全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第10讲 整式的乘法与除法[教育]

第一篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第10讲 整式的乘法与除法[教育]

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第十讲 整式的乘法与除法

中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．

整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．

正整数指数幂的运算法则：

(1)aM· an=aM+n；(2)(ab)n=anbn；

(3)(aM)n=aMn；(4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)；

常用的乘法公式：

(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；

(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；

(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．

例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数 ．

解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有

(1-x)3=1-3x+3x2-x3，所以x2项的系数为3．

说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．

(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．

解 原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)

=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)

=13x-7=9-7=2．

说明 注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．

例3 化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．

解 原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-

1+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n

=1+(-x)n．

说明 本例可推广为一个一般的形式：

(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn．

例4 计算

(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；

(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．

分析与解(1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．

原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2

=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．

(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但

x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2

与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．

原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3

=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．

例5 设x，y，z为实数，且

(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2

=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，解 先将已知条件化简：

左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．

所以已知条件变形为

2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，即

(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．

因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以

说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．

我们把形如

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．

多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．

例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．

解法1 用普通的竖式除法

解法2 用待定系数法．

由于f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首

r(x)= bx+ c．

根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得

x3-3x2-x-1

比较两端系数，得

例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．

解 由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设

f(x)=x4+ax2-bx+2，假如f(x)能被x2+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即

1+a+b+2=0，①

当x=-2时，f(-2)=0，即

16+4a+2b+2=0，②

由①，②联立，则有

练习十

1．计算：

(1)(a-2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；

(2)(x+y)4(x-y)4；

(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．

2．化简：

(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；

(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；

(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．

3．已知z2=x2+y2，化简

(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．

4．设f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．

第二篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第18讲 归纳与发现

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第十八讲 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，„这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．

第一层有点数：1； 第二层有点数：1×6； 第三层有点数：2×6； 第四层有点数：3×6；

„„

第n层有点数：(n-1)×6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为

例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

(2)这n个圆共有多少个交点？

分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，„„

由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋„＋n，因为S1=2，所以

下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

由表18．2容易发现

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，„„

an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n个式子相加

注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．

例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，„．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．

这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，„，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，„，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

例4 设1×2×3ׄ×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋„＋n！×n.分析与解 先观察特殊情况：

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证明这个猜想的正确性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+„+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+„+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋„+n！×n

=2！×3+3！×3+„＋n！×n

=3！+3！×3+„+n！×n＝„

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

设x=100，则有x3＞x2+x+2．

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样

(1)当x=2时，x3=x2+x+2；

(2)当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即

x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．

分析 先由特例入手，注意到

例7 已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上(如图2—101)．

(2)当上述条件中比值为3，4，„，n时(n为自然数)，那S么S四边形EFGH与S四边形ABCD之比是多少？

∥AC交DA于M点．由平行截割定理易知

G引GM

(2)设

当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表18．5.观察表18．5中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现：当k=n(自然数)时有

以上推测是完全正确的，证明留给读者．

练习十八

1．试证明例7中：

2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

(1)这n条直线共有多少个交点？

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

然后做出证明.)

4．求适合x5=656356768的整数x．

(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝

第三篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第32讲 自测题

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第三十二讲 自测题

自测题一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c为三角形的三边长，且满足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，试确定这个三角形的形状．

3．已知a，b，c，d均为自然数，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整数，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的两个根为a和b，求a＋b＋c的值．

5．设E，F分别为AC，AB的中点，D为BC上的任一点，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四边形ABCD中，如果一组对角(∠A，∠C)相等时，另一组对角(∠B，∠D)的平分线存在什么关系？

7．如图2-194所示．△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如图2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．

9．某服装市场，每件衬衫零售价为70元，为了促销，采用以下几种优惠方式：购买2件130元；购满5件者，每件以零售价的九折出售；购买7件者送1件．某人要买6件，问有几种购物方案(必要时，可与另一购买2件者搭帮，但要兼顾双方的利益)？哪种方案花钱最少？

自测题二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．对于集合

p={x丨x是1到100的整数}

中的元素a，b，如果a除以b的余数用符号表示．例如17除以4，商是4，余数是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余数是3，即表示成<3，7>=3．试回答下列问题：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的个数；

(2)用列举法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，试求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有两个整数根．

