全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第22讲 面积问题与面积方法

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第一篇:全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第22讲 面积问题与面积方法

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集

第二十二讲 面积问题与面积方法

几何学的产生,源于人们测量土地面积的需要.面积不仅是几何学研究的一个重要内容,而且也是用来研究几何学的一个有力工具.

下面,我们把常用的一些面积公式和定理列举如下.

(1)三角形的面积

(i)三角形的面积公式

b+c)是半周长,r是△ABC的内切圆半径.

(ii)等底等高的两个三角形面积相等.

(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比;两个等高三角形的面积之比等于底边之比;两个三角形面积之比等于底、高乘积之比.

(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

(2)梯形的面积

梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半.

(3)扇形面积

其中r为半径,l为弧长,θ为弧l所对的圆心角的度数,α是弧度数.

1.有关图形面积的计算和证明

解 因为CD⊥AB,AC=CB,且△ABD内接于半圆,由此可得

所以,阴影部分AEFBDA的面积是

例2 已知凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为S1=5,S2=10,S3=6.求△ABO的面积(图2-128).

解 首先,我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比.过B,D分别作AC的垂线,垂足为E,F.于是Rt△BEO

由题设

设S△AOB=S,则

所以

例3 如图2-129,AD,BE,CF交于△ABC内的一点P,并将△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出.求△ABC的面积.

分析 如果能把未知的两个小三角形的面积求出,那么△ABC的面积即可得知.根据例1,这两个面积是不难求出的.

解 设未知的两个小三角形的面积为x和y,则

①÷②得

再由②得x=56.因此

S△ABC=84+70+56+35+40+30=315.

例4 如图2-130,通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线,这些直线分三角形为六个部分,已知三个平形四边形部分的面积为S1,S2,S3,求△ABC的面积.

解 为方便起见,设

S△QDG=S′1,S△QIE=S′2,S△QFH=S′3,则

所以

同理可得

从①,②,③中可以解得

所以

例5 在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形:将单位正方形的每一条边n等分,然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来.如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰

解 如图2-131,过F作BC的平行线交BG于H,则∠GHF=∠CED,∠FGH=∠DCE=90°,故

n2-n-90=0,所以n=10.

2.利用面积解题

有的平面几何问题,虽然没有直接涉及到面积,然而若灵活地运用面积知识去解答,往往会出奇制胜,事半功倍.

例6 在△ABC内部或边界上任取一点P,记P到三边a,b,c的距离依次为x,y,z.求证:ax+by+cz是一个常数.

证 如图2-132,连结PA,PB,PC,把△ABC分成三个小三角形,则

S△ABC=S△PAB+S△PCB+S△PCA

所以 ax+by+cz=2S△ABC,即ax+by+cz为常数.

说明 若△ABC为等边三角形,则

此即正三角形内一点到三边的距离和为常数,此常数是正三角形的高.

例7 如图2-133,设P是△ABC内任一点,AD,BE,CF是过点P且分别交边BC,CA,AB于D,E,F.求证:

证 首先,同例2类似,容易证明

说明 本例的结论很重要,在处理三角形内三条线交于一点的问题时,常常可以用这一结论去解决.

例8 如图2-134,已知D,E,F分别是锐角三角形ABC的三边BC,CA,AB上的点,且AD,BE,CF相交于点P,AP=BP=CP=6,设PD=x,PE=y,PF=z,若xy+yz+zx=28,求xyz的值.

解 由上题知

去分母整理得

3(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+324

=xyz+6(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+216,所以 xyz=108-3(xy+yz+zx)=24.

练习二十二

1.填空:

________.

(2)一个三角形的三边长都是整数,周长为8,则这个三角形的面积是________.

(3)四边形ABCD中,∠A=30°,∠B=∠D=90°,AB=AD,AC=1,则四边形ABCD的面积是______.

(4)梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于O.若S△ABO=p2,S△CDO=q2,则SABCD=____.

ABC

△=40.若BE,CD相交于F,则S△DEF=______.

2.E,F分别在矩形ABCD的边BC和CD上,若△CEF,△ABE,△ADF的面积分别是3,4,5,求△AEF的面积.

