第一篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第19讲 特殊化与一般化
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第十九讲 特殊化与一般化
特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．
另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地．
1．特殊化、一般化和类比推广
命题1 在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD2=AD·BD．
这是大家所熟知的直角三角形射影定理．
类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2．
命题2 在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的中线(图2-103)，则有CD=AD=BD．
这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=AD·BD)．
再类比，如果CD是∠C的平分线，将怎样？于是得到命题3．
命题3 在△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分线(图2-104)，则有
这是一个新命题，证明如下.引DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
因为
所以
我们把命题
1、命题
2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题．
命题4 在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一内分点(图2-105)，则有
证 引DF⊥AC于F，DE⊥BC于E．因为
CD2-BD2＝CE2-BE2=(CE-BE)BC，而
所以
所以
即
命题5 在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一外分点(图2—106)，则有
证 只要令命题4之结论中AD为-AD，则有
我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即│AD│=0)，那么无论是①式或②式都有
AB2=BC2+AC2.这就是我们熟知的勾股定理．
命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．
定理 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，时，取“-”号，∠B为钝角时，取“＋”号)．
证 我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B＜90°)．
为此，我们作图2-109，其中∠DBA=90°，CD=x，CE⊥DB于E，并设CE=n．由命题4，立得
得
所以
b2=a2+c2-2cn．
同理可证图2-108(∠B＞90°)的相应结论．
2．特殊化、一般化在解题中的应用
例1 设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且
求证：x2y2z2w2=1
分析与解 我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命
(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上，因为
又因为
到原命题，由
容易想到变形
去分母变形为
①×②×③×④，并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到
x2y2z2w2=1.例2 设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度(图2-110)．
解(1)先解一个特例(图2-111)．设只有两个圆轮⊙O1，⊙O2，2│O1O2│=l＇．显然，带动两轮转动的皮带长度为
s=l＇+2πR．
(2)再回到原题，我们猜想：
s=l＋2πR．
以下证实这个猜想是正确的．
为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为
由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．
事实上，引O1A＇3∥O2A3，由于O1A1∥O2A2，所以∠A1O1A＇
O1为圆心，以R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以
l＝A1A2＋A3A4＋A5A6＋A7A8．
所以，所求皮带长为
s=l＋2πR．
例3 设a1，a2，„，an都是正数．试证：
证 欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证
把②变形为
即证
由于④中左边有(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)，其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)之和即可．为此，我们证更简单的事实．
设a，b是任意正整数，则有
事实上，由(a-b)2≥0有
a2-ab≥ab-b2，根据⑤，④显然成立，因为
≥(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)≥0，从而③式成立，②式成立．
剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为
练习十九
1．如图2-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A＇，B＇，C＇，D＇．求证：
＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D．
2．在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A，或l交AB，BC等)，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明．
3．在题1中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA＇，BB＇，CC＇，DD＇只保持平行等)，那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明．
4．如果△ABC的周长为40米(m)，以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的长度．
第二篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第18讲 归纳与发现
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第十八讲 归纳与发现
归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．
例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，„这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？
分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．
第一层有点数：1； 第二层有点数：1×6； 第三层有点数：2×6； 第四层有点数：3×6；
„„
第n层有点数：(n-1)×6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为
例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：
(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？
(2)这n个圆共有多少个交点？
分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．
由表18．1易知
S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，„„
由此，不难推测
Sn-Sn-1＝n．
把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到
Sn-S1＝2＋3＋4＋„＋n，因为S1=2，所以
下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．
因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．
(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．
由表18．2容易发现
a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，„„
an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．
n个式子相加
注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．
例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？
分析与解 我们先来研究一些特殊情况：
(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，„．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．
(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．
这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．
(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．
这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．
通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，„，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，„，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
例4 设1×2×3ׄ×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋„＋n！×n.分析与解 先观察特殊情况：
(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；
(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；
(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；
(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．
由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证明这个猜想的正确性．
1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+„+n！×n)
=1！×2＋2！×2＋3！×3+„+n！×n
=2！+2！×2＋3！×3＋„+n！×n
=2！×3+3！×3+„＋n！×n
=3！+3！×3+„+n！×n＝„
=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．
分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有
x3＜x2+x+2．①
设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以
x3＞x2+x+2．②
设x=100，则有x3＞x2+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则
x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．
因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样
(1)当x=2时，x3=x2+x+2；
(2)当0＜x＜2时，因为
x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即
x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)当x＞2时，因为
x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即
x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．
综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．
分析 先由特例入手，注意到
例7 已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上(如图2—101)．
(2)当上述条件中比值为3，4，„，n时(n为自然数)，那S么S四边形EFGH与S四边形ABCD之比是多少？
∥AC交DA于M点．由平行截割定理易知
G引GM
(2)设
当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表18．5.观察表18．5中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现：当k=n(自然数)时有
以上推测是完全正确的，证明留给读者．
练习十八
1．试证明例7中：
2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：
(1)这n条直线共有多少个交点？
(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？
然后做出证明.)
