第一篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第12讲 平行线问题
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第十二讲平行线问题
平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．
正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．
正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．
现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．
在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．
例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°
．
分析 由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=
过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．
证 过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以
∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．
因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以
又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以
∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”
由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．
例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．
分析 本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即
∠A1+∠A2=∠B1． ①
猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．
证 过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)．
因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而
∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，所以
∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．
说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有
∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．
(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．
进一步可以推广为
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋„-∠Bn-1+∠An=0．
这时，连结A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，„，Bn-1An(当然，仍要保持 AA1∥BAn)．
推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．
(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．
问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？
问题2 如图1－25所示．若
∠A1+∠A2+„+∠An=∠B1+∠B2+„+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？
这两个问题请同学加以思考．
例3 如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．
分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．
解 过F到 FG∥CB，交 AB于G，则
∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．
因为 AE∥BD，所以
∠1=∠BFA(内错角相等)，所以
∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．
说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．
(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即
∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．
例4 求证：三角形内角之和等于180°．
分析平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．
证 如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则
∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．
显然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．
说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．
例5 求证：四边形内角和等于360°．
分析 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．
证 如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．
∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．
(2)总结例
3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：
三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．
人们不禁会猜想：
五边形内角和=(5-2)×180°=540°，„„„„„„„„„„ n边形内角和=(n-2)×180°．
这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．
(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．
例6 如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．
分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．
证 过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以
∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．
又∠1+∠2=180°，所以
∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．
A，B，C三点共线．
思考 若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，„，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，„，n-1)．是否还有同样的结论？
例7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．
求证：∠3=∠B．
分析 如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．
证 因为∠1=∠2，所以
AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
因为∠D=90°及EF⊥CD，所以
AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．
所以 BC∥EF(平行公理)，所以
∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．
练习十二
1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．
2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．
3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？
4．证明：五边形内角和等于540°．
5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．
第二篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第32讲 自测题
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第三十二讲 自测题
自测题一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c为三角形的三边长，且满足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，试确定这个三角形的形状．
3．已知a，b，c，d均为自然数，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整数，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的两个根为a和b，求a＋b＋c的值．
5．设E，F分别为AC，AB的中点，D为BC上的任一点，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四边形ABCD中，如果一组对角(∠A，∠C)相等时，另一组对角(∠B，∠D)的平分线存在什么关系？
7．如图2-194所示．△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如图2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．
9．某服装市场，每件衬衫零售价为70元，为了促销，采用以下几种优惠方式：购买2件130元；购满5件者，每件以零售价的九折出售；购买7件者送1件．某人要买6件，问有几种购物方案(必要时，可与另一购买2件者搭帮，但要兼顾双方的利益)？哪种方案花钱最少？
自测题二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．对于集合
p={x丨x是1到100的整数}
中的元素a，b，如果a除以b的余数用符号
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的个数；
(2)用列举法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，试求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有两个整数根．
(1)求证：这两个整数根一个是奇数，一个是偶数；
(2)求证：a是负偶数；
(3)当方程的两整数根同号时，求a的值及这两个根．
5．证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．
7．如图2-196所示．AD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE是角平分线，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求证：
8．如图2-197所示．AD是锐角△ABC的高，O是AD上任意一点，连BO，OC并分别延长交AC，AB于E，F，连结DE，DF．求证：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要课外图书200本，乙校需要课外图书240本，某书店门市部A可供应150本，门市部B可供应290本．如果平均每本书的运费如下表，考虑到学校的利益，如何安排调运，才能使学校支出的运费最少？
自测题三
2．对于任意实数k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．
4．如图2-198．ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q，R．求证：
5．如图2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．
6．如图2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周8．求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y-1．
9．某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．
(1)现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？
(2)若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？
(3)若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？
自测题四
1．求多项式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．设
试求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如图2-201所示．在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O，过O作边BC，AB的平行线交AB，BC于F，E，又在 EO上取一点P．CP与OF交于Q．求证：BP∥DQ．
4．若a，b，c为有理数，且等式成立，则a=b=c=0 ．
5．如图2-202所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．
6．证明：由数字0，1，2，3，4，5所组成的不重复六位数不可能被11整除．
7．设x1，x2，…，x9均为正整数，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
当x1+x2+…+x5的值最大时，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙两个工作部门，假日去不同景点旅游，总共有m人参加，甲部门平均每人花费120元，乙部门每人花费110元，该公司去旅游的总共花去2250元，问甲乙两部门各去了多少人？
9．(1)已知如图2-203，四边形ABCD内接于圆，过AD上一点E引直线EF∥AC交BA延长线于F．求证：
FA·BC=AE·CD．
(2)当E点移动到D点时，命题(1)将会怎样？
(3)当E点在AD的延长线上时又会怎样？
自测题五
2．关于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．设x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC内，∠B=2∠C．求证：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，则4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a，b，c是三个自然数，且满足
abc＝a＋b＋c，求证：a，b，c只能是1，2，3中的一个．
7．如图2-204所示．AD是△ABC的BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD．求证：AC=2AE．
8．设AD是△ABC的中线，(1)求证：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)当A点在BC上时，将怎样？
按沿河距离计算，B离A的距离AC=40千米，如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸上的D点，从B点筑一条公路到D，才能使A到B的运费最省？
第三篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第31讲 复习题
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第三十一讲复习题
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
为任意正数，证明1＜s＜2.7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．
8．求分式 的值．
9．已知：
求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知实数x，y满足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．
15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．
16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．
17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．
18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．
19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．
20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：
CD=CE．
21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：
22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四边形ABCD中，求证：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：
25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性质的最小正整数n：