3.已知点P,Q,R分别在△ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求△ABC的面积的最大值.

4.在凸五边形ABCDE中,S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1,CE与AD相交于F,求S△CFD.

5.在直角三角形ABC中,∠A=90°,AD,AE分别是高和角平分线,且△ABE,△AED的面积分别为S1=30,S2=6,求△ADC的面积S.

6.设P是△ABC内一点,AD,BE,CF过点P并且交边BC,CA,AB于点D,E,F.求证:

7.已知△ABC中,DE∥BC交AB于D,交AC于E,AM为BC边上的中线,与DE相交于N,求证:DN=NE.

第二篇:全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第12讲平行线问题

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集

第十二讲平行线问题

平行线是我们日常生活中非常常见的图形.练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段.

正因为平行线在生活中的广泛应用,因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识.

正因为平行线在几何理论中的基础性,平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象.历史上关于平行公理的三种假设,产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何),它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用.

现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的:“在平面中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”.

在此基础上,我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理.下面我们举例说明这些知识的应用.

例1 如图 1-18,直线a∥b,直线 AB交 a与 b于 A,B,CA平分∠1,CB平分∠ 2,求证:∠C=90°

分析 由于a∥b,∠1,∠2是两个同侧内角,因此∠1+∠2=

过C点作直线 l,使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移.

证 过C点作直线l,使l∥a(图1-19).因为a∥b,所以b∥l,所以

∠1+∠2=180°(同侧内角互补).

因为AC平分∠1,BC平分∠2,所以

又∠3=∠CAE,∠4=∠CBF(内错角相等),所以

∠3+∠4=∠CAE+∠CBF

说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立,即“两条直线a,b被直线AB所截(如图1-20所示),CA,CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线,若∠C=90°,问直线a与直线b是否一定平行?”

由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不妨模仿原问题的解决方法来试解.

例2 如图1-21所示,AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2.

分析 本题对∠A1,∠A2,∠B1的大小并没有给出特定的数值,因此,答案显然与所给的三个角的大小无关.也就是说,不管∠A1,∠A2,∠B1的大小如何,答案应是确定的.我们从图形直观,有理由猜想答案大概是零,即

∠A1+∠A2=∠B1. ①

猜想,常常受到直观的启发,但猜想必须经过严格的证明.①式给我们一种启发,能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2.这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线,它将∠B1一分为二.

证 过B1引B1E∥AA1,它将∠A1B1A2分成两个角:∠1,∠2(如图1-22所示).

因为AA1∥BA2,所以B1E∥BA2.从而

∠1=∠A1,∠2=∠A2(内错角相等),所以

∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2,即 ∠A1-∠B1+∠A2=0.

说明(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于AA1∥BA2,它与连接A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图1-23所示.连接A1,A2之间的折线段增加到4条:A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有

∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.

(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.

进一步可以推广为

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+„-∠Bn-1+∠An=0.

这时,连结A1,An之间的折线段共有n段A1B1,B1A2,„,Bn-1An(当然,仍要保持 AA1∥BAn).

推广是一种发展自己思考能力的方法,有些简单的问题,如果抓住了问题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况.

(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题.

问题1 如图1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,问AA1与BA2是否平行?

问题2 如图1-25所示.若

∠A1+∠A2+„+∠An=∠B1+∠B2+„+∠Bn-1,问AA1与BAn是否平行?

这两个问题请同学加以思考.

例3 如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.

分析 利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如∠1=∠DFC或∠AFB.若能将∠1,∠2,∠C“集中”到一个顶点处,这是最理想不过的了,过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.

解 过F到 FG∥CB,交 AB于G,则

∠C=∠AFG(同位角相等),∠2=∠BFG(内错角相等).

因为 AE∥BD,所以

∠1=∠BFA(内错角相等),所以

∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°.

说明(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧.

(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:∠1=∠DFC=∠C+∠2,即

∠C=∠1-∠2=2∠2=50°.

例4 求证:三角形内角之和等于180°.

分析平角为180°.若能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简单的一种.

证 如图1-27所示,在△ABC中,过A引l∥BC,则

∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等).

显然 ∠1+∠BAC+∠2=平角,所以 ∠A+∠B+∠C=180°.