4．求适合x5=656356768的整数x．
(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝
第三篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第32讲 自测题
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第三十二讲 自测题
自测题一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c为三角形的三边长，且满足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，试确定这个三角形的形状．
3．已知a，b，c，d均为自然数，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整数，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的两个根为a和b，求a＋b＋c的值．
5．设E，F分别为AC，AB的中点，D为BC上的任一点，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四边形ABCD中，如果一组对角(∠A，∠C)相等时，另一组对角(∠B，∠D)的平分线存在什么关系？
7．如图2-194所示．△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如图2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．
9．某服装市场，每件衬衫零售价为70元，为了促销，采用以下几种优惠方式：购买2件130元；购满5件者，每件以零售价的九折出售；购买7件者送1件．某人要买6件，问有几种购物方案(必要时，可与另一购买2件者搭帮，但要兼顾双方的利益)？哪种方案花钱最少？
自测题二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．对于集合
p={x丨x是1到100的整数}
中的元素a，b，如果a除以b的余数用符号
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的个数；
(2)用列举法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，试求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有两个整数根．
(1)求证：这两个整数根一个是奇数，一个是偶数；
(2)求证：a是负偶数；
(3)当方程的两整数根同号时，求a的值及这两个根．
5．证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．
7．如图2-196所示．AD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE是角平分线，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求证：
8．如图2-197所示．AD是锐角△ABC的高，O是AD上任意一点，连BO，OC并分别延长交AC，AB于E，F，连结DE，DF．求证：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要课外图书200本，乙校需要课外图书240本，某书店门市部A可供应150本，门市部B可供应290本．如果平均每本书的运费如下表，考虑到学校的利益，如何安排调运，才能使学校支出的运费最少？
自测题三
2．对于任意实数k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．
4．如图2-198．ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q，R．求证：
5．如图2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D引AB的平行线交BC于F．求证：BF=EC．
6．如图2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周8．求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y+12y-1．
9．某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．
(1)现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？
(2)若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？
(3)若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？
自测题四
1．求多项式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．设
试求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如图2-201所示．在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O，过O作边BC，AB的平行线交AB，BC于F，E，又在 EO上取一点P．CP与OF交于Q．求证：BP∥DQ．
4．若a，b，c为有理数，且等式成立，则a=b=c=0 ．
5．如图2-202所示．△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求△AMN的周长．
6．证明：由数字0，1，2，3，4，5所组成的不重复六位数不可能被11整除．
7．设x1，x2，…，x9均为正整数，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
当x1+x2+…+x5的值最大时，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙两个工作部门，假日去不同景点旅游，总共有m人参加，甲部门平均每人花费120元，乙部门每人花费110元，该公司去旅游的总共花去2250元，问甲乙两部门各去了多少人？
9．(1)已知如图2-203，四边形ABCD内接于圆，过AD上一点E引直线EF∥AC交BA延长线于F．求证：
FA·BC=AE·CD．
(2)当E点移动到D点时，命题(1)将会怎样？
(3)当E点在AD的延长线上时又会怎样？
自测题五
2．关于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．设x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC内，∠B=2∠C．求证：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，则4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a，b，c是三个自然数，且满足
abc＝a＋b＋c，求证：a，b，c只能是1，2，3中的一个．
7．如图2-204所示．AD是△ABC的BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD．求证：AC=2AE．
8．设AD是△ABC的中线，(1)求证：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)当A点在BC上时，将怎样？
按沿河距离计算，B离A的距离AC=40千米，如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸上的D点，从B点筑一条公路到D，才能使A到B的运费最省？
第四篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第31讲 复习题
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第三十一讲复习题
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
为任意正数，证明1＜s＜2.7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．
8．求分式 的值．
9．已知：
求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知实数x，y满足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．
15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．
16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．
17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．
18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．
19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．
20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：
CD=CE．
21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：
22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四边形ABCD中，求证：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：
25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性质的最小正整数n：
(1)它以数字6结尾；
(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．
27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，„，81这 81个数任意排列为：a1，a2，a3，„，a81．计算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，„，丨a79-a80＋a81丨；
再将这27个数任意排列为b1，b2，„，b27，计算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，„，丨b25-b26＋b27丨．
如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．
32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．
34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．
35．求证：当p，q为奇数时，方程
x2＋px＋q=0
无整数根．
36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．
37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？
40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？
41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=4mn，又将怎样？
42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？
43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写“有票”，3个签上写“无票”，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？
45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：
白日依山尽，黄河入海流． 欲穷千里目，更上一层楼．
按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．
46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？
47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？
48．要在一条河边修一座水塔，以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？
49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？
50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：
(1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；
(2)求出关于x的函数y的表达式，(3)求当x＝500克时，y的长度．
第五篇：全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第08讲平行四边形
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第八讲平行四边形
平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．
由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
(1)平行四边形对角相等；
(2)平行四边形对边相等；
(3)平行四边形对角线互相平分．
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例1 如图2-32所示．在EF与MN互相平分．
ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：
分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．
证 因为ABCD是平行四边形，所以
AD
BC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①
又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②
由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．
分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．
证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而
△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面证明四边形EHCF是平行四边形．
因为AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
从而
EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以
FC=EH=AE．
说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．
人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．
例3 如图2-34所示．∠EMC=3∠BEM．
ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．
证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知
∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，则
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
从而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．
分析 只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．
证 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：
分析 作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．
证 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，从而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，从而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．
分析 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．
证 因为DEBD=FD，所以
BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
练习十二
1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．
3．如图2-40所示．CB于E．求证：BE=CF．
ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交
4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．
5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
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