分类．本题我们按模6来分类．
证 把正整数按模6分类，可分成6类：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大于5的质数，故p只能属于6k+1，6k+5这两类．
当p=6k＋1时，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．
因k，3k＋1中必有一个偶数，此时24│p2-1．
当p=6k＋5时，p2-1=36k2＋60k＋24
＝12k2＋12k
=12k(k＋1)≡0(mod 24)．
所以，P2-1是24的倍数．
例7 证明
A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z
＝4max｛x，y，z｝，其中max｛x，y，z｝表示x，y，z这三个数中的最大者．
分析 欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果x为x，y，z中的最大者，即证A=4x，依次再考虑y，z是它们中的最大值便可证得．
证(1)当x≥y，x≥z时，A=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x.(2)当y≥z，y≥x时，A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y．
(3)当z≥x，z≥y时，因为
│x-y│＋x＋y=max｛x，y｝≤2z，所以
A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．
从而 A=4max｛x，y，z｝．
例8 在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行，求两个小矩形周长和的最大值．
解 两个小矩形的放置情况有如下几种：
(2)两个小矩形都“横放”，如图2-124及图2-125所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是
2(a＋3a)＋2[1-a＋3(1-a)]＝8．
(3)两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图2-126，这时两个小矩形的周长和为
练习二十一
1．解不等式：│x+1│＋│x│＜2．
2．解关于x的不等式：a(ax-1)＞x-1.3．解方程：││x-3│-2│=a．
4．解方程：x2-2[x]-3=0．
6．设等腰三角形的一腰与底边分别是方程x2-bx＋a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．
7．x，y都是自然数，求证：x2+y+1和y2＋4x＋3的值不能同时是完全平方．
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