说明 事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论.如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法.

例5 求证:四边形内角和等于360°.

分析 应用例3类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角.在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程.

证 如图1-28所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE∥AD,BF∥CD,并延长 AB,CB到 H,G.则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等).

∠C=∠4(同位角相等),又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等).

由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°,所以

∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

说明(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.

(2)总结例

3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:

三角形内角和=180°=(3-2)×180°,四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°.

人们不禁会猜想:

五边形内角和=(5-2)×180°=540°,„„„„„„„„„„ n边形内角和=(n-2)×180°.

这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.

(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.

例6 如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求证: A,B,C三点在同一条直线上.

分析A,B,C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角,即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可,考虑到以直线l上任意一点为顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过B作与l相交的直线,就可将l上的平角转换到顶点B处.

证 过B作直线 BD,交l于D.因为AB∥l,CB∥l,所以

∠1=∠ABD,∠2=∠CBD(内错角相等).

又∠1+∠2=180°,所以

∠ABD+∠CBD=180°,即∠ABC=180°=平角.

A,B,C三点共线.

思考 若将问题加以推广:在l的同侧有n个点A1,A2,„,An-1,An,且有AiAi+1∥l(i=1,2,„,n-1).是否还有同样的结论?

例7 如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF⊥CD.

求证:∠3=∠B.

分析 如果∠3=∠B,则应需EF∥BC.又知∠1=∠2,则有BC∥AD.从而,应有EF∥AD.这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得.

证 因为∠1=∠2,所以

AD∥BC(内错角相等,两直线平行).

因为∠D=90°及EF⊥CD,所以

AD∥EF(同位角相等,两直线平行).

所以 BC∥EF(平行公理),所以

∠3=∠B(两直线平行,同位角相等).

练习十二

1.如图1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100°,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.

2.如图1-32所示.CD是∠ACB的平分线,∠ACB=40°,∠B=70°,DE∥BC.求∠EDC和∠BDC的度数.

3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°,∠DCE=60°,EF,EG三等分∠AEC.问:EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?

4.证明:五边形内角和等于540°.

5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.求证:EF平分∠DEB.

第三篇:全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第18讲 归纳与发现

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第十八讲 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法,也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段.这里的归纳指的是常用的经验归纳,也就是在求解数学问题时,首先从简单的特殊情况的观察入手,取得一些局部的经验结果,然后以这些经验作基础,分析概括这些经验的共同特征,从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法.下面举几个例题,以见一般.

例1 如图2-99,有一个六边形点阵,它的中心是一个点,算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,„这个六边形点阵共有n层,试问第n层有多少个点?这个点阵共有多少个点?

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点阵共有的点数.

第一层有点数:1; 第二层有点数:1×6; 第三层有点数:2×6; 第四层有点数:3×6;

„„

第n层有点数:(n-1)×6.因此,这个点阵的第n层有点(n-1)×6个.n层共有点数为

例2 在平面上有过同一点P,并且半径相等的n个圆,其中任何两个圆都有两个交点,任何三个圆除P点外无其他公共点,那么试问:

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域?

(2)这n个圆共有多少个交点?

分析与解(1)在图2-100中,设以P点为公共点的圆有1,2,3,4,5个(取这n个特定的圆),观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个?为此,我们列出表18.1.

由表18.1易知

S2-S1=2,S3-S2=3,S4-S3=4,S5-S4=5,„„

由此,不难推测

Sn-Sn-1=n.

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加,就得到

Sn-S1=2+3+4+„+n,因为S1=2,所以

下面对Sn-Sn-1=n,即Sn=Sn-1+n的正确性略作说明.

因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数,当再加上一个圆,即当n个圆过定点P时,这个加上去的圆必与前n-1个圆相交,所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-1+n.

(2)与(1)一样,同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此,可列出表18.2.

由表18.2容易发现

a1=1,a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,„„

an-1-an-2=n-2,an-an-1=n-1.

n个式子相加

注意 请读者说明an=an-1+(n-1)的正确性.

例3 设a,b,c表示三角形三边的长,它们都是自然数,其中a≤b≤c,如果 b=n(n是自然数),试问这样的三角形有多少个?

