高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2 椭圆的标准方程教学案苏教版选修2-1[模版]

第一篇：高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2 椭圆的标准方程教学案苏教版选修2-1[模版]

椭圆及其标准方程

[目标要求]

1、掌握椭圆的定义及椭圆标准方程的推导.2、会求椭圆的标准方程.[重点难点]

1、重点：求椭圆的标准方程

2、难点：理解椭圆的定义、轨迹方程的求法 [典例剖析] 例

1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(3,0),(3,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10.（2）已知椭圆上任一点到两焦点距离之和为10，且焦距为8.（3）经过点(4,0),(2,3).22（4）化简方程x(y3)x2(y3)28

x2y21表示椭圆，求k的取值范围.例

2、已知24k16k变题：若表示焦点在y轴上的椭圆, 求k的取值范围.例

3、已知圆A：(x2)2y225与圆B：(x2)2y21，动圆C与圆A内切,且与圆B外切，试求动圆圆心C的轨迹方程.[学习反思] 1．求椭圆标准方程的基本方法是（1）定义法（2）待定系数法 2．求椭圆的标准方程时，要先“定位”，再“定量”

x2y21表示椭圆的充要条件是：m0,n0且mn.3．方程 mn[巩固练习] 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）a4,b1,焦点在x轴上____________________；（2）a4,c15，焦点在y轴上____________________；（3）ab10,c25________________________ x2y21的焦点坐标是

2．椭圆259x2y21表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 3．若方程25m16mx2y21(a5)，F1F2为椭圆焦点，F1F2=8，弦AB过F1，则三角形ABF2 4．若方程225a的周长为

5．已知B(0,4),C(0,4)，且三角形ABC的周长等于18，则顶点A的轨迹方程

江苏省泰兴中学高二数学课后作业（7）

班级: 姓名: 学号：

【A组题】

x2y21的焦距是2，则m的值为 1．椭圆m4x2y21，M为椭圆上的点，则点M(4,2.4)与焦点的距 2．已知椭圆的标准方程为

2516 离分别是________,，_________；

3．三角形ABC的三边AB，BC，AC的长度成等差数列，且ABAC，B、C坐标分别为(1,0),(1,0).则顶点A的轨迹方程为 4．经过两点P(,4),Q(354,3)的椭圆的标准方程是____________________.55．AB是过椭圆左焦点F的一弦，C是椭圆的右焦点，已知ABAC4,BAC90，则椭圆的标准方程为____________________.6.已知椭圆的焦点是F1(1,0),F2(1,0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2 的等差中项，求椭圆的方程

x2y21上一点，以点P及焦点F1F2为顶点的三角形面积等于1，求7．已知P为椭圆54P的坐标.【B组题】

1．(0,2)，方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围为

2．已知椭圆的两个焦点F1,F2在x轴上，以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程

x2y21的焦点，P为椭圆上的一点.若P,F1,F2是一个直角三角3．已知F1,F2是椭圆94形的三个顶点，且PF1PF2，求

PF1的值.PF2

第二篇：2.1.1 椭圆标准方程教学案(教师版)

高二数学选修1-1学案

2.1.1

椭圆及其标准方程（3）

学习目标：

（1）理解并熟练应用椭圆的定义；

（2）使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系；

（3）掌握轨迹问题的一般求法：定义法、直接法、相关点法.学习重点：利用椭圆的定义求与椭圆相关的轨迹问题.学习难点：轨迹问题的一般解法.学习过程：

一、课前准备：

阅读教材P34~P36的内容，找出疑惑之处，并思考以下问题：

2yx1；距离之和等于6的1.到定点(3,0)和(3,0)距离之和等于8的点的轨迹是1672点的轨迹是y0(3x3).2yx11上的每一个点的纵坐标都缩短为原来的，横坐标都缩短为原来的2.把椭圆1625521，则所得的曲线的方程是x2y21.4二、新课导学：

【例1】已知点A(2,0)，B(2,0)，直线l1过点A，直线l2过点B，若l1、l2的斜 率之积为3，求l1、l2的交点P的轨迹方程.4【解析】设P点坐标为(x,y)，依题意，得l1、l2的斜率分别为 k1yyyy3，k2，（x2），于是x2x2x24x222yx1（x2）.化简得43【例2】已知两圆A：(x1)y1，B：(x1)y25，动圆M与圆A外切，与圆B内切，2222yQMPBA求动圆M的圆心M的轨迹方程.【解析】设动圆M的半径为R，连AM，则

|AM|R1，①

x

设动圆M与圆B相切与点Q，连BQ，则BQ经过M，|BM|5R

② ①②得 |AM||BM|6，由椭圆的定义知，动点M的轨迹是椭圆，焦点是A、B，定长为6，yx设椭圆方程为221，ab则a3，c1，所以b28，2yx1.所以动圆M的圆心M的轨迹方程98222yQPBoA动动手：已知圆A：(x3)2y264，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.【解析】设动圆P的半径为R，圆P与圆A相切与点Q，连AQ，则|AQ|8，|AP|8R