(1)求证：这两个整数根一个是奇数，一个是偶数；

(2)求证：a是负偶数；

(3)当方程的两整数根同号时，求a的值及这两个根．

5．证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．

7．如图2-196所示．AD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE是角平分线，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求证：

8．如图2-197所示．AD是锐角△ABC的高，O是AD上任意一点，连BO，OC并分别延长交AC，AB于E，F，连结DE，DF．求证：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要课外图书200本，乙校需要课外图书240本，某书店门市部A可供应150本，门市部B可供应290本．如果平均每本书的运费如下表，考虑到学校的利益，如何安排调运，才能使学校支出的运费最少？

自测题三

2．对于任意实数k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．

4．如图2-198．ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q，R．求证：

5．如图2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．

6．如图2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周8．求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y-1．

9．某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．

(1)现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？

(2)若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？

(3)若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？

自测题四

1．求多项式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．设

试求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如图2-201所示．在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O，过O作边BC，AB的平行线交AB，BC于F，E，又在 EO上取一点P．CP与OF交于Q．求证：BP∥DQ．

4．若a，b，c为有理数，且等式成立，则a=b=c=0 ．

5．如图2-202所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．

6．证明：由数字0，1，2，3，4，5所组成的不重复六位数不可能被11整除．

7．设x1，x2，…，x9均为正整数，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

当x1+x2+…+x5的值最大时，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙两个工作部门，假日去不同景点旅游，总共有m人参加，甲部门平均每人花费120元，乙部门每人花费110元，该公司去旅游的总共花去2250元，问甲乙两部门各去了多少人？

9．(1)已知如图2-203，四边形ABCD内接于圆，过AD上一点E引直线EF∥AC交BA延长线于F．求证：

FA·BC=AE·CD．

(2)当E点移动到D点时，命题(1)将会怎样？

(3)当E点在AD的延长线上时又会怎样？

自测题五

2．关于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．设x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC内，∠B=2∠C．求证：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，则4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a，b，c是三个自然数，且满足

abc＝a＋b＋c，求证：a，b，c只能是1，2，3中的一个．

7．如图2-204所示．AD是△ABC的BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD．求证：AC=2AE．

8．设AD是△ABC的中线，(1)求证：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)当A点在BC上时，将怎样？

按沿河距离计算，B离A的距离AC=40千米，如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸上的D点，从B点筑一条公路到D，才能使A到B的运费最省？

第四篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第31讲 复习题

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第三十一讲复习题

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

为任意正数，证明1＜s＜2.7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．

8．求分式 的值．

9．已知：

求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知实数x，y满足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．

15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．

16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．

17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．

18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．

19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．

20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：

CD=CE．

21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：

22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四边形ABCD中，求证：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：

25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性质的最小正整数n：

(1)它以数字6结尾；

(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．

27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，„，81这 81个数任意排列为：a1，a2，a3，„，a81．计算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，„，丨a79-a80＋a81丨；

再将这27个数任意排列为b1，b2，„，b27，计算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，„，丨b25-b26＋b27丨．

如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．

32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．

34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．

35．求证：当p，q为奇数时，方程

x2＋px＋q=0

无整数根．

36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．

37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？

40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？

41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=4mn，又将怎样？

42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？

43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写“有票”，3个签上写“无票”，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？

45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：

白日依山尽，黄河入海流． 欲穷千里目，更上一层楼．

按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．

46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？

47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？

48．要在一条河边修一座水塔，以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？

49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？

50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：

(1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；

(2)求出关于x的函数y的表达式，(3)求当x＝500克时，y的长度．

第五篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第08讲平行四边形

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集

第八讲平行四边形

平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．

由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

(1)平行四边形对角相等；

(2)平行四边形对边相等；

(3)平行四边形对角线互相平分．

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：

(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

例1 如图2-32所示．在EF与MN互相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：

分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．

证 因为ABCD是平行四边形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．

例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．

分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．

证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面证明四边形EHCF是平行四边形．

因为AD∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

从而

EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以

FC=EH=AE．

说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．

人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．

例3 如图2-34所示．∠EMC=3∠BEM．

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：

分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．

证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，则

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

从而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．

分析 只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．

证 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：

分析 作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．

证 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

设正方形边长为a，在Rt△ADF中，从而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，从而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．

分析 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．

证 因为DEBD=FD，所以

BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又

所以 BC=GC=CD．

因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

练习十二

1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．

3．如图2-40所示．CB于E．求证：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交

4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．

5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分