分析与解 我们先来研究一些特殊情况:

(1)设b=n=1,这时b=1,因为a≤b≤c,所以a=1,c可取1,2,3,„.若c=1,则得到一个三边都为1的等边三角形;若c≥2,由于a+b=2,那么a+b不大于第三边c,这时不可能由a,b,c构成三角形,可见,当b=n=1时,满足条件的三角形只有一个.

(2)设b=n=2,类似地可以列举各种情况如表18.3.

这时满足条件的三角形总数为:1+2=3.

(3)设b=n=3,类似地可得表18.4.

这时满足条件的三角形总数为:1+2+3=6.

通过上面这些特例不难发现,当b=n时,满足条件的三角形总数为:

这个猜想是正确的.因为当b=n时,a可取n个值(1,2,3,„,n),对应于a的每个值,不妨设a=k(1≤k≤n).由于b≤c<a+b,即n≤c<n+k,所以c可能取的值恰好有k个(n,n+1,n+2,„,n+k-1).所以,当b=n时,满足条件的三角形总数为:

例4 设1×2×3ׄ×n缩写为n!(称作n的阶乘),试化简:1!×1+2!×2+3!×3+„+n!×n.分析与解 先观察特殊情况:

(1)当n=1时,原式=1=(1+1)!-1;

(2)当n=2时,原式=5=(2+1)!-1;

(3)当n=3时,原式=23=(3+1)!-1;

(4)当n=4时,原式=119=(4+1)!-1.

由此做出一般归纳猜想:原式=(n+1)!-1.下面我们证明这个猜想的正确性.

1+原式=1+(1!×1+2!×2+3!×3+„+n!×n)

=1!×2+2!×2+3!×3+„+n!×n

=2!+2!×2+3!×3+„+n!×n

=2!×3+3!×3+„+n!×n

=3!+3!×3+„+n!×n=„

=n!+n!×n=(n+1)!,所以原式=(n+1)!-1.例5 设x>0,试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小.

分析与解 本题直接观察,不好做出归纳猜想,因此可设x等于某些特殊值,代入两式中做试验比较,或许能启发我们发现解题思路.为此,设x=0,显然有

x3<x2+x+2.①

设x=10,则有x3=1000,x2+x+2=112,所以

x3>x2+x+2.②

设x=100,则有x3>x2+x+2.

观察、比较①,②两式的条件和结论,可以发现:当x值较小时,x3<x2+x+2;当x值较大时,x3>x2+x+2.

那么自然会想到:当x=?时,x3=x2+x+2呢?如果这个方程得解,则它很可能就是本题得解的“临界点”.为此,设x3=x2+x+2,则

x3-x2-x-2=0,(x3-x2-2x)+(x-2)=0,(x-2)(x2+x+1)=0.

因为x>0,所以x2+x+1>0,所以x-2=0,所以x=2.这样

(1)当x=2时,x3=x2+x+2;

(2)当0<x<2时,因为

x-2<0,x2+x+2>0,所以(x-2)(x2+x+2)<0,即

x3-(x2+x+2)<0,所以 x3<x2+x+2.(3)当x>2时,因为

x-2>0,x2+x+2>0,所以(x-2)(x2+x+2)>0,即

x3-(x2+x+2)>0,所以 x3>x2+x+2.

综合归纳(1),(2),(3),就得到本题的解答.

分析 先由特例入手,注意到

例7 已知E,F,G,H各点分别在四边形ABCD的AB,BC,CD,DA边上(如图2—101).

(2)当上述条件中比值为3,4,„,n时(n为自然数),那S么S四边形EFGH与S四边形ABCD之比是多少?

∥AC交DA于M点.由平行截割定理易知

G引GM

(2)设

当k=3,4时,用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表18.5.观察表18.5中p,q的值与对应k值的变化关系,不难发现:当k=n(自然数)时有

以上推测是完全正确的,证明留给读者.

练习十八

1.试证明例7中:

2.平面上有n条直线,其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交),也没有三条或三条以上的直线通过同一点.试求:

(1)这n条直线共有多少个交点?

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域?

然后做出证明.)

4.求适合x5=656356768的整数x.