① 又 |BP|R

②

①②得 |AP||BP|8，x由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆，焦点是A、B，定长为8，yx设椭圆方程为221，ab则a4，c3，所以b27，2yx1.所以动圆P的圆心P的轨迹方程1672yx1上移动，求线段OP的中点M的轨迹方程.【例3】动点P在椭圆1682222【解析】设M(x,y)，则P(2x,2y)，因为P在椭圆上，所以

2(2x)(2y)yx1，即1为所求的轨迹方程.16842222动动手：已知x轴上的一定点A(1,2)，M为椭圆迹方程.【解析】设P(x,y)，M(x,y)，则有

2xx1x2x1 ，所以，2yy2y2y2x24y21上的动点，求AM中点P的轨因为M为椭圆P的轨迹方程.x24y2(2x1)2(2y2)1即为所求的动点1上的动点，所以

42三、总结提升：

例1是直接法求轨迹方程，使用这种方法时，要把动点坐标设为(x,y)，然后利用题设条件列出关于x、y的关系式，化简解得轨迹方程.例2是利用椭圆的定义求轨迹方程，注意平面几何知识的应用，寻找符合椭圆定义的条件，得出轨迹方程.例3是相关点法求轨迹方程，特点是将动点的坐标(x,y)转移到其它点上，在利用其它 点的条件，得出动点的轨迹方程.这三种方法是求轨迹方程的常用方法，要认真体会这些方法的运用.四、反馈练习：

1.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（D）A.yx B.yx C.yx D.yx 2.到两点A(1,1)、B(3,1)距离相等的点的轨迹方程是（B）A.y10 B.y1 C.x1 D.x10

2yx1运动，则点B3.坐标系中O、A、B三点共线，|OA|2|AB|，点A在椭圆322yx1.的轨迹方程是271822*4.ABC的三条边a、b、c成等差数列，且满足abc，A(1,0)，C(1,0)，求顶点2yx1B的轨迹方程 432(2x0.)

yB5.已知点A(2,0)，点B是圆F：(x2)2y236上的动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.【解析】因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA||PB|，又|BF||PF||PB|6，PAoFx所以|PF||PA|6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是椭圆，焦点是A、F，2a6，所以a3，c2，求得b25，2yx1.所以点P的轨迹方程为952

五、学后反思：

第三篇：高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 1 圆锥曲线教学案(无答案)苏教版选修2-1

圆锥曲线

[目地要求]

1、了解圆锥面的概念

2、了解用平面从不同角度截圆锥面所得到的曲线

3、理解椭圆、双曲线、抛物线的定义 [重点难点] 重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义 难点：圆锥面的截面的规律性 [典例剖析] 例

1、已知△ABC中，B（-3,0），C（3,0）且AB、BC、AC成等差数列（1）证：点A在一个椭圆上运动；（2）写出这椭圆的焦点坐标

例

2、已知动点P到两个定点A（-5,0）、B（5,0）的距离之差为8，求点P的轨迹

例

3、若动点M的坐标满足方程5xy3x4y12，试判断动点M的轨迹

例

4、如图，已知定圆F1和定圆F2的半径分别为r,r22,动圆M与定圆F1、F2都外切，11试判断动圆M的圆心M的轨迹

[学习反思] 已知平面上定点F1，F2（F1F22c）动点P（1）若PF1PF2常数2a，则2a>2c时，P的轨迹是___________________ 2a=2c时，P的轨迹是____________________（2）若PF1PF2 =常数2a，则2a<2c时，P的轨迹是__________________ 2a=2c时，P的轨迹是____________________

22[巩固练习]

1、已知在坐标轴上有两定点F1（-4,0）、F2（4,0），点P是平面上一点，且PF1PF210，则点P的轨迹是______________________________________

2、已知△ABC，其中B（0,1）C（0，-1），且ABAC1，则点A的轨迹是______________________________________________

