第一篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第14讲 中位线及其应用
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第十四讲 中位线及其应用
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．
分析 由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．
解 由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以
由条件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米)，从而 AD=8(厘米)，由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以
BC=2EG=2×6=12(厘米)，显然，AD是BC上的高，所以
例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
(1)求证：GH∥BC；
(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．
分析 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．
(1)证 分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以
△ABG≌△MBG(ASA)．
从而，G是AM的中点．同理可证
△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即
HG∥BC．
(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以
AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
从而
MN=18-4-9=5(厘米)，说明(1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．
(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．
例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．
分析 由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′
与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．
证 连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而
A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以
AB⊥BC，BC∥PQ．
从而
AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以
A′C′=B′D′． ①
说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．
例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：
分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不
形中构造中位线，为此，取AD中点．
证 取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以
同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以
在△EFG中，EF＞EG-FG． ③
由①，②，③
例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．
分析 本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．
在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．
证 取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以
因为AD=AB+CD，所以
从而
∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而
∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．
例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：
AA1+EE1=FF1+DD1．
分析 显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．
证 连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，所以
即 AA1+EE1=FF1+DD1．
练习十四
1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．
2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．
3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．
4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．
5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．
6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．
7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC，E，F分别是AB，CD
第二篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第11讲 勾股定理与应用
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第十一讲 勾股定理与应用
在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理．
勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
a2+b2=c2．
勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形．
早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．
关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．
证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．
过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
所以 SAEML=b2． ①
同理可证 SBLMD=a2． ②
①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．
证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以
AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即
化简得 a2+b2=c2．
证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
设五边形ACKDE的面积为S，一方面
S=SABDE+2S△ABC，①
另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②
由①，②
所以 c2=a2+b2．
关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．
证(1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①
在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②
又
BD2=(BC-CD)2，③
②，③代入①得
AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)
2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD
=AC2+BC2-2BC·CD，即
c2=a2+b2-2a·CD． ④
(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤
在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥
又
BD2=(BC+CD)2，⑦
将⑥，⑦代入⑤得
AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD
=AC2+BC2+2BC·CD，即
c2=a2+b2+2a·cd． ⑧
综合④，⑧就是我们所需要的结论
特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：
c2=a2+b2．
因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；
(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；
(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．
例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．
分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以 AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以
AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
由①，②得
AB2=2FG2．
说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ①
在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ②
①+②，并注意到MB=MC，所以
AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
推论 △ABC的中线长公式：
说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．
例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．
分析 如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．
证 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，即
2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①
在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以
在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以
将②，③代入①得
=4PQ2+BD2，即
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
说明 本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．
例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．
分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．
证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以
AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．
如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：
4(AM2+BN2)=5AB2．
分析 由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．
证 连接MN，利用例4的结论，我们有
AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①
由于M，N是BC，AC的中点，所以
所以 4MN2=AB2． ②
由①，②
4(AM2+BN2)=5AB2．
说明 在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△=
高相ABM同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．
练习十一
1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：
(1)赵君卿图(图2-27)；
(2)项名达图(2-28)；
(3)杨作枚图(图2-29)．
2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．
(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)
3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：
AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．
4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．
5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：
BC2=AB·BF+AC·CE．
第三篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第32讲 自测题
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第三十二讲 自测题
自测题一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c为三角形的三边长，且满足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，试确定这个三角形的形状．
3．已知a，b，c，d均为自然数，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整数，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的两个根为a和b，求a＋b＋c的值．
5．设E，F分别为AC，AB的中点，D为BC上的任一点，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四边形ABCD中，如果一组对角(∠A，∠C)相等时，另一组对角(∠B，∠D)的平分线存在什么关系？
7．如图2-194所示．△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如图2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．
9．某服装市场，每件衬衫零售价为70元，为了促销，采用以下几种优惠方式：购买2件130元；购满5件者，每件以零售价的九折出售；购买7件者送1件．某人要买6件，问有几种购物方案(必要时，可与另一购买2件者搭帮，但要兼顾双方的利益)？哪种方案花钱最少？