(提示:显然x不易直接求出,但可注意其取值范围:505<656356768<605,所以502<x<602.=

第四篇:全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第32讲 自测题

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集

第三十二讲 自测题

自测题一

1.分解因式:x4-x3+6x2-x+15.

2.已知a,b,c为三角形的三边长,且满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试确定这个三角形的形状.

3.已知a,b,c,d均为自然数,且

a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b的值.

4. a,b,c是整数,a≠0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为a和b,求a+b+c的值.

5.设E,F分别为AC,AB的中点,D为BC上的任一点,P在BF上,DP∥CF,Q在CE上,DQ∥BE,PQ交BE于R,交

6.四边形ABCD中,如果一组对角(∠A,∠C)相等时,另一组对角(∠B,∠D)的平分线存在什么关系?

7.如图2-194所示.△ABC中,D,E分别是边BC,AB上的点,且∠1=∠2=∠3.如果△ABC,△

8.如图2-195所示.△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连AN,CM交于P点.求∠APM的度数.

9.某服装市场,每件衬衫零售价为70元,为了促销,采用以下几种优惠方式:购买2件130元;购满5件者,每件以零售价的九折出售;购买7件者送1件.某人要买6件,问有几种购物方案(必要时,可与另一购买2件者搭帮,但要兼顾双方的利益)?哪种方案花钱最少?

自测题二

1.分解因式:(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox.

2.对于集合

p={x丨x是1到100的整数}

中的元素a,b,如果a除以b的余数用符号表示.例如17除以4,商是4,余数是1,就表示成<17,4>=1,3除以7,商是0,余数是3,即表示成<3,7>=3.试回答下列问题:

(1)本集合{x丨<78,x>=6,x∈p}中元素的个数;

(2)用列举法表示集合

{x丨==5,x∈P}.

3.已知:x+y+z=1,x2+y2+z2=2,x3+y3+z3=3,试求:(1)xyz的值;(2)x4+y4+z4的值.

4.已知方程x2-3x+a+4=0有两个整数根.

(1)求证:这两个整数根一个是奇数,一个是偶数;

(2)求证:a是负偶数;

(3)当方程的两整数根同号时,求a的值及这两个根.

5.证明:形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和.

7.如图2-196所示.AD是等腰三角形ABC底边上的中线,BE是角平分线,EF⊥BC,EG⊥BE且交BC于G.求证:

8.如图2-197所示.AD是锐角△ABC的高,O是AD上任意一点,连BO,OC并分别延长交AC,AB于E,F,连结DE,DF.求证:∠EDO=∠FDO.

9.甲校需要课外图书200本,乙校需要课外图书240本,某书店门市部A可供应150本,门市部B可供应290本.如果平均每本书的运费如下表,考虑到学校的利益,如何安排调运,才能使学校支出的运费最少?

自测题三

2.对于任意实数k,方程

(k2+1)x2-2(a+k)2x+k2+4k+b=0

总有一个根是1,试求实数a,b的值及另一个根的范围.

4.如图2-198.ABCD为圆内接四边形,从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P,并且分别交BC,BD于Q,R.求证:

5.如图2-199所示.在△ABC中∠C=90°,∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点,过D引AB的平行线交BC于F.求证:BF=EC.

6.如图2-200所示.△ABC中,AB>AC,作∠FBC=∠ECB=

7.已知三角形的一边是另一边的两倍,求证:它的最小边在它的周8.求最大的自然数x,使得对每一个自然数y,x能整除7y+12y-1.

9.某公园的门票规定为每人5元,团体票40元一张,每张团体票最多可入园10人.

(1)现有三个单位,游园人数分别为6,8,9.这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省?

(2)若三个单位的游园人数分别是16,18和19,又分别怎样买门票使总门票费最省?

(3)若游园人数为x人,你能找出一般买门票最省钱的规律吗?

自测题四

1.求多项式2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值.

2.设

试求:f(1)+f(3)+f(5)+…+f(1999).

3.如图2-201所示.在平行四边形ABCD的对角线BD上任取一点O,过O作边BC,AB的平行线交AB,BC于F,E,又在 EO上取一点P.CP与OF交于Q.求证:BP∥DQ.

4.若a,b,c为有理数,且等式成立,则a=b=c=0 .