(1)它以数字6结尾；
(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．
27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，„，81这 81个数任意排列为：a1，a2，a3，„，a81．计算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，„，丨a79-a80＋a81丨；
再将这27个数任意排列为b1，b2，„，b27，计算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，„，丨b25-b26＋b27丨．
如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．
32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．
34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．
35．求证：当p，q为奇数时，方程
x2＋px＋q=0
无整数根．
36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．
37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？
40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？
41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=4mn，又将怎样？
42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？
43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写“有票”，3个签上写“无票”，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？
45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：
白日依山尽，黄河入海流． 欲穷千里目，更上一层楼．
按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．
46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？
47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？
48．要在一条河边修一座水塔，以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？
49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？
50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：
(1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；
(2)求出关于x的函数y的表达式，(3)求当x＝500克时，y的长度．
第四篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第08讲平行四边形
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第八讲平行四边形
平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．
由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
(1)平行四边形对角相等；
(2)平行四边形对边相等；
(3)平行四边形对角线互相平分．
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例1 如图2-32所示．在EF与MN互相平分．
ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：
分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．
证 因为ABCD是平行四边形，所以
AD
BC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①
又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②
由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．
分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．
证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而
△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面证明四边形EHCF是平行四边形．
因为AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
从而
EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以
FC=EH=AE．
说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．
人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．
例3 如图2-34所示．∠EMC=3∠BEM．
ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．
证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知
∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，则
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
从而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．
分析 只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．
证 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：
分析 作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．
证 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，从而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，从而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．
分析 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．
证 因为DEBD=FD，所以
BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
练习十二
1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．
3．如图2-40所示．CB于E．求证：BE=CF．
ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交
4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．
5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
第五篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第23讲 几何不等式
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第二十三讲 几何不等式
平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．
在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．
几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．
定理1 在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．
定理2 同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．
定理3 在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．
定理4 三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．
定理5 自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．
说明 如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知
PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以
PA2-PB2=HA2-HB2．
从而定理容易得证．
定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有
PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．
说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而
PA≤max｛AB，AC｝．
同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．
例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．
证 在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则
BH＞BM=MC＞HC．
如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．
例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．
(1)求证：
＜a＋b＋c；
(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：
PA+PB＋PC＜2．
证(1)由三角形两边之和大于第三边得
PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得
又由定理4可知
PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．
把它们相加，再除以2，便得
PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．
所以
(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是
PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以
PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC
=AB＋AE＋EC=2．
例3 如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．
证 在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC
=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．
由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以
DC＋BF=AC=AB．
在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．
在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．
由定理3，∠1＞∠2，所以
AE＞DE．
例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：
分析 在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所
为边的三角形．
证 如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则
在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以
∠GCM=∠MGC．
而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是
∠MGC＞45°，所以
∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．
由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故
例5 如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：
(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；
(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．
证(1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以
OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．
又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以
BX＞XS=OC′．
同理
CY＞OB′．
所以
OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．
所以
OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′
≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝
=max｛AA′，BB′，CC′｝
下面我们举几个与角有关的不等式问题．
例6 在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．
证 在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．
在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以
∠ACB＞∠ABC．
说明 在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．
证 由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2
即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．
又 CD＞BC-BD，所以
BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．
从而命题得证．
例8 在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．
证 作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以
于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．
延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以
AN=BC＜AB，从而
∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．
下面是一个非常著名的问题——费马点问题．
例9 如图2-145．设O为△ABC内一点，且
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点(不是O)．求证：
PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．
证 过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为
∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．
设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式
S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1
知
所以 h=ha＋hb＋hc．
这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以
OA＋OB＋OC=h=定值．
显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以
PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．
这就是我们所要证的结论．
由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．
练习二十三
1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．
2．AM是△ABC的中线，求证：
3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．
4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．
5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：
AB+CF≥AC＋BE．
6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：
PB-PC＞AB-AC．
7．在等腰△ABC中，AB=AC．
(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．
(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．
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