自测题二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．对于集合
p={x丨x是1到100的整数}
中的元素a，b，如果a除以b的余数用符号
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的个数；
(2)用列举法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，试求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有两个整数根．
(1)求证：这两个整数根一个是奇数，一个是偶数；
(2)求证：a是负偶数；
(3)当方程的两整数根同号时，求a的值及这两个根．
5．证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．
7．如图2-196所示．AD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE是角平分线，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求证：
8．如图2-197所示．AD是锐角△ABC的高，O是AD上任意一点，连BO，OC并分别延长交AC，AB于E，F，连结DE，DF．求证：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要课外图书200本，乙校需要课外图书240本，某书店门市部A可供应150本，门市部B可供应290本．如果平均每本书的运费如下表，考虑到学校的利益，如何安排调运，才能使学校支出的运费最少？
自测题三
2．对于任意实数k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．
4．如图2-198．ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q，R．求证：
5．如图2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．
6．如图2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周8．求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y-1．
9．某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．
(1)现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？
(2)若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？
(3)若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？
自测题四
1．求多项式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．设
试求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如图2-201所示．在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O，过O作边BC，AB的平行线交AB，BC于F，E，又在 EO上取一点P．CP与OF交于Q．求证：BP∥DQ．
4．若a，b，c为有理数，且等式成立，则a=b=c=0 ．
5．如图2-202所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．
6．证明：由数字0，1，2，3，4，5所组成的不重复六位数不可能被11整除．
7．设x1，x2，…，x9均为正整数，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
当x1+x2+…+x5的值最大时，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙两个工作部门，假日去不同景点旅游，总共有m人参加，甲部门平均每人花费120元，乙部门每人花费110元，该公司去旅游的总共花去2250元，问甲乙两部门各去了多少人？
9．(1)已知如图2-203，四边形ABCD内接于圆，过AD上一点E引直线EF∥AC交BA延长线于F．求证：
FA·BC=AE·CD．
(2)当E点移动到D点时，命题(1)将会怎样？
(3)当E点在AD的延长线上时又会怎样？
自测题五
2．关于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．设x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC内，∠B=2∠C．求证：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，则4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a，b，c是三个自然数，且满足
abc＝a＋b＋c，求证：a，b，c只能是1，2，3中的一个．
7．如图2-204所示．AD是△ABC的BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD．求证：AC=2AE．
8．设AD是△ABC的中线，(1)求证：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)当A点在BC上时，将怎样？
按沿河距离计算，B离A的距离AC=40千米，如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸上的D点，从B点筑一条公路到D，才能使A到B的运费最省？
第四篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第31讲 复习题
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第三十一讲复习题
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
为任意正数，证明1＜s＜2.7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．
8．求分式 的值．
9．已知：
求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知实数x，y满足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．
15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．
16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．
17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．
18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．
19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．
20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：
CD=CE．
21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：
22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四边形ABCD中，求证：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：
25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性质的最小正整数n：
(1)它以数字6结尾；
(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．
27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，„，81这 81个数任意排列为：a1，a2，a3，„，a81．计算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，„，丨a79-a80＋a81丨；
再将这27个数任意排列为b1，b2，„，b27，计算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，„，丨b25-b26＋b27丨．
如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．
32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．
34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．
35．求证：当p，q为奇数时，方程
x2＋px＋q=0
无整数根．
36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．
37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？
40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？
41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=4mn，又将怎样？
42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？
43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写“有票”，3个签上写“无票”，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？
45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：
白日依山尽，黄河入海流． 欲穷千里目，更上一层楼．
按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．
46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？
47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？
48．要在一条河边修一座水塔，以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？
49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？
50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：
(1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；
(2)求出关于x的函数y的表达式，(3)求当x＝500克时，y的长度．
第五篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第08讲平行四边形
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第八讲平行四边形
平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．
由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
(1)平行四边形对角相等；
(2)平行四边形对边相等；
(3)平行四边形对角线互相平分．
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例1 如图2-32所示．在EF与MN互相平分．
ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：
分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．
证 因为ABCD是平行四边形，所以
AD
BC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①
又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②
由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．
分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．
证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而
△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面证明四边形EHCF是平行四边形．
因为AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
从而
EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以
FC=EH=AE．
说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．
人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．
例3 如图2-34所示．∠EMC=3∠BEM．
ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．
证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知
∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，则
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
从而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．
分析 只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．
证 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：
分析 作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．
证 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，从而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，从而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．
分析 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．
证 因为DEBD=FD，所以
BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
练习十二
1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．
3．如图2-40所示．CB于E．求证：BE=CF．
ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交
4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．
5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
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