3、已知定点M（1,1），定直线l:x3,有一动点N，点N到点M的距离MN始终等于点N到直线l的距离，则点N的轨迹是_____________________________________

4、已知椭圆的两个焦点为F1(2,-3)、F2（3，-2），则此椭圆的焦距是___________

5、已知椭圆的焦点是F1、P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到点Q，使得PQPF2,F2，那么动点Q的轨迹是____________________ 江苏省泰兴中学高二数学课后作业（6）

班级: 姓名: 学号：

【A组题】

1、若动点P到两点F1(-5,0)、F2（5，0）的距离和为10，则P的轨迹为___________

2、已知定点F1(-2,0)、F2（2，0）在满足下列条件的平面内，则动点P的轨迹中为双曲线的是___________________

22①PF1PF23；②PF1PF24；③PF1PF25；④PF1PF24

3、设定点F1(-7,0)、F2（7，0），动点P(x,y)满足条件PF1PF214，则动点P的轨迹是_________________

4、平面上与定点A(1,1)和定直线l：x+2y-3=0距离相等的点的轨迹方程为____________

5、平面内有两个定点F1、F2和一动点M，设命题甲：MF1MF2是定值；命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的_________________条件

26、一个圆过点M（-4,0）且与圆N：x4y9相切(注意相切的情形的判断)，求动3 圆圆心P的轨迹

7、动点M到y轴的距离比它到定点F（3,0）的距离小1，试判断点M的轨迹

【B组题】

111.已知A,0，B是圆F：xy24（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平

22分线交BF于点P，则动点P的轨迹是___________________________ 2.设圆锥面的母线与轴所成的角为θ（0<θ<π/2）,截面（不过顶点）与轴所成的角为α，2试观察，当/2，0，时，截线分别是什么曲线？

3.已知在△ABC中，A、C两点的坐标分别是（-2,0）、（2,0），且三边a，b，c满足ac判断点B的轨迹

3b，2 5

第四篇：2012高中数学苏教版教学案-第八章-双曲线及其标准方程

双曲线及其标准方程

一、教学目标()知识教学点

使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．()能力训练点

在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．()学科渗透点

本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．

二、教材分析 1(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)2．难点：双曲线的标准方程的推导．

(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)

三、活动设计

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．

四、教学过程()复习提问

1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)平面内与两定点F1F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|． 2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)

(二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？ 1(边演示、边说明)如图2-23F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．

注意：常数要小于|F1F2| 2．设问

问题1F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．强调“在平面内”． 问题2|MF1|与|MF2|哪个大？

请学生回答，不定：当M|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|． 问题3M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？

请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|||MF2|-|MF1||． 问题4|F1F2|？ 请学生回答，应小于|F1F2|=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹． 3．定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F1F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距． 教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．()双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导：(1)取过焦点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系．

设M(xy)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=2a}．(3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：

化简得：

两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)由双曲线定义，2c2a c＞a，所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2(b0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

这就是双曲线的标准方程． 两种标准方程的比较()：

教师指出：

(1)a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．(四)练习与例题

1．求满足下列的双曲线的标准方程： 焦点F1(-30)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不

第五篇：人教A版数学选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程》教案

2.2.1椭圆及其标准方程

◆ 知识与技能目标

理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

◆ 过程与方法目标（1）预习与引入过程

当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集PM|MF1MF22a．

（ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．

无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．

设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

y2x2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程221ab0．

ab（iii）例题讲解与引申

例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点标准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．

53,，求它的22x2y253另解：设椭圆的标准方程为221ab0，因点,在椭圆上，ab2292512a102则4a． 4ba2b24b6例2 如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

分析：点P在圆x2y24上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．

x2y21上动点，求线段AP中点M的轨迹方引申：设定点A6,2，P是椭圆

259程．

解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设Mx,y，Px1,y1；②（点与伴随点的关

x12x6系）∵M为线段AP的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵

y2y21x3y1x12y121M1，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．

2592594例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为224，求点M的轨迹方程． 9分析：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是的关系式，即得到点M的轨迹方程．

解法剖析：设点Mx,y，则kAM4，因此，可以求出x,y之间9yx5，x5yx5； x5yy4，化简即可得点M的轨迹方程． 代入点M的集合有x5x59kBM

引申：如图，设△ABC的两个顶点Aa,0，Ba,0，顶点C在移动，且kACkBCk，且k0，试求动点C的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．

◆ 情感、态度与价值观目标

通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量ba2c2的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．

◆能力目标

（1）想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．

（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4）数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（5）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第45页1、2、3、4、作业：第53页2、3、