5.如图2-202所示.△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB,AC于M,N,连接MN,求△AMN的周长.

6.证明:由数字0,1,2,3,4,5所组成的不重复六位数不可能被11整除.

7.设x1,x2,…,x9均为正整数,且

x1<x2<…<x9,x1+x2+…+x9=220.

当x1+x2+…+x5的值最大时,求x9-x1的值.

8.某公司有甲乙两个工作部门,假日去不同景点旅游,总共有m人参加,甲部门平均每人花费120元,乙部门每人花费110元,该公司去旅游的总共花去2250元,问甲乙两部门各去了多少人?

9.(1)已知如图2-203,四边形ABCD内接于圆,过AD上一点E引直线EF∥AC交BA延长线于F.求证:

FA·BC=AE·CD.

(2)当E点移动到D点时,命题(1)将会怎样?

(3)当E点在AD的延长线上时又会怎样?

自测题五

2.关于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m+1)=0有一根

3.设x+y=1,x2+y2=2,求x7+y7的值.

4.在三角形ABC内,∠B=2∠C.求证:b2=c2+ac.

5.若4x-y能被3整除,则4x2+7xy-2y2能被9整除.

6.a,b,c是三个自然数,且满足

abc=a+b+c,求证:a,b,c只能是1,2,3中的一个.

7.如图2-204所示.AD是△ABC的BC边上的中线,E是BD的中点,BA=BD.求证:AC=2AE.

8.设AD是△ABC的中线,(1)求证:AB2+AC2=2(AD2+BD2);

(2)当A点在BC上时,将怎样?

按沿河距离计算,B离A的距离AC=40千米,如果水路运费是公路运费的一半,应该怎样确定在河岸上的D点,从B点筑一条公路到D,才能使A到B的运费最省?

第五篇:全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第31讲 复习题

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集

第三十一讲复习题

1.分解因式:3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2.分解因式:(x2+xy+y2)(x2+xy+2y2)-12y4.

5.已知

求ab+cd的值.

为任意正数,证明1<s<2.7.设a,b是互不相等的正数,比较M,N的大小.

8.求分式 的值.

9.已知:

求证:px+qy+rz=(p+q+r)(x+y+z).

11.已知实数x,y满足等式

求x,y的值.

12.若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,求a∶b∶c.

13.解方程:x2+2x-3丨x+1丨+3=0.

14.已知三个二次方程x2-3x+a=0,2x2+ax-4=0,ax2+bx-3=0有公共解,试求整数a和整数b的值.

15.如图2-178所示.在△ABC中,过点B作∠A的平分线的垂线,足为D.DE∥AC交AB于E点.求证:E是AB的中点.

16.求证:直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数.

17.如图2-179所示.在△ABC中,延长BC至D,使CD=BC.若BC中点为E,AD=2AE,求证:AB=BC.

18.如图2-180所示.ABCD是平行四边形,BCGH及CDFE都是正方形.求证:AC⊥EG.

19.证明:梯形对角线中点的连线平行于底,并且等于两底差的一半.

20.如图2-181所示.梯形ABCD中,∠ADC=90°,∠AEC=3∠BAE,AB∥CD,E是 BC的中点.求证:

CD=CE.

21.如图2-182所示.梯形ABCD中,AD∥BC(AD<BC),AC和BD交于M,EF过M且平行于AD,EC和FB交于N,GH过N且平行于AD.求证:

22.如图2-183所示.在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,P是CD延长线上的一点,PM交AC于Q.求证:∠QNM=∠MNP.

23.在(凸)四边形ABCD中,求证:

AC·BD≤AB·CD+AD·BC.

24.如图2-184所示.AD是等腰△ABC底边BC上的高,BM与BN是∠B的三等分角线,分别交AD于M,N点,连CN并延长交AB于E.求证:

25.已知n是正整数,且n2-71能被7n+55整除,求n的值.

26.求具有下列性质的最小正整数n:

(1)它以数字6结尾;

(2)如果把数字6移到第一位之前,所得的数是原数的4倍.

27.求出整数n,它的2倍被3除余1,3倍被5除余2,5倍被7除余3.

28.把 1,2,3,„,81这 81个数任意排列为:a1,a2,a3,„,a81.计算

丨a1-a2+a3丨,丨a4-a5+a6丨,„,丨a79-a80+a81丨;

再将这27个数任意排列为b1,b2,„,b27,计算

丨b1-b2+b3丨,丨b4-b5+b6丨,„,丨b25-b26+b27丨.

如此继续下去,最后得到一个数x,问x是奇数还是偶数?

29.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,30.设凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC⊥BD,已知OA>OC,OB>OD,求证:

BC+AD>AB+CD.

31.如图2-185.在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别在AB和DC上,EF∥BC,EF平分梯形ABCD的面积,若AD=a,BC=b,求EF的长.

32.四边形ABCD的面积为1,M为AD的中点,N为BC的中点,的面积.

33.已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的两实根x1,x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5,求实数m的取值范围.

34.求所有的正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根.

35.求证:当p,q为奇数时,方程

x2+px+q=0

无整数根.

36.如图2-186.已知圆中四弦AB,BD,DC,CA分别等于a,b,c,d(且cd>ab).过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E,求BE之长.

37.设A={2,x,y},B={2,x,y2},其中x,y是整数,并且A∩B={2,4},A∪B={2,x,2x,16x},求x,y的值.

38.在梯形ABCD中,与两条平行底边平行的直线和两腰AB,CD交于P,Q(图2-187).如果AP∶PB=m∶n,那么PQ的值如何用m,n,AD,BC表示?

39.在平行四边形ABCD中,设∠A,∠B,∠C,∠D的平分线两两相交的交点分别为P,Q,R,S,那么四边形PQRS是什么图形?如果原来的四边形ABCD是矩形,那么四边形PQRS又是什么图形?

40.在直角三角形ABC中,以边AB,BC,AC为对应边分别作三个相似三角形,那么这三个相似三角形面积之间有什么关系?

41.如果三角形的三边用m2+n2,m2-n2,2mn来表示,那么这个三角形的形状如何?如果m2+n2=4mn,又将怎样?

42.在圆柱形容器中装水,当水的高度为6厘米时,重4.4千克,水高为10厘米时,重6.8千克,试用图像表示水高为0~10厘米时,水高与重量之间的关系,并预测当水高为8厘米时,水重为多少千克?

43.有7张电影票,10个人抽签,为此先做好10个签,其中7个签上写“有票”,3个签上写“无票”,然后10个人排好队按顺序抽签.问第一人与第二人抽到的可能性是否相同?

44.在直径为50毫米(mm)的铁板中,铳出四个互相外切,并且同样大小的垫圈(图2-188),那么垫圈的最大直径是多少?

45.唐代诗人王之涣的著名诗篇:

白日依山尽,黄河入海流. 欲穷千里目,更上一层楼.

按诗人的想象,要看到千里之外的景物,需要站在多高的建筑物上呢?试化成数学问题加以解释.

46.在一个池塘中,一棵水草AC垂直水面,AB为水草在水面上的部分,如图2-189,问如何利用这根水草测出水深?

47.在一条运河的两侧有两个村子A,B,河的两岸基本上是平行线.现在要在河上架一座桥与河岸垂直,以便使两岸居民互相往来,那么这座桥架在什么地方,才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)?

48.要在一条河边修一座水塔,以便从那里给A,B两个城市供水(设A,B在河岸EF的同侧),那么水塔应建在河岸EF的什么地方,才能使水塔到A,B两市供水管道总长度最短(图2-191)?

49.三个同学在街头散步,发现一辆汽车违反了交通规则.但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成),可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的,第二个同学记得后两位数也相同,第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数.根据这些线索,能找出这辆汽车的车号吗?

50.图2-192是一个弹簧秤的示意图,其中:图(a)表示弹簧称东西前的状况,此时刻度0齐上线,弹簧伸长的初始长度为b.图(b)表示弹簧秤上挂有重物时,弹簧伸长的状况.如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码,那么弹簧秤的长度也相应地伸长.现获得如下一组数据:

(1)以x,y的对应值(x,y)为点的坐标,画出散点图;

(2)求出关于x的函数y的表达式,(3)求当x=500克时,y的长度.

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